Задачи с параметрами в курсе основной школы. #Задачи с параметрами в курсе основной школы. Александры Анатольевны

• Название: Александры Анатольевны
• Анкор: Задачи с параметрами в курсе основной школы
• Дата: 06.05.2023
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: #Задачи с параметрами в курсе основной школы.doc
• Тип: Документы; #1112281
• страница: 2 из 8

Тема "Числовые и буквенные выражения"

1. 
   В каждом ряду зрительного зала m мест, а число рядов на n больше, чем мест в ряду. Сколько мест в зрительном зале?
   
2. 
   В составе пассажирского поезда 3 мягких вагона и 14 купейных вагонов. В каждом мягком вагоне p мест, а в купейном на q мест больше. Сколько всего мест в таком составе поезда?
   
3. 
   Запишите число, в котором: а) 8 десятков и x единиц;
   

б) xдесятков и 8 единиц;

в) x десятков и y единиц;

г) 5 сотен, x десятков и 4 единицы;

д) x сотен, y десятков, z единиц.
Тема "Решение линейных уравнений"

1. 
   При каких значениях a число 5 является корнем уравнения:
   

а) ax = 7;

б) 2x = 3a;

в) (8  a) x = 5 x.

2. 
   Какое из двух чисел, обозначенных буквами, больше?
   

Сравнивая числа в каждом уравнении, докажите, на сколько или во сколько раз больше или меньше:

а) a + k = b; г) 3 + x = 5 + 2;

б) x = y: 2; д) m 3 = n;

в) c  k = 8 – 2; е) a  b = 4.

3. 
   Может ли при каком-нибудь значении a быть верным равенство:
   

a + 1 = a 1 ?
Тема "Площади и объемы"

1. 
   Составьте формулы для вычисления площадей фигур:
   

a x

а) a б) x

y d

x c

2. 
   Составьте формулы для вычисления площади заштрихованной части фигуры:
   

c
а) d б)


x
b b y
a a

3. 
   Запишите формулу для вычисления объема фигуры:
   

y


x





c


b


a

6 класс

Тема "Положительные и отрицательные числа"

1. 
   Зная, что а  b, сравните числа:
   

а) a и 8  b; б)  (a  4) и b.

2. 
   Известно, что а  b 0. Сравните:
   

а) 15a и 8b; б) 3a и 2b.

3. 
   Положительным или отрицательным числом является значение выражения
   

4kmn, где mи n– отрицательные числа?

4. 
   Сравнить: а) a и 3a.
   

Решение: Следует рассмотреть три случая:

1. 
   Если a  0, то a  3a.
   
2. 
   Если a = 0, то a = 3a, (0 = 3 0; 0 = 0).
   
3. 
   Если a  0, то a  3a.
   

б) a и a.

Решение: 1) Если a 0, то a a.

2. 
   Если a = 0, то a = a, (0 =  0; 0 = 0).
   
3. 
   Если a  0, то a  a.
   

При решении задач такого рода желательно иллюстрировать рассуждения на координатной прямой.

Тема "Решение уравнений"

1. 
   При каких значениях k уравнение kz = 8:
   

а) имеет корень, равный 4, , 0;

б) не имеет корней;

в) имеет отрицательный корень?

2. 
   Определите, при каких значениях bчисло 3 является корнем уравнения: а) (5 + b) x = 7 + 3b;
   

б) (5b  1)  x = 15b  3;

в) (4b + 1)  x = b  5.

3. 
   Для каждого из следующих уравнений, в которых неизвестное число обозначено буквой a, число 1 является корнем уравнения. Найдите, какое число в каждом из уравнений обозначено при этом буквой x?
   

а) x + 1 = a; г) (a  x) + 2 = 2a;

б) 2x  3 = 2 + a; д) (5  a) + 7x = 3a;

в) 3(x 1) = x + a. е) ax + 3 = 5.

При выполнении этого задания следует акцентировать внимание учащихся на том,что неизвестное в уравнении обозначено буквой a, а параметр– буквой x.

Если подготовленность учащихся позволяет, то можно рассмотреть и более серьезные задания.

4. 
   Решить уравнения:
   

а) x  a = 0

Ответ: при любом ax = a.

б) 5x = a

Ответ: при любом ax = .

в) x 2 = a

Ответ: при любом ax = 2a.

г) x = a

Ответ: при любом ax₁ = a, x₂ = a.

