А в с а
 Скачать 2.05 Mb.
|
|
Двугранный угол Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Планиметрия Стереометрия Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Двугранный угол А В С А В С Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Две полуплоскости – грани двугранного угла Прямая a – ребро двугранного угла a O Угол РDEK Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла А В N Р M К D E Угол SFX – линейный угол двугранного угла S X F Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК. D E Р К O Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Алгоритм построения линейного угла. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. А В O А1 В1 O 1 Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены Углы АОВ и А1О1В1 равны, как углы с сонаправленными сторонами Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. А С В N П-р Н-я П-я TTП АС ВМ H-я АС NМ П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК К M Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. А В N П-р Н-я П-я TTП АС ВС H-я АС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. А В С D Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости . № 178. c A a b Признак перпендикулярности прямой и плоскости c B C Подсказка Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны. № 180. c b a a b Признак параллельности прямой и плоскости Подсказка Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а. № 181. С А В М a Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник. № 182. a С А В М Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости . № 183. a Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны. 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 20. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Планиметрия Стереометрия В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений. А В С D d a b d2 = a2 + b2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d2 = a2 + b2 + с2 a b с d d C а b с B A D B1 C1 D1 A1 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. d2 = a2 + b2 + с2 Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба. № 188. D А В С А1 D1 С1 В1 d2 = a2 + b2 + с2 d = 3a2 d2 = 3a2 d = a 3 d = a 3 а а а Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d. № 189. D А В С D1 С1 m Н А Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Подсказка В1 А1 Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина ребра А1D1. № 190. D А В С А1 D1 С1 В1 K Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны. № 191. D А В С А1 D1 С1 В1 Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. № 192. D А В С А1 D1 С1 В1 Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. П-Р Н-я П-я Н А М П-Р Н-я П-я № 193. D А В С А1 D1 С1 В1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС; a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью n d m № 193. D А В С А1 D1 С1 В1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ1 и DCC1; n d m II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. № 193. D А В С А1 D1 С1 Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние между: в) прямой DD1 и плоскостью АСС1. n d m Подсказка a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью В1 Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; № 194. D А В С D1 С1 а В1 А1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба. № 194. D А В С D1 С1 а В1 А1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка № 196. D В D1 С1 Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1; А А1 С В1 № 196. Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1. D В D1 С1 А А1 В1 С D А В С А1 D1 С1 В1 1. Найдите угол А1ВС1 2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба. N M Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, В и С1 D В D1 С1 А А1 В1 С 7 8 6 Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. А В N П-р Н-я П-я TTП АС ВS H-я АС NS П-я Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С S Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник. А В N П-р Н-я П-я TTП DС BС H-я DС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D N Н-я M Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С тупой. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D Н-я M N Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – трапеция, угол С острый. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D Н-я M N Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC. № 166. M N А С В П-р Н-я П-я TTП МN АB H-я MN ВС П-я Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC С А В D M В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD. № 167. Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла. № 168. В d N А ? Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 1800. № 169. F В А О |