Задачи с параметрами в курсе основной школы. #Задачи с параметрами в курсе основной школы. Александры Анатольевны
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
Образец оформления. Решить уравнение a (a + 3)x2+ (2a + 6)x 3a 9 = 0. Решение: a(a + 3) = 0 при a = 0, a = –3. а) Еслиa = 0, получим 6x – 9 = 0, 6x = 9, x = 1,5. б) Еслиa = –3, получим 0x + 9 – 9 = 0, 0 x = 0, x – любое число. a(a + 3) 0 при a 0, a –3. a (a + 3)x2+ 2(a + 2)x 3(a + 3) = 0. Разделим обе части уравнения на a + 3 0, получим ax2 + 2x 3 = 0, D1 = 1 + 3a. а) D1 0, если 1 + 3a 0, a  , a 0.Уравнение имеет два корня: x1,2 =  .б) D1 = 0, если 1 + 3a = 0, a = . Уравнение имеет один корень: x =  = 3.в) D1 0, если 1 + 3a 0, a , a 3.Уравнение не имеет корней. Ответ: при a ,a3 корней нет;при a = –3 x – любое число; при a , a 0 x1,2 = ;при a = , x = 3;при a = 0, x = 1,5. Комментарий: Довольно часто запись ответа вызывает затруднения. Вот один из возможных способов действий, использующий ось параметра a: Нанести на ось параметра a все значения, которые "встретились" при решении; Указать значения (или число) корней в каждом промежутке и отдельных точках.  Задачи для отработки. Решите уравнение. а) x2 3ax + 2a2 = 0;б) x2 bx 2b2 = 0;в) x2+ 5bx 6b2 = 0. а) x2 (2a 4)x 8a = 0; б) x2 + (3b 2)x 6b = 0; в) x2 (3a 2)x + 2a2 a 3 = 0; г) x2 4bx + 3b2 4b 4 = 0. а) ax2 (a + 1)x + 1 = 0;б) mx2 6x + 1 = 0. Выбор задач ограничен тем, что восьмиклассники не умеют решать квадратные неравенства. Желательно на этом этапе провести проверочную работу, в которую включить задания типа 37, 39, 47, 48. При наличии времени можно рассмотреть три интересные задачи, решение которых усложнено рассмотрением области допустимых значений параметра и неизвестного. Решить относительно x:   = .Решение: ОДЗ: x 2, x 1, m0. Умножим обе части уравнения на m(x + 1)(x + 2) 0, получим квадратное уравнение (преобразования самостоятельно): x2 2(m 1)x + m2 2m 3 = 0. Найдем D1. D1 = (m 1)2 (m2 2m 3) = 4. D1 0, значит, уравнение имеет два различных корня при любом m. x1 = m 1 2 = m 3; x2 = m 1+ 2 = m + 1. Найдем значения m, при которых значения x1, x2равны 2, 1. а) x1 = 2, еслиm 3 = 2, m = 1; при m = 1 x2 = 2; б) x1 = 1, еслиm 3 = 1, m = 2; при m = 2 x2 = 3; в) x2 = 2, еслиm + 1 = 2, m = 3; при m = 3 x1 = 6; г) x2 = 1, еслиm + 1 = 1, m = 2; при m = 2 x1 = 5. Ответ: при m 0, m3, m2, m 1 x1 = m 3; x2 = m + 1; при m = 0 уравнение не имеет смысла; при m = 3 x = 6; при m = 2 x = 5; при m = 1 x = 2; при m = 2 x = 3. Для каждого значения параметра a решить уравнение:  = 0.(обратите внимание, что в задачах 55, 56 одно требование, но сформулировано оно по-разному) Решение: Д  анное уравнение равносильно системе (x 4)(x + a) = 0; (1)x2 (2a 2)x 2a + 1 0. (2) Решим квадратное уравнение (2), D1 = (a 1)2 (2a + 1) = a2 2a + 1 + 2a 1 = a2. а) D1 0 при любых a; x1 = a 1 a = 1, x2 = a 1 + a = 2a 1. Т   огда система принимает следующий вид: x = 4,x = a; x 1, x 2a 1. И  сключим те значения a, при которых: 2a 1 = 4; a = 2,5;a = 1; a = 1; a = 2a 1, a =  .a = 4, a = 4. Ответ: при a 4, a , a 1, a 2,5 x1 = 4; x2 = a;при a = 4, a = , a = 1, x = 4;при a = 2,5 x = 2,5. При каких значениях a уравнение  = 0 имеет единственное решение?