Методы решений уравнкений с модулем. Лекция 2 по методам решения уравнений, содержащих переменную под. Абсолютная величина и её свойства

• Название: Абсолютная величина и её свойства
• Анкор: Методы решений уравнкений с модулем
• Дата: 05.03.2021
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: Лекция 2 по методам решения уравнений, содержащих переменную под.docx
• Тип: Документы; #182103
• страница: 6 из 6

7. Решение уравнений методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей

Теорема 7. 38Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 39Решим неравенство



Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение (см. 36), получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

8. Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 40Решить неравенство



Решение

В задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые последовательно значит получить громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:





Ответ. .

9. Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

Пример 41Найти корни уравнения .
Решение.Так как , то из уравнения следует, что , . Тогда исходное уравнение примет вид: , . Корни этого уравнения , . Корень , поэтому он не является решением, а .

Ответ. .

Пример 42Найти произведение корней уранения .

Решение.Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Корни этого уравнения , . Так как , то . Отсюда , . Произведение корней равно .

Ответ. .

Пример 43Найти разность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения .

Решение.Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим его. Корни этого уравнения , . Так как , то значение не подходит. Поэтому . Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна .

Ответ. .
Пример 44Найти сумму корней уравнения .

Решение

Используем правило: . Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений: Таким образом сумма корней исходного уравнения равна .

Другой путь.Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим: , . Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна

Ответ. .

Пример 45Сколько целых корней на отрезке имеет уравнение



Решение

Рассмотрим квадратный трехчлен . Так как , то , поэтому исходное уравнение запишется как





Последнее уравнение эквивалентно неравенству , решение которого . Таким образом, уравнение имеет 6 корней на отрезке : , , , , , .

Ответ.6.

Пример 46Решите систему неравенств



Решение

Предположим, что данная система неравенств имеет решение , , , . Тогда, в частности, , т. е.



Аналогично получаем







Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх положительных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно ---



Приходим к противоречию.

Ответ.Система не имеет решений.

Пример 47Существуют ли действительные числа , и такие, что при всех действительных и выполняется неравенство



Решение

Предположим, что такие числа , и существуют. Выберем и такие, что , , . Тогда разность между левой и правой частями равна . А если взять и такие, что , , , то эта разность будет равна . Таким образом, с одной стороны, , с другой . Противоречие.

Ответ.Нет.

Пример 48Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство ?

Решение

При натуральном уравнение имеет ровно целочисленных решений, а при решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно .

Ответ:19801.

Пример 49Найти все корни уравнения , удовлетворяющее неравенству .
Решение

Строим графики функций и . Получим две точки пересечения, абсцисса только одной из них меньше , т. е. удовлетворяет условию задачи

Абсциссу точки можно получить решив уравнение .

Ответ. .

Пример 50 .

Решение

После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:

(1) или (2) .

Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:

,

(3) или (4) .

Из уравнения (3) находим: , из уравнения (4) находим: ,

Решая уравнение (2), также получим: , которое распадается два уравнения:

( ) или ( ) .

Из ( ) получаем: , , Из ( ) , которое не имеет решений.

Ответ.

Пример



Решение

ОДЗ данного уравнения:



Простой проверкой нетрудно убедиться, что и --- решения данного уравнения.

Ответ. .

Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение



У этого уравнения добавится ``лишний'' корень , не принадлежащий ОДЗ.

Преобразование , не равносильное, т.к. входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.

Пример 51Решить уравнение .

Решение

Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):

1. При имеем .

Теперь рассмотрим два случая:

а) , т.е. ;

б) и

Т.к. функция, стоящая в первой части исходного уравнения, четная, то решением так же будет и .

Ответ. .