Задачи с параметрами в курсе основной школы. #Задачи с параметрами в курсе основной школы. Александры Анатольевны
 Скачать 1.31 Mb.
|
B       0 y = ax (a0) x y = x y = –x При a –1 уравнение имеет один корень: x = 0. При a = 1 прямая y = ax (y = x) содержит луч OA, и уравнение имеет бесконечно много корней: x 0. При a = –1 прямая y = ax (y = –x) содержит луч OB, и уравнение имеет беско-нечно много корней: x 0. Графический способ (2). Данное уравнение для любого значения параметра a всегда имеет, по крайней мере, одно решение x = 0, т.к. графики функций y = x и y = ax при любых значениях параметра a имеют общую точку – начало координат. Пусть x 0. Выразим из уравнения ax = x параметр a через x: a =  и построим графики функций: y = a и y = . Используя определение модуля, получим: –1, при x 0, 1, при x 0  y  1   y = 1   y = –1 –1 y = a (a 1) y = a (–1 a 0)  0 x y = a (a –1) При a 1 графики не имеют общих точек, следовательно, корней уравнения кроме x = 0, нет. При a = 1 график функции y = a (y = 1) содержит правую часть графика функции y = (x 0), следовательно,уравнение имеет бесконечно много корней: x 0 (учитываем, что x = 0 при любых a).При a = –1 график функции y = a (y = –1) содержит левую часть графика функции y = (x 0), и уравнение имеет бесконечно много корней: x 0.Ответ: при a 1 x = 0; при a = 1 x 0; при a = –1 x 0. Это упражнение является очень полезным, т.к. во многих случаях графический метод более уместен, чем аналитический, а на первых порах следует рассматривать все способы, чтобы выработать у учащихся зоркость в выборе метода решения более сложных задач. Итак, все рассмотренные выше упражнения (123) и им подобные имеют ясную дидактическую цель – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с параметром. Учащиеся 7 класса должны усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет "общаться" с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, требует дополнительного исследования. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ. При решении задач с параметром учитель должен обратить внимание учащихся на необходимость осторожного, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. К концу года учащиеся должны уметь решать задачи типа 16, 9, 10, 18, 19. Регулярно в проверочные и контрольные работы последними заданиями включаются задачи с параметрами. В мае проводится контрольная работа, в которую включены все типы основных задач, однако уровень сложности зависит непосредственно от контингента учащихся. 8 класс. Сейчас перед каждым учеником ставится задача научиться овладевать фундаментальными знаниями, т.е. не набором некоторых правил и умений решать стандартные задачи, а, прежде всего, глубокому пониманию сути изучаемых явлений, приобщению к поиску самих задач, постановке этих задач, формулированию гипотез, испытанию их на правдоподобие. В процессе исследования ребята разрабатывают способы решения поставленной задачи, реализуют их, учатся обобщать полученные результаты, применять их для постановки новых проблем. Уравнения с параметрами, приводимые к линейным. Следующий шаг в изучении уравнений с параметром, составляют уравнения, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения. При изучении темы "Рациональные дроби" дается определение области допустимых значений переменных, а также условие равенства дроби нулю, что составляет базу для решения таких уравнений. Прежде, чем заняться решением уравнений, мы опять возвращаемся к основам темы "Решение задач с параметрами", но уже на более серьезном теоретическом уровне. Рассмотрим уравнения:  +  = 2; x 5 = a;  = 0Каждое из этих уравнений можно рассматривать как уравнение с переменными x и a. Однако мы говорим о решении уравнения относительно x, считая x и a неравноценными, и хотим выразить x через a, считая a известным. При таком рассмотрении переменная x называется неизвестным, переменная a – параметром. Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое значение, то возможен один из двух случаев: получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров; получится условие, лишенное смысла. В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором – недопустимым. (обсудить предъявленные уравнения) Решить уравнение, содержащее параметр – значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения. Условились параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, …, k, l, m, а неизвестные – последними: x, y, z. Перейдем к рассмотрению ключевых уравнений. (подобрать подготовительный материал для устной работы очень легко)  = 1.Решение: ОДЗ: x 2. Умножим обе части уравнения на x 2 0, получим: a = x 2, x = a + 2. Найдем недопустимые значения a, т.е. решим уравнение: a + 2 = 2, a = 0. (Комментируем: при a = 0 x = 2, но число 2 не входит в область допустимых значений исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем). Ответ: при a 0 x = a + 2; при a = 0 корней нет.  +  =  .Решение: ОДЗ: x 1, a 0. Умножим обе части уравнения на a (x + 1) 0, получим: a (x – 4) + 2x + 2 = 1, (a + 2) x = –1 + 4a. (1) Найдем недопустимые значения a: (комментарий: подставим x = –1 в уравнение (1)): (a + 2) (–1) = –1 + 4a, –a – 2 = –1 –5a = 1, a = –  .При a = – корней нет.(Комментарий: решим уравнение (1), это линейное уравнение относительно x, решение которого изучено в 7 классе.) (a + 2) x = –1 + 4a 1. Если a + 2 0, a –2, то x =  ;2. Если a + 2 = 0, a = –2, то 0 x = – 9, корней нет. (Комментарий: обратите серьезное внимание на выписку ответа, можно упустить некоторые моменты). Ответ: при a –2, a – , a 0 x = ;при a = –2, a = – , a = 0 корней нет.Вторую часть ответа можно выписать и следующим образом: при a = –2, a = – , корней нет;при a = 0 левая и правая части уравнений не имеют смысла.  =  .Решение: ОДЗ: kx 12 0;x  ;3x – k 0; x  .Умножим обе части уравнения на (kx – 12) (3x – k) 0, получим: 3 (3x – k) = kx – 12, 9x – 3k = kx – 12, 9x – kx = 3k – 12, (9 – k) x = 3k – 12. (1) Найдем недопустимые значения k: 1. Если x = , то (9 – k) = 3k – 12,108 – 12k= 3k2 – 12, k2 = 36, k = 6. 2. Если x = , то (9 – k) = 3k – 12,9k – k2 = 9k – 36, k2 = 36, k = 6. При k = 6 корней нет. Решим уравнение (9 – k) x = 3k – 12. 1. Если 9 – k 0, k 9, то x =  ;2. Если 9 – k = 0, k = 9, то 0 x = 15, корней нет. Ответ: при k 6, k 6, k 15 x = ;при k = 6, k = 6, k = 15 корней нет. Каждое из этих трех уравнений должно быть основательно проработано в классе, так как в их решении есть "подводные камни", которые должны преодолеть восьмиклассники. Далее можно предложить учащимся самостоятельно составить словесное описание алгоритма решения таких уравнений. Алгоритм решения уравнения с параметрами, сводящегося к линейному. Найти область допустимых значений неизвестного и параметров, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, преобразовать к виду линейного. Найти недопустимые значения параметра. Решить линейное уравнение с параметром. Выписать ответ с учетом пунктов 3, 4. Для формирования навыка решим следующие уравнения:  = a.Решение: ОДЗ: x –1; Умножим обе части уравнения на x + 1 0, получим: x = a (x + 1), x = ax + a, x – ax = a, (1 – a) x = a. Найдем недопустимые значения a: Если x = –1, то (1 – a) (– 1) = a, a – 1 = a, 0 a = 1, корней нет. Не существует значений a, при которых x = –1. (1 – a) x = a. 1. Если 1 – a 0, a1, то x =  ;2. Если 1 – a = 0, a = 1, то 0 x = 1, корней нет. Ответ: при a 1 x =  ;при a = 1 корней нет.  = 0.Ответ: при a 1 x = a; при a = 1корней нет.  =  –  .Решение: ОДЗ: x –3; x 2; a –1; Упростим уравнение:  =  –  ,После преобразований, которые учащиеся выполняют самостоятельно, получим: 2ax = 1 – a. Найдем недопустимые значения a: 1. Если x = –3, то 2a (–3) = 1 – a, –6a = 1 – a, –5a = 1, a = –0,2. 2. Если x = 2, то 2a 2 = 1 – a, 5a = 1, a = 0,2. При a = 0,2 корней нет. 2ax = 1 – a. 1. Если 2a 0, a0, то x =  ;2. Если 2a = 0, a = 0, то 0 x = 1, корней нет. Ответ: при a –1, a 0,2, a 0 x = ;при a = –1, a = 0,2, a = 0корней нет.  +  =  .Ответ: при m 1, m –0,4 , m 2,25 x =  ;при m = –0,4 , m = 2,25 , корней нет; при m = 1 уравнение не имеет смысла. Следующие два уравнения можно отнести в банк задач и рассмотреть их решение в любое удобное время вплоть до 11 класса.  =  .