Главная страница
Навигация по странице:

  • Оптимизация.

  • Выбор (принятия решения).

  • Новиковы методология науч иследования. А. М. Новиков Д. А. Новиков методология научного исследования


    Скачать 1.55 Mb.
    НазваниеА. М. Новиков Д. А. Новиков методология научного исследования
    АнкорНовиковы методология науч иследования.pdf
    Дата12.05.2018
    Размер1.55 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаНовиковы методология науч иследования.pdf
    ТипРеферат
    #19147
    страница14 из 20
    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   20
    Количественные методы моделирования (математи-
    ческое моделирование
    21
    ). Для исследования того или иного объекта математическими методами, включая и компьютер-
    ное моделирование, должна быть проведена формализация этого процесса, то есть построена математическая модель.
    21
    Методы математического моделирования можно в равной степени
    рассматривать и как методы научного исследования.

    Моделирование как метод научного исследования
    205
    Под математическим моделированием понимается про- цесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого матема-
    тической моделью, и исследование этой модели, позволяю- щее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этих задач.
    Любая математическая модель, как и всякая другая, описыва- ет реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.
    Можно выделить следующие этапы построения мате-
    матической модели (см. также Рис. 13 и детализацию этапов ниже).
    1. Определение предмета и цели моделирования, включая границы исследуемого объекта и те основные свойства, кото- рые должны быть отражены моделью (см. обсуждение соот- ношения объекта и предмета исследования, а также метода абстрагирования выше).
    2. Выбор языка (аппарата) моделирования. На сегодняш- ний день не существует общепризнанной классификации методов математического моделирования. Существуют не- сколько десятков «аппаратов» моделирования, каждый из которых представляет собой разветвленный раздел математи- ки. Описывать всех их подробно в рамках настоящей книги не представляется возможным (да и целесообразным).
    3. Выбор переменных, описывающих состояние системы и существенные параметры внешней среды, а также шкал их измерения и критериев оценки (см. также Рис. 13).
    4. Выбор ограничений, то есть множеств возможных зна- чений переменных, и начальных условий (начальных значе- ний переменных).
    5. Определение связей между переменными с учетом всей имеющейся о моделируемом объекте информации, а также известных законов, закономерностей и т.п., описывающих его.

    206
    Приложение 1
    6. Исследование модели – или имитационное, или/и при- менение методов оптимизации.
    7. Изучение устойчивости и адекватности модели.
    Последующие этапы, связанные с практической реализа- цией модели и/или внедрением результатов моделирования, мы здесь не рассматриваем.
    Приведенные этапы математического моделирования иногда приходится повторять, возвращаясь к более ранним этапам при уточнении цели моделирования, обеспечении точности, устойчивости, адекватности и т.д.
    Заершив описание ощих этапов математического модели- рования, отметим, что последнее можно разделить на анали- тическое и имитационное [59, 82].
    Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов объекта записывают- ся в виде некоторых функциональных соотношений (напри- мер, уравнений – алгебраических, дифференциальных, инте- гральных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:
    - аналитическим, когда стремятся получить в общем
    (аналитическом) виде явные зависимости для искомых харак- теристик в виде определенных формул;
    - численным, когда, не имея возможности решать уравне- ния в общем виде, стремятся получить числовые результаты при тех или иных конкретных начальных данных (например, с помощью компьютера);
    - качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые его свойства. Примером могут слу- жить так называемые «мягкие» модели [3], в которых, напри- мер, анализ вида дифференциальных уравнений, описываю- щих самые разнообразные процессы (экономические, экологические, политические и др.) позволяет делать качест- венные выводы о свойствах их решений – существовании и типе равновесных точек, областях возможных значений пе- ременных и т.п.