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Однако даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных комментариев и терпеливых объяснений.

В некоторых сборниках задач фигурируют упражнения такого типа для учащихся 5-6 классов:

Решить уравнение относительно x: a(xa) + b(xb) = x.

Такая формулировка представляется вредной задания, т.к. младшие школьники не могут решить уравнение с двумя параметрами, проведя его полное исследование.

В таких заданиях следует требовать: выразить x через a и b.

Таким образом, если в течение 5 и 6 классов регулярно в урочной и внеклассной деятельности использовать различные задания пропедевтического содержания к теме "Задачи с параметрами", то это существенно облегчит учащимся изучение этого вопроса на более серьезном и глубоком уровне, поможет сломать стереотипы мышления, разнообразит уроки различных тем. Такие задачи встречают живой отклик у младших школьников, они интересны сами по себе и содержательны.

В 5-6 классах не стоит включать задачи с данным содержанием ни в самостоятельные, ни в контрольные работы, т.к. такие задания сложны для индивидуального решения. Кроме того, к заданиям такого характера учащиеся неоднократно обращаются в 7-8 классах.

Учащимся 5-6 классов предлагаются творческие домашние задания, где требуется придумать аналогичные примеры и прорешать их.

Пропедевтическая работа важна и интересна, более того, идея приоритета развивающей функции обучения математике является, по существу, формой гуманитаризации математического образования, его ориентации на формирование подрастающего человека как интеллектуальной личности, а реализация гуманитарного потенциала возможна лишь на базе изучения определенного учебного материала.

7 класс.

Линейные уравнения с параметрами.
Уравнение представляет собой наиболее серьезную и важную вещь в математике. Лодж О.
Основная цель – углубить, расширить и обобщить сведения о линейных уравнениях, сформировать навык решения ключевых уравнений.

В первую очередь для подготовки к восприятию этого вопроса следует с начала года включать в устную работу на уроках задания, дублирующие материал 5-6 классов, в противном случае учителю не удастся "выкроить" время для изучения уравнений с параметрами, т.к. хорошо известно, что программа по алгебре 7-9 классов чрезвычайно плотная.

При наличии времени обратиться к параметрам можно с рассмотрения следующей задачи: "В 7, 8 и 9-м классах 105 учащихся. В 8-м классе учащихся на n больше, чем в 7-м, а в 9-м – на 3 меньше, чем в 7-м. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не меньше 30 человек?"

Начинаем обсуждение задачи. Учитель пишет на доске конспект решения, ученики работают устно.

Первая часть работы над задачей.

Обозначим через xчисло учащихся в 7-м классе. Тогда в 8-м классе было x + n, а в 9-м классе – x – 3 учащихся. Имеем уравнение x + x + n + x – 3 = 105, которое после упрощения примет вид 3x = 108 – n.

В этом уравнении буквой x обозначено неизвестное число, а буква n выполняет роль известного числа (хотя об n мы можем сказать, что n – натуральное число). Букву nв полученном уравнении называют параметром, а само уравнение – уравнением с параметром.

Уточним, что все эти термины учащимся знакомы, и большинство из них может самостоятельно ответить на вопросы учителя ("Что обозначено буквой x, буквой n?" и т.п.).

Вторая часть работы над задачей.

Выразим x через n, получим x = или x = 36 – .

Таким образом, в 7-м классе было 36 – , в 8-м 36 + , в 9-м 33 – учащихся. Но это не окончательный ответ. Из условия задачи следует, что в каждом классе было не менее 30 человек.

Так как меньшее число учащихся может быть в 7-м и 9-м классах, то должны выполняться неравенства 36 –  30 и 33 –  30. Отсюда получаем, что n 18 и n 9. Следовательно, n 9.

Из того, что числа 36 – , 36 + и 33 – должны быть натуральными, следует, что nкратно 3.

Учитывая эти два условия (n 9 и nкратно 3), заключаем, что nравно 3, 6 или 9.

Поэтому окончательный ответ на вопрос задачи мы можем записать так: в 7-м классе было 36 – учащихся, в 8-м классе 36 + и в 9-м классе 33 – , где n = 3, n = 6, n = 9.

