Методы решений уравнкений с модулем. Лекция 2 по методам решения уравнений, содержащих переменную под. Абсолютная величина и её свойства
 Скачать 1.17 Mb.
|
|
Абсолютная величина и её свойства Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ. Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел необходимо восполнить. Модуль. Свойства модуля Определение.Модуль числа  илиабсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна  , если меньше нуля:  Из определения следует, что для любого действительного числа ,  .Теорема 1. 1Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел или .1. Если число положительно, то отрицательно, т. е.  . Отсюда следует, что  .В этом случае  , т. е.  совпадает с большим из двух чисел и .2. Если отрицательно, тогда положительно и  , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае,  --- снова, равно большему из двух чисел и .Следствие 2Из теоремы следует, что  .В самом деле, как  , так и равны большему из чисел и , а значит, равны между собой.Следствие 3Для любого действительного числа справедливы неравенства  ,  .Умножая второе равенство на  (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:  .Теорема 2. 4Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из  :  .В самом деле, если  , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при ,  , значит .Если  , тогда и  и в этом случае .Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на  .Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.Если , то на координатной прямой существует две точки и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.Если  , то на координатной прямой изображается точкой  .Свойства модуля  (Из этого свойства следует что  )         Равносильные переходы между уравнениями с модулями Тема «Абсолютная величина»(или «Модуль числа») является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль ,любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа
Примеры решения задач, использующих свойства модуля Пример 5В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м. Решение. Пусть деревья высотой  растут в точках  . Тогда по условию  . Следовательно, длина ломаной  не превосходит  м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис. Error: Reference source not found). Пример 6На отрезке  числовой оси расположены четыре точки: ,  ,  ,  . Докажите, что найдётcя точка  , принадлежащая , такая, что  .Решение.Точки , , , делят отрезок не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше  . Возьмём за центр этого интервала. Расстояние от до концов этого интервала не меньше  , а до других точек из числа , , , --- больше . Поэтому два из чисел  ,  ,  ,  не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.Пример 7Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым  и  , пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой от точки  к точке  , находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой от точки  к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.Решение.Через  часов первое тело будет находится от точки на расстоянии  км, а второе --- на расстоянии  км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит  .  км.Ответ. км.Пример 8Пункты и расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта в направлении пункта выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч  выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.Решение Расстояние между автомобилем и мотоциклом через часов составит  .  .Ответ.16 км. Пример 9Из пункта в пункт вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от до , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.Решение Пусть  и  (мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из в , и пусть второй пешеход вышел позже первого на минут. Рассмотри 2 возможности 1)  и 2)  . В случае имеем равенство  и систему  Из первого и третьего неравенства получим  , учитывая второе условие получим, что  , и это в свою очередь дает равенства  и  . Т.о.  , ,  .В случае имеем  и сиcтему  Но так как  , то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.Ответ. , , .Пример. 10По расписанию автобус должен проходить путь  , состоящий из отрезков  ,  ,  длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта в 10 ч, он проходит пункт в 10 ч 10 мин, пункт  в 10ч 34 мин. С какой скоростью  должен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от до  (со скоростью ), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов и , превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта не более, чем на 28 мин.Решение Условие задачи приводит к системе  которая имеет единственное решение  .Ответ.30 км/ч. Пример. 11Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из в длиной 15 км за 1 час.При этом выходя из пункта в 12ч, он прибывает в пункты и , отстоящие от на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из в без остановок с постоянной скоростью (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , , не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: или ?Решение Рассмотрим 2 случая 1) пункт находится выше по течению 2) пункт находится ниже по течению.В первом случае получаем систему  которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай. Ответ. .Пример 12Даны три квадратных трехчлена:  ,  и  . Докажите, что уравнение  имеет не более восьми корней.Решение.Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов  ,  ,  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при  имеет вид  , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми. |