    Моделирование как метод научного исследования
    207
    Для имитационного моделирования характерно исследо- вание отдельных траекторий динамики моделируемого объ- екта. При этом фиксируются некоторые начальные условия
    (начальное состояние объекта или параметры модели) и рас- считывается одна траектория. Затем выбираются другие начальные условия, и рассчитывается другая траектория и т.д. То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток
    22
    состоит в от- сутствии возможности получения, например, ответа на во- прос, в каких случаях (при каких значениях начальных усло- вий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.
    Итак, мы кратко рассмотрели вопрос о построении моде- лей, в том числе – математических (обсуждение устойчивости и адекватности моделей, а также связанных с моделями про- блем оптимизации и задач управления, производится ниже).
    Тех читателей, которые заинтересуются современными спо- собами формализованного представления моделей, мы отсы- лаем к достаточно полным их описаниям, выполненным для ряда предметных областей в [6, 8, 11, 13, 17, 19, 46, 59, 62, 64,
    66, 69, 79].
    Отметим, что, несмотря на то, что на сегодняшний день накоплен значительный опыт разработки и использования самых разных методов моделирования (в том числе – матема- тического), все равно в этом процессе решающую роль играет творчество, интуитивное искусство создания модели.
    Оптимизация. Оптимизация заключается в том, чтобы среди множества возможных вариантов найти наилучшие в
    22
    От этого недостатка свободны аналитические модели, но они редко
    могут быть построены и исследованы для достаточно сложных систем.

    208
    Приложение 1
    заданных условиях, при заданных ограничениях, то есть оптимальные альтернативы. В этой фразе важное значение имеет каждое слово. Говоря «наилучшие», мы предполагаем, что у нас имеется критерий (или ряд критериев), способ
    (способы) сравнения вариантов. При этом важно учесть имеющиеся условия, ограничения, так как их изменение может привести к тому, что при одном и том же критерии
    (критериях) наилучшими окажутся другие варианты.
    Понятие оптимальности получило строгое и точное представление в различных математических теориях, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации техниче- ских систем, сыграло важную роль в формировании совре- менных системных представлений, широко используется в административной и общественной практике, стало извест- ным практически каждому человеку. Это и понятно: стремле- ние к повышению эффективности труда, любой целенаправ- ленной деятельности как бы нашло свое выражение, свою ясную и понятную форму в идее оптимизации.
    В математическом смысле суть оптимизации, вкратце, заключается в следующем. Пусть состояние моделируемой системы определяется совокупностью
    показателей:
    x = (x
    1
    , x
    2
    , x
    3
    , ..., x
    n
    ), принимающих числовые значения. На
    множество возможных состояний системы наложено огра-
    ничение: x
    Î
    X, где множество X определяется существующи- ми физическими, технологическими, логическими, ресурс- ными и другими ограничениями. Далее вводится функция
    F(x), зависящая от x
    1
    , x
    2
    , x
    3
    , ..., x
    n
    , которая называется крите-
    рием эффективности и принимает числовое значение. Счи- тается, что чем бóльшие значения принимает функция F(x), тем выше эффективность, то есть, тем «лучше» состояние x системы.
    Задача оптимизации заключается в нахождении опти-
    мального значения x
    *
    , то есть допустимого состояния системы
    (x
    Î
    X), имеющего максимальную эффективность: для всех x из множества X выполняется F(x
    *
    )
    ³
    F(x).

