Задачи с параметрами в курсе основной школы. #Задачи с параметрами в курсе основной школы. Александры Анатольевны

• Название: Александры Анатольевны
• Анкор: Задачи с параметрами в курсе основной школы
• Дата: 06.05.2023
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: #Задачи с параметрами в курсе основной школы.doc
• Тип: Документы; #1112281
• страница: 5 из 8

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

В математике следует помнить

не формулы, а процессы мышления.

Ермаков В.П.

Основная цель: научить учащихся исследовать квадратные уравнения; ознакомить их с применениями теоремы Виета и теоремы, обратной ей.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны.

Теория решения квадратного уравнения должна быть изложена достаточно полно по требованию программы. Однако для того, чтобы облегчить учащимся решение многих задач, я считаю необходимым дополнить теоретический материал. (Все изложенные ниже дополнительные сведения сообщаются учащимся в процессе изучения соответствующей темы, снабжаются множеством простых примеров. Доказывать все свойства не обязательно.)

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.

• 
  Уравнение вида Ax² + Bx + C = 0, где x – неизвестное, A, B, C – действительные числа или выражения, зависящие только от параметров, причем A  0, называется квадратным уравнением относительно x.
  

• 
  Допустимыми считаются такие значения параметров, при которых A, B и C имеют смысл.
  

• 
  D = B² – 4ac – дискриминант квадратного уравнения.
  

• 
  Если D  0, то уравнение корней не имеет.
  

• 
  Если D = 0, то уравнение имеет один корень кратности два: x = – .
  

(Замечание: Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю, и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители. Правильнее, на мой взгляд, что в этом случае нужно говорить и понимать "один корень кратности два".)

• 
  Если D  0, то уравнение имеет два различных корня:
  

x₁ = , x₂ = .

• 
  Если b = 2k, то D₁ = k² – ac;
  

x₁ = , x₂ = .

• 
  Теорема Виета. Если x₁и x₂ – корни квадратного уравнения ax²+bx+c = 0, то
  

x₁ + x₂ = – , x₁ x₂ = .

• 
  Для приведенного квадратного уравнения x² + px+ q= 0 (при условии p² 4q)
  

x₁ + x₂ = – p; x₁ x₂ = q;

x₂ – x₁ = ; x₁ ²+ x₂ ² = p² – 2q.

• 
  Свойства корней квадратного уравнения:
  

1. 
   Если D  0, a  0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при C  0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента b, а при C  0 разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку b.
   
2. 
   Если D = 0, a  0, то уравнение имеет один корень кратности два, знак которого противоположен знаку b.
   
3. 
   Если D  0, a  0, то корней нет.
   

Аналогично устанавливаются свойства корней и для a  0.

Справедливы следующие утверждения:

1. 
   Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты a и c, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
   
2. 
   Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента b, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
   
3. 
   Если в квадратном уравнении коэффициенты a и c разных знаков, то оно имеет действительные корни.
   
4. 
   Если a  0, D = 0, то левая часть квадратного уравнения есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то a  0, D = 0.
   

При изучении неполных квадратных уравнений в устную и письменную работу полезно включать такие задания:

12. 
    При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен нулю:
    

а) 3x² + x + 2m – 3 = 0; б) x² – 2x + m² – 1 = 0;

в) 2x² – mx + 2m² – 3m = 0; г) x² + (m + 3)x + m – 3 = 0.

12. 
    При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:
    

а) x² + (3m – 5)x – 2 = 0; б) 2x² – (5m – 3)x + 1 = 0;

в) 3x² + (m² – 4m)x + m – 1 = 0; г) 4x² + (5m – 1)x + 3m² + m = 0.

12. 
    При каких значениях m корень уравнения кратности два равен нулю:
    

а) 3x² – (m – 1)x – 1 – m² = 0; б) x² – (3m² + 4m)x + 9m² – 16 = 0;

в) 2x² + (3m² – mx) – m³ – 3m = 0; г) x² + (16 – m⁴)x + m³ + 8 = 0.