Иначе говоря, возможны три варианта: в 7-м, 8-м и 9-м классах могло быть соответственно 35, 38, 32; или 34, 40, 31; или 33, 42, 30 учащихся.
Задача очень объемная. Цель ее рассмотрения:

1. 
   показать, как "рождаются" задачи с параметрами;
   
2. 
   зависимость ответа от значения параметра;
   

Поэтому целесообразно первую часть разобрать в форме диалога с учащимися, а далее конструктивно перейти к ответу, акцентировать внимание на возможных значениях n. Непосредственно закончить решение задачи предлагается самостоятельно по желанию, с последующим выставлением оценки в журнал, либо разобрать на факультативном занятии.

Во вводной беседе следует заметить, что изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Формированию некоторых навыков решения таких задач и посвящена данная тема.

Итак, решение линейного уравнения ax = b в общем виде, исследование количества его корней в зависимости от значений параметра относится к задачам с параметром.

Решим ряд устных упражнений типа:

1. 
   Дано уравнение ax = 3a + 8.
   

Какое уравнение получится при а) a = 10; б) a = 2;

в) a = ¼; г) a = 0.

2. 
   Является ли уравнение 2ax (a – 1) + a = 4x – 8a линейным
   

а) относительно x;

б) относительно a.

3. 
   Дано уравнение ax = 4x + 5.
   

Найдите множество корней этого уравнения в случае, если a = 4, a  4.

После этого восстановим схему решения линейного уравнения ax = b (x – переменная, a, b – некоторые числа). Для этого можно пригласить к доске сильного ученика.

ax = b



a 0, b – любое a = 0



x = b = 0b  0

0  x = 0 0  x = b

x – любое числокорней нет

Однако, учитывая, что решение задачи обычно записывается не блок-схемой, предпочтительно знакомить учащихся со словесным алгоритмом решения. Его они и записывают в тетрадь вслед за учителем.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.

Ax = B (x – неизвестное,

A, B – выражения, зависящие только от параметров)

1. 
   Если A  0, то x = .
   

Уравнение имеет один корень, причем x  0, если a  0 и b  0 или a  0 и b  0;

x = 0, если b = 0;

x  0, если a  0 и b  0 или a  0 и b  0.

2. 
   а) Если A = 0, B = 0
   

0  x = 0, x – любое число.

Уравнение имеет бесконечно много корней.

б) Если A = 0, B  0

0  x = B, корней нет.

Уравнение корней не имеет.

Сначала прорешиваем ключевые уравнения, акцентируя внимание на правильную запись ответа.

1. 
   ax = 10
   

Решение: а) Если a  0, то x = ;

б) Если a = 0, то 0  x =10, корней нет.

Ответ: при a  0 x = ;

при a = 0 корней нет.

2. 
   0  x = a
   

Решение: а) Если a = 0, то 0  x = 0, x – любое число;

б) Если a  0, то 0  x = a, корней нет.

Ответ: при a = 0 x – любое число;

при a  0 корней нет.

Обращаем внимание, что значение коэффициента известно, буквой a обозначен свободный член. При решении данного уравнения работает второй шаг алгоритма.

3. 
   2m (m – 2) x = m – 2
   

Решение: 1. Если 2m (m – 2)  0, то m  0, m  2;

x = ; x = .

2. а) Если m = 0, то

(на первых порах записываем подробно, чтобы ученики видели источник появления уравнения)

2  0 (0 – 2)  x = 0 – 2,

0  x = – 2,

корней нет.

б) Если m = 2, то

2  2 (2 – 2)  x = 2 – 2,

0  x = 0,

x – любое число.

Ответ: при m  0, m  2 x = ;

при m = 0 корней нет;

при m = 2 x – любое число.

4. 
   ax + 3 = 4a – 2x
   

Решение: Преобразуем уравнение к виду ax = b.

ax + 2x = 4a – 3,

(a + 2) x = 4a – 3.

1. Если a + 2  0, то a  –2, x = ;

2. Если a = –2, то (–2 + 2) x = 4 (–2) – 3,

0  x = –11,

корней нет.

Ответ: при a  –2 x = ;

при a = –2 корней нет.

5. 
   При каком значении параметра а уравнение = имеет корень:
   

а) больший нуля; б) меньший нуля; в) равный нулю?

Решение: =

Умножим обе части уравнения на 12:

20x – 4a = 18x – 3;

20x – 18x = 4a – 3;

2x = 4a – 3;

x = ;

x = 2a – 1,5.

