9_факторный анализ. 9 факторный анализ
 Скачать 0.79 Mb.
|
Метод главных компонент (МГК): основные формулы и процедурыИсходной для анализа является матрица данных  размерности  , i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k показателям  . Исходные данные нормируются , для чего вычисляются средние значения показателей  , а также значения стандартных отклонений  . Тогда матрица нормированных значений с элементами  Рассчитывается матрица парных коэффициентов корреляции:  На главной диагонали матрицы расположены единичные элементы  .Модель компонентного анализа строится путем представления исходных нормированных данных в виде линейной комбинации главных компонент:  где  — «вес», т.е. факторная нагрузка  -й главной компоненты на  -ю переменную; — значение -й главной компоненты для  -го наблюдения (объекта), где  .В матричной форме модель имеет вид  здесь  - матрица главных компонент размерности , - матрица факторных нагрузок той же размерности.Матрица  описывает  наблюдений в пространстве  главных компонент. При этом элементы матрицы нормированы, a главные компоненты не коррелированы между собой. Из этого следует, что  , где  – единичная матрица размерности  . Элемент  матрицы  характеризует тесноту линейной связи между исходной переменной  и главной компонентой  , следовательно, принимает значения  .Корреляционная матрица  может быть выражена через матрицу факторных нагрузок .  По главной диагонали корреляционной матрицы располагаются единицы и по аналогии с ковариационной матрицей они представляют собой дисперсии используемых -признаков, но в отличие от последней, вследствие нормировки, эти дисперсии равны 1. Суммарная дисперсия всей системы -признаков в выборочной совокупности объема  равна сумме этих единиц, т.е. равна следу корреляционной матрицы  .Корреляционная матриц может быть преобразована в диагональную, то есть матрицу, все значения которой, кроме диагональных, равны нулю:  , где  - диагональная матрица, на главной диагонали которой находятся собственные числа  корреляционной матрицы,  - матрица, столбцы которой – собственные вектора корреляционной матрицы . Так как матрица R положительно определена, т.е. ее главные миноры положительны, то все собственные значения  для любых  .Собственные значения  находятся как корни характеристического уравнения Собственный вектор  , соответствующий собственному значению корреляционной матрицы , определяется как отличное от нуля решение уравнения  Нормированный собственный вектор  равен Превращение в нуль недиагональных членов означает, что признаки становятся независимыми друг от друга (  при  ).Суммарная дисперсия всей системы переменных в выборочной совокупности остается прежней. Однако её значения перераспределяется. Процедура нахождения значений этих дисперсий представляет собой нахождение собственных значений корреляционной матрицы для каждого из -признаков. Сумма этих собственных значений  равна следу корреляционной матрицы, т.е.  , то есть количеству переменных. Эти собственные значения и есть величины дисперсии признаков  в условиях, если бы признаки были бы независимыми друг от друга.В методе главных компонент сначала по исходным данным рассчитывается корреляционная матрица. Затем производят её ортогональное преобразование и посредством этого находят факторные нагрузки  для всех переменных и  факторов (матрицу факторных нагрузок), собственные значения и определяют веса факторов.Матрицу факторных нагрузок А можно определить как  , а -й столбец матрицы А — как  .Вес факторов  или  отражает долю в общей дисперсии, вносимую данным фактором.Факторные нагрузки изменяются от –1 до +1 и являются аналогом коэффициентов корреляции. В матрице факторных нагрузок необходимо выделить значимые и незначимые нагрузки с помощью критерия Стьюдента  .Сумма квадратов нагрузок -го фактора во всех -признаках равна собственному значению данного фактора  . Тогда  -вклад i-ой переменной в % в формировании j-го фактора.Сумма квадратов всех факторных нагрузок по строке равна единице, полной дисперсии одной переменной, а всех факторов по всем переменным равна суммарной дисперсии (т.е. следу или порядку корреляционной матрицы, или сумме её собственных значений)  .В общем виде факторная структура i–го признака представляется в форме  , в которую включаются лишь значимые нагрузки. Используя матрицу факторных нагрузок можно вычислить значения всех факторов для каждого наблюдения исходной выборочной совокупности по формуле: ,где  – значение j-ого фактора у t-ого наблюдения,  -стандартизированное значение i–ого признака у t-ого наблюдения исходной выборки; –факторная нагрузка,  –собственное значение, отвечающее фактору j. Эти вычисленные значения широко используются для графического представления результатов факторного анализа.По матрице факторных нагрузок может быть восстановлена корреляционная матрица:  .Часть дисперсии переменной, объясняемая главными компонентами, называется общностью  ,где - номер переменной, а -номер главной компоненты. Восстановленные только по главным компонентам коэффициенты корреляции будут меньше исходных по абсолютной величине, а на диагонали будут не 1, а величины общностей.Удельный вклад -й главной компоненты определяется по формуле .Суммарный вклад учитываемых главных компонент определяется из выражения .Обычно для анализа используют первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60—70%.Матрица факторных нагрузок А используется для интерпретации главных компонент, при этом обычно рассматриваются те значения, которые превышают 0,5. Значения главных компонент задаются матрицей  |