12. 
    Решите уравнение:
    

а) x²+ a = 0; б) x²– 2x + 1 = 0; в) a²x²– 4 = 0; г) a(x²– 6x + 9) + 4 = 0.

К основным знаниям и умениям по этой теме относится умение решать полные квадратные уравнения.

Особенность решения этих уравнений заключается не только в том, что с изменением параметра у них меняются числовые коэффициенты, но и в том, что могут измениться важнейшие характеристики всего уравнения.

Начинать "общаться" с квадратными уравнениями следует с класса задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней.

Обычно такие задачи не вызывают трудностей. Основное, что требуется от учащегося – это внимательность к формулировке.

12. 
    При каких значениях параметра c уравнение 5x² – 4x + с = 0:
    

а) имеет действительные различные корни;

б) имеет один корень кратности два;

в) не имеет действительных корней?

Решение: D₁ = 4 – 5c

а) Если D₁ 0, 4 – 5c  0, 5c  4, c  0,8 , то уравнение имеет два различных корня;

б) Если D = 0, 4 – 5c = 0, c = 0,8 , то уравнение имеет один корень кратности два;

в) Если D  0, 4 – 5c  0, 5c  4, c  0,8 , то уравнение не имеет корней.

Ответ: а) c  0,8;б) c = 0,8; в) c  0,8.

При работе с этим уравнением акцентируем внимание на следующих вопросах:

• 
  Какова степень уравнения?
  
• 
  Зависит ли степень уравнения от значения параметра с?
  

Далее усложняем задачу, предлагая уравнения, в которых коэффициент при второй степени неизвестной зависит от параметра.

12. 
    При каких значениях a уравнение ax² + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?
    

Решение:

1. 
   Данное уравнение является квадратным относительно xпри a 0.
   

(Комментарий: первоначально учащиеся формулируют определение квадратного уравнения).

2. 
   Уравнение имеет различные корни, когда его D₁ 0.
   

D₁ = 1 – a, 1 – a  0, a  1.

3. 
   При a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.
   

Ответ: a ( 0) U (0; 1).

Формулируем правило:

• 
  Если коэффициент при x²многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
  

Опять с уравнением работаем очень подробно, обсуждая каждую деталь решения.

12. 
    Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение
    

(a + 1)x² + 2(a + 1)x + a – 2 = 0

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет один корень.

Решение:

(Комментарий: Несколько раз прочитать формулировку, сравнить с предыдущим заданием, найти отличие в формулировках).

1. 
   Так как по условию уравнение квадратное, то a + 1  0, a –1.
   

(Вывод: Из решения следует исключить это число).

2. 
   D₁= (a + 1)² – (a + 1)(a – 2) = 12(a + 1).
   

а) Если D₁ 0, a + 1  0, a –1, то уравнение имеет два различных корня;

б) Если D₁ 0, a + 1  0, a –1, то уравнение не имеет корней;

в) Уравнение имеет один корень, если D₁ = 0, a + 1= 0, a = –1, но a –1 (из п.1), следовательно, решений нет.

Ответ: а) a –1;б)a –1; в)решений нет.

12. 
    При каких a уравнение ax²– x + 3 = 0 имеет единственное решение?
    

(Комментарий: Обсуждаем, какие из известных нам типов уравнений имеют один корень; каким может быть это уравнение в зависимости от a; определен ли в условии задачи тип уравнения).

Решение:

1. 
   Если a = 0, –x + 3 = 0, x = 3, то уравнение имеет один корень.
   
2. 
   Если a 0, то уравнение имеет один корень, когда D = 0.
   

D = 1 – 12a, 1 – 12a = 0, a = .

Ответ: a = 0, a = .

Задачи 36  39 являются ключевыми по этому вопросу.

В классе и для домашней работы можно предложить такие задачи:

12. 
    При каких значениях параметра b уравнение x² + bx + 4 = 0:
    

а) имеет один из корней, равный 3;

б) имеет различные корни;

в) имеет один корень;

г) не имеет корней?

12. 
    При каких значениях параметра b корни уравнения 4x² + (3b² – 5 b + 2)x – 3 = 0 равны по модулю?
    