а) x  0, если 2a – 1,5  0, 2a  1,5, a  0,75;

б) x  0, если 2a – 1,5  0, 2a  1,5, a  0,75;

в) x = 0, если 2a – 1,5= 0, 2a = 1,5, a = 0,75.

Ответ: при a  0,75 x  0;

при a  0,75 x  0;

при a = 0,75 x = 0.

Далее учащиеся решают блок задач на отработку задач типа 15. Такие задачи составляются весьма легко.

Разные задачи

6. 
   Составить линейное уравнение, обе части которого содержат параметр a так, чтобы уравнение имело решение при любом действительном a.
   

Ответ: (a² + 1) x = a или ax = a

7. 
   При каком целом неотрицательном значении n имеет целые корни уравнение
   

– = 1 ?

Решение: Умножим обе части уравнения на 9:

4n – 6 – 3 (x – 2) = 9;

4n – 6 – 3x + 6 = 9;

–3x = 9 – 4n;

x = ;

x = .

Уравнение имеет целые корни, если 4n – 9 кратно числу 3, следовательно, 4n кратно числу 3, отсюда n = 3k, где k – натуральное число.

Ответ: n = 3k, k  N.

8. 
   Решить уравнение x – xy + 5y = 7в целых числах.
   

Решение: Решим это уравнение относительно x, т.е. букву y будем считать параметром. Имеем:

x – xy = 7 – 5y;

x (1 – y) = 7 – 5y;

x = ;

Выделим из дроби целую часть:

= = – = 5 – .

Итак, x = 5 – . Дробь обращается в целое число лишь при тех значениях y, при которых y – 1 является делителем числа 2, т.е. при y, равном –1, 0, 2, 3.

Вычислим соответствующие значения x:

Если y = –1, то x = 5 – = 6;

Если y = 0, то x = 5 – = 7;

Если y = 2, то x = 5 – = 3;

Если y = 3, то x = 5 – = 4.

Ответ: x₁ = 6; y₁ = –1;

x₂ = 7; y₂ = 0;

x₃ = 3; y₃ = 2;

x₄ = 4; y₄ = 3.

Чуть позже, когда будут изучены формулы сокращенного умножения, можно предложить следующие задачи:

9. 
   Решить относительно x уравнение x (a² – 1) = (a + 1) (1 – x).
   

Решение: x (a² – 1) = a + 1 – x (a + 1);

((a² – 1) + (a + 1)) x = a + 1;

(a² + a) x = a + 1;

a (a + 1) x = a + 1.

1. 
   Если a (a + 1)  0, то a  0, a  –1
   

x = ; x = .

2. а) Если a = 0, то 0  x = 1, корней нет.

б) Если a = –1, то 0  x = 0, x – любое число.

Ответ: при a  0, a  –1 x = ;

при a = 0 корней нет;

при a = –1 x – любое число.

10. 
    При каких значениях параметра n уравнение (n² – 4) x = n³ – 2n² – n + 2 :
    

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней?

11. 
    Зная, что n  N, выясните, имеет ли заданное уравнение целые решения и, если имеет, то при каких n:
    

а) n (x – 1) = n² + n + 1

Ответ: при n = 1.

б) n (x + 5) = n² + n + 4

Ответ: при n = 1, n = 2, n = 4.

12. 
    При каких значениях параметра p уравнение px (px + 3) + 6 = x (px – 6)является линейным?
    

При решении текстовых задач, содержащих параметры, приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Иногда границы, в которых заключены значения параметра, приходится устанавливать, исходя из реального смысла задачи.

13. 
    На улице 24 дома, которые имеют 12, 16 и 17 этажей. При этом 17-этажных домов в 2 раза больше, чем 16-этажных, а 12-этажных – на n меньше, чем 16-этажных домов. Сколько разных типов домов на улице?
    

Решение: Пусть x – число 16-этажных домов. Тогда 2x – число 17-этажных домов, а x – n – число 12-этажных домов. Имеем уравнение:

x + 2x + x – n = 24;

4x = 24 + n;

x = ;

x = 6 + .

По смыслу задачи nN, следовательно,(x – n) также натуральное число и n кратно 4. Это возможно лишь при n = 4. Отсюда x = 7, 2x = 14, x – n = 3.

Ответ: четырнадцать 17-этажных домов,

семь 16-этажных и

три 12-этажных дома.

14. 
    Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 2n. Найти эти числа для значения параметра n из промежутка
    

50  n  100.