Решение: ОДЗ: x –3a; x –b. a (b + x) = 6a + 2x, (a – 2) x = a (6 – b). Найдем недопустимые значения aи b: 1. Если x = –3a, то (a – 2) (–3a) = a (6 – b); a (b – 3a) = 0;  a = 0,b = 3a. 2. Если x = –b, то (a – 2) (–b) = a (6 – b), 2b = 6a, b = 3a. При a = 0 и b = 3aкорней нет. (a – 2) x = a (6 – b). 1. Если a – 2 0, a2, то x =  ;2. Если a – 2 = 0, a = 2, то 0 x = 2 (6 – b), а) при b 6 0 x = 12 – 2b, корней нет; б) при b = 6 0 x = 0, x – любое число. Ответ: при a 0, a 2, b 3a x =  ;при a = 0 корней нет; при a = 2, b 6 корней нет; при a = 2, b = 6 x – любое число; при a 2, b = 3aкорней нет. Задачу можно усложнить, потребовав исследовать знаки корней, тогда в ответе появится дополнение: x  0 при a 0, 0 a 2, a 2,b 6; b 6; b 6; x = 0 при b = 6; x 0 при a 0, 0 a 2, a 2,b 6; b 6; b 6. Аналогичным требованием можно усложнить задачу 3, тогда: x 0 при k (4; 6) U(6; 9), x = 0 при k = 4; x 0 при k (; 6) U( 6; 4) U(9; ). Требуется применить метод интервалов.   =  .Решение: ОДЗ: a R, b R, x b2. Умножим обе части уравнения на b4 – x2 0 (a – b)2x = a2 – b2. Найдем недопустимые значения aи b (ab): 1. Если x = b2, то (a – b)2b2 = a2 – b2; a =  ;2. Если x = –b2, то (a – b)2( b2) = a2 – b2, a =  ;При a = , a = корней нет.(a – b)2x = a2 – b2. 1. Если (a – b)2 0, a b, то x =  ;x =  .2. Если (a – b)2 = 0, a = b, то 0 x = 0, x – любое число, кромеx = b2(из ОДЗ). Ответ: при a b, a , a x = ;при a = b, x – любое число, кроме b2; при a = , a = решений нет.При решении уравнений такого вида от учащихся требуется строгое соблюдение алгоритма. Если позволять менять местами шаги 3 и 4, то практика показывает, что шаг 3 учащиеся в решении теряют. Также обращается особое внимание на строгость порядка при выписке ответа, рассмотрение последовательно всех значений параметра согласно решению. Из ранее изученного восьмиклассникам на факультативе можно предложить такие задания: Решить уравнение x2 – 1 + a (x – 1) = 0. Решение: Это уравнение равносильно системе  x2 – 1 = 0, x2 – 1= 0, x = –1, x = –1, a (x – 1) = 0; a (x – 1) = 0; a (x – 1) = 0; a = 0; x = 1, x = 1, a (x – 1) = 0; a – любое число.Ответ: при a 0, x = 1; при a = 0, x = 1. Найти все значения параметра bтакие, что при любых значениях параметра a система:  x – 2y = a,(1)ax + 3y = b(2) имела хотя бы одно решение. Решение: Систему решаем методом подстановки.  y = ,ax + 3y = b. Подставим yв уравнение (2), получим: ax +  = b;(a +  ) x = b + a.Если a + 0, a ,то x = .Уравнение, а значит, и система, имеют решение при любом действительном b. Если a + = 0, a = ,то 0 x = b – .Уравнение имеет решение при b = .Значит, независимо от значения aсистема будет иметь решения при b = .Ответ:b = .В восьмом классе более серьезно изучаются графики функции. Восьмиклассники знакомы с элементарными преобразованиями графиков. Поэтому я считаю целесообразным после изучения функции y =  рассмотреть задания, в которых применяется графический способ решения, и его применение преимущественно.Сколько корней имеет уравнение x 2 = a при различных значениях параметра a? Решение: Построим график функции y = x 2, проведя ряд последовательных преобразо-ваний: y = x – 2 y = x 2 y = x 2 , и график функции y = a. y  y = x 2 y = a (a 2) 2   y = a (a = 2)    y = a (0 a 2)   x y = a (a = 0) 2 0 2  y = a (a 0)  Ответ: при a 0 корней нет; при a = 0 два корня; при 0 a 2 четыре корня; при a = 2 три корня; при a 0 два корня. Решить уравнение x 1 + x 3 = a. Решение: Построим графики функций y = x 1 + x 3и y = a. 4  – 2xпри x 1, y = x 1 + x 3 = 2 при 1 x 3, 2x – 4 при x 3. y = x 1 + x 3 y  y = a (a 2) 2  y = a (a = 2)  y = a (a 2) x 1 0 3 Если a 2, то ломаная и прямая y = aне пересекаются. Уравнение корней не имеет. Если a = 2, то ломаная и прямая совпадают при 1 x 3. Уравнение имеет бесконечно много корней. Если a 0, то ломаная и прямая пересекаются в двух точках. Уравнение имеет два корня: 4 – 2x = aили 2 – 4x = a; x =  x = .Ответ: при a 2 корней нет; при a = 2, 1 x 3; при a 2, x1 = ; x2 = .Рассмотрим более сложный, но доступный восьмикласснику пример. Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение x + 2 = ax + 1? Решение: При x = 0 получаем 0 + 2 = a 0 + 1, т.