Ответ:  ;  1.

12. 
    Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение x² + x – k = 0 не имеет корней.
    
13. 
    При каком значении a уравнение:
    

а) ax² – (a + 1)x + 2a – 1 = 0; б) (a + 2)x² + 2(a + 2)x + 2 = 0

имеет один корень?

Ответ: а) – ; 0 ; б) 0.

12. 
    При каких значениях a уравнение (a² – 6a + 8)x² + (a² – 4)x + (10 – 3a – a²) = 0 имеет более двух корней?
    

Ответ: 2.

12. 
    Докажите, что при любом значении k уравнение 3y² – ky – 2 = 0 имеет два корня.
    
13. 
    Докажите, что не существует такого значения m, при котором уравнение x² – mx + m – 2 = 0 имело бы один корень.
    

По моему опыту работы, только после усвоения учащимися вопроса исследования квадратного уравнения есть смысл переходить к задаче: решить уравнение.

12. 
    Решить уравнение x² + 5ax + 4a² = 0.
    

Решение:

1. 
   Коэффициент при x²равен 1, следовательно, уравнение квадратное.
   
2. 
   Найдем дискриминант: D = (5a)² – 4 1 4a² = 25a² – 16a² = 9a².
   

а) При a 0, D 0: уравнение имеет два корня = 3a:

x_1,2 = .

(Комментарий: В этом месте решения возникает техническая сложность, связанная с раскрытием модуля. Несколько раз следует подробно записать нахождение корней.)

Если а  0, x₁ = = –4a, x₂ = = –a.

Если a  0, x₁ = = –a, x₂ = = –4a.

Т.е. при a 0 и a 0 корни уравнения выражаются через aодинаково.

б) При a = 0, D = 0: x = = = 0.

Ответ: при a  0 x₁ = –4a, x₂ = –a;

при a = 0 x = 0.

Комментарий: Ответ можно выписать, не выделяя случай a=0: при любых a x₁=–4a, x₂= –a; но я предпочитаю выделять случай равенства дискриминанта нулю, т.к. такая запись снимает вопрос о количестве корней в зависимости от a.

12. 
    Решить уравнение ax²+ 2x + 1 = 0.
    

Решение: Первоначально рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен нулю.

1. 
   Если a = 0, 2x + 1 = 0, x = –0,5 , то уравнение линейное, имеет один корень.
   
2. 
   Если a 0, то имеем квадратное кравнение. Найдем D₁. D₁ = 1 – a.
   

а) ЕслиD₁  0, 1– a 0, a 1, a 0, уравнение имеет два корня:

x_1,2 = .

б) ЕслиD₁ = 0, a = 1, то уравнение имеет один корень: x = = –1.

в) ЕслиD₁  0, 1– a 0, a 1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: при a 1,a 0 x_1,2 = ;

при a = 0 x = –0,5;

при a = 1 x = –1;

при a 1 корней нет.

Разбираем еще одно аналогичное уравнение (можно пригласить ученика к доске).

12. 
    ax² x + 3 = 0.
    

Ответ: при a ,a 0 x_1,2 = ;

при a = 0 x = 3;

при a = x = 6;

при a корней нет.

12. 
    (a + 1)x² 2x + 1 a = 0.
    

Теперь учащиеся готовы к составлению алгоритма.

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами.

Ax² + Bx + C = 0

1. 
   Несколько раз прочитать формулировку задачи. Выяснить, зависит ли степень уравнения от параметра. Если требуется, найти ОДЗ параметра.
   
2. 
   Найти значения параметра, при которых A = 0. Решить линейное уравнение.
   
3. 
   Решить квадратное уравнение.
   

а) Определить, при каких значениях параметра D 0. Найти корни по формуле x_1,2 = .

б) Определить, при каких значениях параметра D = 0. Найти корень по формуле x = .

в) Определить, при каких значениях параметра D 0, корней нет.

4. 
   Исключить из п. 3 а), б), в) значения параметра из п. 1, 2.
   
5. 
   Записать ответ.