    Моделирование как метод научного исследования
    209
    Читателей, заинтересованных в более подробном изуче- нии теории оптимизации, отсылаем к [6, 7, 8, 13, 17, 46,
    59, 66, 79] и спискам литературы в этих источниках.
    Различие между строго научным, математизированным и
    «общепринятым», житейским пониманием оптимальности, в общем-то, невелико [66]. Правда, нередко встречающиеся выражения вроде «более оптимальный», строго говоря, не- корректны (нельзя достичь эффективности, больше макси- мальной). Но люди, использующие эти выражения, на самом деле просто нестрого и неудачно выражают правильную мысль: как только дело касается конкретной оптимизации, они достаточно легко исправляют формулировки.
    Если не вдаваться в подробности оптимизации в рамках математических моделей, то интуитивно оптимизация сво- дится, в основном, к сокращению числа альтернатив и про- верке модели на устойчивость.
    Если специально стремиться к тому, чтобы на начальной стадии моделирования было получено как можно больше альтернатив, то для некоторых научных проблем их количе- ство может достичь большого числа возможных решений.
    Очевидно, что подробное изучение каждой из них приведет к неприемлемым затратам времени и средств. На этапе нефор- мализованной оптимизации рекомендуется проводить «гру- бое отсеивание» альтернатив, проверяя их на присутствие некоторых качеств, желательных для любой приемлемой альтернативы. К признакам «хороших» альтернатив относят- ся надежность, пригодность, адаптивность, другие признаки
    «практичности» для научных целей. В отсеве могут помочь также обнаружение отрицательных побочных эффектов.
    Важным требованием, предъявляемым к моделям, явля- ется требование их устойчивости при возможных изменени- ях внешних и внутренних условий, а также устойчивости по отношению к тем или иным возможным изменениям пара- метров самой модели. Проблемам устойчивости математиче- ских моделей систем посвящена довольно обширная литера- тура (см., например, [46, 64, 66 и др.]).

    210
    Приложение 1
    Для того чтобы понять роль устойчивости, вернемся (см. также выше) к рассмотрению процесса построения математи- ческой модели некоторого реального объекта и проанализи- руем возможные «ошибки моделирования» [57]. Первым шагом является выбор того «языка», на котором формулиру- ется модель, то есть того математического аппарата, который будет использоваться (горизонтальная пунктирная линия на
    Рис. 13 является условной границей между реальностью и моделями). Как правило, этот этап характеризуется высоким уровнем абстрагирования – выбираемый класс моделей на- много шире, чем моделируемый объект. Возможной ошиб- кой, которую можно совершить на этом шаге, является выбор неадекватного языка описания.
    Анализ устойчивости
    Решение задачи выбора
    Р
    Е
    А
    Л
    И
    З
    А
    Ц
    И
    Я
    ОБЪЕКТ
    Наблюдаемое поведение
    Множество частных моделей
    Конкретная модель
    Оптимальное решение
    ИДЕНТИФИКАЦИЯ
    И АНАЛИЗ
    АДЕКВАТНОСТИ
    Ожидаемое поведение
    Класс моделей
    Рис. 13. Этапы построения и исследования
    математической модели

    Моделирование как метод научного исследования
    211
    Следующим этапом по уровню детализации является построение множества частных моделей, при переходе к которым вводятся те или иные предположения относительно свойств параметров модели. Возникающие здесь ошибки описания структуры модели могут быть вызваны неправильными представлениями о свойствах элементов моделируемого объекта и их взаимодействии.
    После задания структуры модели посредством выбора определенных значений параметров (в том числе – числовых) происходит переход к некоторой конкретной модели, которая считается аналогом моделируемого объекта. Источник возни- кающих на этом этапе «ошибок измерения» очевиден, хотя он и имеет достаточно сложную природу и заслуживает отдель- ного обсуждения.
    Когда для конкретной модели решается задача выбора оптимальных решений, то, если существует аналитическое решение для множества частных моделей, тогда, как правило, частные значения параметров, соответствующие конкретной модели, подставляются в это решение. Если аналитического решения не существует, то оптимальное решение ищется посредством имитационных экспериментов с привлечением вычислительной техники. На этом этапе – при численных расчетах – возникают вычислительные ошибки.
    Изучение устойчивости решений в большинстве случаев сводится к исследованию зависимости оптимального решения от параметров модели. Если эта зависимость является непре- рывной, то малые ошибки в исходных данных приведут к небольшим изменениям оптимального решения. Тогда, решая задачу выбора по приближенным данным, можно обоснован- но говорить о нахождении приближенного решения.
    Обсудим теперь, что следует понимать под адекватно-
    стью модели. Для этого вернемся к Рис. 13. Оптимальное решение, полученное для конкретной модели, является опти- мальным в том смысле, что при его использовании поведение модели соответствует предъявляемым требованиям. Рассмот-