е. x = 0 не является корнем уравнения ни при каких значениях параметра a. Преобразуем уравнения с учетом, что x 0.  = a.Построим графики функций y = и y = a.y  = = 1 + приx2,1 –  при x2.График функции y = + 1 гипербола y = , сдвинутая на 1 вверх по 0y.График функции y = – 1 гипербола y = – , сдвинутая на 1 вниз по 0y.При различных значениях параметра aграфиками функций y = a являются прямые, параллельные оси абсцисс.  При a1 иa 1 графики имеют одну общую точку пересечения, уравнение имеет один корень; При 1a ½ точек пересечения две, уравнение имеет два корня; При ½ a 1 точек пересечения нет, уравнение корней не имеет; При a = ½ один корень. Ответ: при a1 один корень; при 1a ½ два корня; при a = ½ один корень; при ½ a 1 корней нет; при a 1 один корень.  Пока мы не формулируем четкий алгоритм применения графического метода, только лишь устно составляем план решения задачи. Рассмотрение же таких задач с восьмиклассниками считаю необходимым, иначе в 10-11 классах при подготовке к экзаменам придется начинать все сначала, значит, теряется драгоценное время, ведь восстанавливать материал гораздо легче, чем изучать заново.ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ Основная цель: сформировать умение решать элементарные линейные неравенства с параметрами. В первую очередь расширим определение линейного неравенства. Каждое из неравенств вида AxB, AxB, AxB, AxB, где Aи B – действительные числа или функции от параметров, а x– неизвестная величина, называется линейным неравенством с одним неизвестным (x). Рассмотрим простейший пример: Решить неравенство ax 1. Невнимательный ученик быстро дает ответ x  .Тогда следует попросить его подставить вместо aразличные значения и проверить, всегда ли совпадает решение с общим видом. Сделав соответствующие замечания, вызвать ученика к доске с просьбой составить блок-схему решения этого неравенства. ax 1   a 0a = 0a 0 ax 1 0x 1 ax 1 x  x – любое число x  Учитель задает по заданию такие вопросы: "Каким будет решение, если вместо числа 1 записать ? вместо знака записать знак ?" и т.п. Ученики активно анализируют ответы своих одноклассников. Затем учащиеся получают задание по вариантам составить блок-схемы к решению неравенств AxB, AxB, AxB, AxB. В тетрадях записываем словесное описание алгоритма. Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами На примере неравенства Ax B,где x – неизвестное, A, B – выражения, зависящие только от параметров) Если A 0, то x  .Решением неравенства являются все числа из промежутка ( ).а) Если A = 0, B 0 0 x B, x – любое число. Решением неравенства является промежуток ( + ). б) Если A = 0, B = 0 0 x 0, решений нет. в) Если A = 0, B 0 0 x B, решений нет. Если A 0, то x .Решением неравенства является промежуток ( ).Так как учащиеся еще не знакомы с методом интервалов, то выбор заданий по этой теме весьма ограничен. На этом этапе работы будет достаточно, если школьники усвоят решение простейших ключевых неравенств. Решить неравенство (m – 1)x 5m. Решение: Если m – 1 0, m 1, то x  .Если m – 1 = 0, m = 1, получим 0 x 5, x – любое число. Если m – 1 0, m 1, то x . Ответ: при m 1, x ;при m = 1, x – любое число; при m 1, x ..Несущественно, будут ли значения m и x записаны в форме неравенства или промежутка. 2ax + 5 a + 10x, 2ax – 10x a – 5, (2a – 10)x a – 5, 2(a – 5)x a – 5. Если 2(a – 5) 0, a – 5 0, a 5, то x  ; x  .Если 2(a – 5) = 0, a – 5 = 0, a = 5, то 0 x 0, решений нет. Если 2(a – 5) 0, a – 5 0, a 5, то x ; x .Ответ: при a 5, x ;при a = 5, решений нет; при a 5, x .mx – 6 2m – 3x, mx + 3x 2m + 6, (m + 3)x 2(m + 3). Если m+3 0, m3, то x  ; x 2.Если m+3 = 0, m = 3, то 0 x 0, x – любое число. Если m+3 0, m3, то x ; x 2.Ответ: при m3, x 2; при m = 3, x – любое число; при m3, x 2. Формальное решение неравенств 17, 18 приводит к распространенной ошибке, которая сводится к делению левой и правой частей неравенства на выражение, содержащее переменную, а это приводит к потере решений и коротким ответам. Неправильно: x(m + 3) 2(m + 3), x 2. 5x – a ax – 3. Ответ: при a 5, x  ;при a = 5, решений нет; при a 5, x . |