Методы решений уравнкений с модулем. Лекция 2 по методам решения уравнений, содержащих переменную под. Абсолютная величина и её свойства
 Скачать 1.17 Mb.
|
2. Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выраженийПример 25Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения  Решение Рассмотрим выражение  и преобразуем его к виду  Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если  (т.к.  ). Преобразуем полученное выражение, при условии  . Получим уравнение, равносильное исходному:   Ответ.  .Пример 26  Решение.Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие  , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение  . Решая его графически или используя схему Горнера и свойство коэффициентов, и учитывая ограничение , получаемОтвет:  .3. Решение уравнений с использованием геометрической интерпретацииГеометрический смысл выражения  - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами  и  . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.Пример 27  .Решение Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка  обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, нет.Ответ: .Пример 28Решим уравнение  .Решение Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Ответ:  .Пример 29  .Решение Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек  и  в точности равна  . Это все точки отрезка  . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.Ответ:  .Замечание.Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:  Пример 30  .Решение Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой  , чем к точке с координатой  . Так как  , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой  .Ответ.  .Пример 31Решите уравнение  .Решение Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма  равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек  и  не меньше длины отрезка  (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что  не меньше 4, а  не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна  , необходимо, чтобы  . Итак, необходимо равен  . Легко проверить, что значение  действительно является решением данного уравнения.Ответ: . |