Решение: Пусть x – меньшее число; тогда следующее число x + 1. Их сумма равна 2x + 1, а сумма их квадратов x² + (x + 1)² = 2x² + 2x + 1. По условию:

(2x + 1)² – (2x² + 2x + 1) = 2n;

x (x + 1) = n.

Поскольку x  N, n  N и 50  n  100, то это уравнение проще всего решить подбором.

Уравнению с дополнительными ограничениями удовлетворяют числа 7, 8 и 9.

Ответ: 7 и 8, или 8 и 9, или 9 и 10.

15. 
    Сумму a выплатили 5-рублевыми и 10-рублевыми монетами, причем тех и других выдали поровну. Сколько было выдано 5-рублевых монет?
    

Ответ: , где a – число, кратное 15.

16. 
    Отец старше сына в n раз, а его дочь моложе брата в 2 раза. Сколько лет отцу, сыну и дочери, если отец старше дочери на 28 лет?
    

Ответ: отцу 32 года, сыну 8 лет, дочери 4 года.

17. 
    Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на a, где a – двузначное число, большее 50. Найдите эти числа.
    

Ответ: 8 и 9, или 9 и 10, или 10 и 11.

Очевидно, что предложенные задачи являются нестандартными для семиклассников, поэтому некоторые из них выполняются в классе как дополнительные к уроку, некоторые рассматриваются на кружке или предлагаются для долгосрочного домашнего задания.

Изучение темы "Системы линейных уравнений" можно разнообразить содержанием таких параметрических задач:

18. 
    При каких значениях b имеют общий корень уравнения:
    

а) 3x + 7 = 0 и 2x – b = 0;

б) 2x = 3b – 1 и 3x = 5b + 7?

Ответ: а) –4 ; б) –17.

19. 
    При каких значениях a и b система уравнений
    

а) 3x – 5y = a, б) ax + by = 2,

2x + y = b; 5x + by = 3 + a

имеет решение x = 3, y = –1.

Ответ: а) a = 14, b = 5; б) a = 3,5 , b = 8,5.

20. 
    При каких значениях a и b прямая y = ax+ b проходит через точки M(1;5) и N(-5;-3)?
    

Ответ: a = 1 ; b = 3 _.

21. 
    При каких значениях a и b системе уравнений
    

3x + 2y = 15a,

x + y = 9

удовлетворяет пара равных чисел? Для каждого такого a найдите решение системы.

Ответ: a = 2, x = y = 6.

При повторении материала в конце года можно познакомить учащихся с различными способами решения уравнений с параметром.

22. 
    Сколько решений имеет уравнение  x  = a в зависимости от параметра a?
    

Решение: Аналитический способ.

Используя определение модуля действительного числа, заключаем:

1. 
   При a  0 уравнение имеет два корня: x = –a, x = a.
   
2. 
   При a = 0 уравнение имеет один корень: x = 0.
   
3. 
   При a  0 уравнение не имеет корней.
   

Графический способ.

Построим графики функций y =  x и y = a.

y


y =  x 



y = a (a  0)


y = a (a = 0)

О
y = a (a  0)

0

x
чевидно, что:

1. 
   при a  0 графики пересекаются в двух точках (–a, a) и (a, a), значит, уравнение имеет два корня: x = –a, x = a;
   
2. 
   при a = 0 точка пересечения одна – начало координат, следовательно, уравнение имеет один корень: x = 0.
   

3. 
   при a  0 графики функций не пересекаются – корней нет.
   

Ответ: при a  0 два корня;

при a = 0 один корень;

при a  0 корней нет.

23. 
    Решить уравнение ax =  x .
    

Решение: Аналитический способ.

1. 
   При x  0 x =  x , следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению ax = x,
   

(a – 1) x = 0.

а) Если a – 1  0, a  1, x = 0;

б) Если a – 1 = 0, a = 1, 0 x = 0, x – любое число, большее или равное 0 (x  0).

2. 
   При x  0  x  = – x, уравнение равносильно уравнению
   

ax = –x,

(a + 1) x = 0.

а) Если a + 1  0, a  –1, x = 0;

б) Если a + 1= 0, a = –1, 0 x = 0, x – любое число, меньшее или равное 0 (x  0).

Графический способ (1).

Построим графики функций y =  x и y = ax.

Графиками функций y = ax являются прямые, проходящие через начало координат, угловой коэффициент которых равен a.


A


y = ax (a1)

y =  x 

y