Методы решений уравнкений с модулем. Лекция 2 по методам решения уравнений, содержащих переменную под. Абсолютная величина и её свойства
 Скачать 1.17 Mb.
|
Метод раскрытия модулейМетод раскрытия модулей рассмотрим на примере: Пример 23  Решение.Это уравнение содержит более одного модуля. Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем. 1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль:  ,  ;  ,  ;  ,  .2. Отметить эти точки на числовой прямой. 3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями. 1) При  или  . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение  из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.Возьмем значение  из промежутка  и подставим его значение в выражение  , получаем  , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'', получим:  .При этом значении , выражение  получит значение  , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и ``выйдет''из модуля со знаком ``минус'', получим:  .Выражение  получит значение  и ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'':  .Уравнение на этом промежутке получится таким:  , решая его, находим:  .Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.2) При  . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть  . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.Уравнение на этом промежутке примет вид:  . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток  , а значит, не является корнем уравнения.3) При  . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем,  и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а --- отрицательно. Получим следующее уравнение:  .После преобразования, получим:  , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.4) При  . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение:  ,  ,  которое входит в промежуток и является корнем уравнения.Ответ. , .Пример 24  Решение.   Ответ. ,  . |