    212
    Приложение 1
    рим, насколько обоснованным является использование этого решения в моделируемом объекте.
    Наблюдаемое поведение модели является с точки зрения субъекта, осуществляющего моделирование (например, пола- гающего, что модель адекватна), предполагаемым поведени- ем реальной системы, которое в отсутствии «ошибок модели- рования» будет оптимально в смысле выбранного критерия эффективности. Понятно, что в общем случае наблюдаемое поведение реального объекта и его предполагаемое поведение могут различаться достаточно сильно. Следовательно, необ- ходимо исследование адекватности модели, то есть – устой- чивости поведения не модели, а реального объекта относи- тельно ошибок моделирования (см. Рис. 13).
    Действительно, представим себе следующую ситуацию.
    Пусть построена модель и найдено оптимальное в ее рамках решение. А что будет, если параметры модели «немного» отличаются от параметров реального объекта? Получается, что задача выбора решалась не для «того» объекта. Отрицать такую возможность, естественно, нельзя. Поэтому необходи- мо получить ответы на следующие вопросы:
    - насколько оптимальное решение чувствительно к ошиб- кам описания модели, то есть, будут ли малые «возмущения» модели приводить к столь же малым изменениям оптималь- ного решения (задача анализа устойчивости);
    - будут ли решения, обладающие определенными свойст- вами в рамках модели (например, оптимальность, эффектив- ность не ниже заданной и т.д.), обладать этими же свойствами и в реальном объекте, и насколько широк класс реальных объектов, в которых данное решение еще обладает этими свойствами (задача анализа адекватности).
    Качественно, основная идея, используемая на сегодняш- ний день в математическом моделировании, заключается в следующем [47, 57]. Применение оптимальных решений приводит к тому, что они, как правило, оказываются неопти- мальными при малых вариациях параметров модели. Воз- можным путем преодоления этого недостатка является рас-

    Моделирование как метод научного исследования
    213
    ширение множества «оптимальных» решений за счет вклю- чения в него так называемых приближенных решений (то есть, «немного худших», чем оптимальные). Оказывается, что ослабление определения «оптимальность» позволяет, устано- вив взаимосвязь между возможной неточностью описания модели и величиной потерь в эффективности решения, гаран- тировать некоторый уровень эффективности множества ре- шений в заданном классе реальных объектов, то есть расши- рить область применимости решений за счет использования менее эффективных из них. Иными словами, вместо рассмот- рения фиксированной модели, необходимо исследовать се- мейство моделей.
    Приведенные качественные рассуждения свидетельству- ют, что существует определенный дуализм между эффектив- ностью решения и областью его применимости (областью его устойчивости и/или областью адекватности – см. также Рис.
    7).
    Отобранные и проверенные на устойчивость и адекват- ность модели становятся основой для последнего, решающего этапа моделирования – выбора модели для дальнейшее го применения.
    Выбор (принятия решения). Выбор является последним и, пожалуй, наиболее ответственным этапом процесса моде- лирования, его завершением.
    В системном анализе выбор (принятие решения) [66 и др.] определяется как действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив (обычно это один вариант, одна альтернатива, но не обязательно). При этом выбор тесно связан с оптимизаци-
    ей, так как последняя есть ни что иное, как выбор оптималь- ной альтернативы.
    Каждая ситуация выбора может развертываться в разных вариантах:
    – оценка альтернатив для выбора может осуществляться по одному или нескольким критериям, которые, в свою оче-

    214
    Приложение 1
    редь, могут иметь как количественный, так и качественный характер;
    – режим выбора может быть однократным (разовым) или повторяющимся;
    – последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности), иметь вероятностный характер
    (выбор в условиях риска), или иметь неопределенный исход
    (выбор в условиях неопределенности);
    Получить первоначальное представление о математиче- ских моделях выбора (принятия решений) можно из [1, 17,
    39, 66, 79].
    Таким образом, принятием решения завершается процесс моделирования.

    Научное прогнозирование
    215
    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   20


    написать администратору сайта