Решение: Д анное уравнение равносильно системе x2 ax + 1 = 0,x 3. Уравнение имеет один корень, если а) D= 0, но x 3. D= 0, a2 4 = 0, a = 2. Проверка: если a = 2, x2 + 2x + 1 = 0, x = 1. если a = 2, x2 2x + 1 = 0, x = 1. б) Если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 3. x1 = 3, ( 3)2a (3) + 1 = 0, 9 + 3a + 1 = 0; a =  .Найдем второй корень (самостоятельно): x2 =  .Ответ: a = ; a = 2; a = 2.К азбуке квадратного уравнения относится и теорема Виета, позволяющая выяснить для уравнения, имеющего корни, их знаки, сравнить корни по модулю и т.п. Устные упражнения. Решите уравнение. а) x2 7ax + 12a2 = 0; б) x2 + 5bx + 6b2 = 0; в) 7x2 4ax 3a2 = 0; г) 7x2 + 13bx + 6b2 = 0; д) x2 (3a1)x + 2a2 a = 0; е) x2 (4b2)x + 3b2 2b = 0. Далее целесообразно решить серию несложных задач. При каких k произведение корней квадратного уравнения x2 + 3x + (k2 7k + 12) равно нулю? Ответ: 3; 4. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x2 + (k2 + 4k 5)x k равна нулю? Ответ: 1. При каких значениях p и q корни уравнения x2 + px + q = 0 равны 2p и  ?Ответ: p = q = 0 или p = 1, q = 6. Более подробно следует остановиться на задачах такого содержания. При каких значениях a оба корня уравнения x2 2ax + 4 = 0 положительны? Обсуждаем. Для того, чтобы оба корня уравнения были положительны, нужно, во-первых, чтобы оно имело два корня, а для этого необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Во-вторых, так как свободный член положительный, то оба корня имеют одинаковые знаки, а поэтому, чтобы они имели знаки "плюс", нужно, чтобы коэффициент среднего члена был отрицательный. Разбив требование задачи на указанные две части, мы разбиваем и саму задачу на две более простые: При каких значениях a дискриминант уравнения положительный? При каких значениях a коэффициент среднего члена уравнения отрицательный? Решение: D= a2 4, a2 4 0, a2 4, a 2, a 2 или a 2. 2a 0, a 0.   a 2, a 2; a 2. a 0. Ответ: a 2. При каких значениях параметра a уравнение ax2 4x + a = 0 имеет: а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю? Ответ: а) 0 a 2; б) 2 a 0; в) a = 0. В уравнении x2 + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней равнялась единице. Решение: x2 x1 =  = 1, a = 7.Ответ: a = 7. Разнообразны задачи с применением формул сокращенного умножения. Корниуравнения x2 3ax + a2 = 0 таковы, что x1 2+ x2 2 = 112. Найти a. Решение: D= 9a2 4a2 = 5a2, D 0 при любых a. x  1 + x2 = 3a;x1 x2 = a2. x12+ x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2 = (3a)2 2a2 = 7a2 = 112; a2 = 16, a = 4. Ответ: 4. В уравнении 3x2 + ax + 2 = 0 определить a таким образом, чтобы корни уравнения были действительными, а сумма кубов корней равнялась удвоенной сумме корней. Решение: D 0, D= a2 24; a2 24 0, a2 24; a 2  .x  1 + x2 =  ;x1 x2 =  .x13+ x23 = (x1 + x2)(x12+ x22 x1 x2) = (x1 + x2)((x1+ x2)2 3x1 x2) =  ( 2). ( 2) = a; a( 4) = 0; a = 0; a = 6.0 2 ; 6 2 .Ответ: 6. Пусть x1 и x2– корниуравнения x2 + px + q = 0. Выразить x14+ x24 через p и q. Решение: x 1 + x2 = p;x1 x2 = q. x14+ x24 = (x12+ x22)2 2x12x22 = ((x1 + x2)2 2x1 x2)2 2x12x22 = (p2 – 2q2)2 – 2q2 = = p4 – 4p2q2 + 2q2. Ответ: p4 – 4p2q2 + 2q2. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2 + (m 1)x + m2 1,5 = 0 наибольшая? Ответ: –1. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 m)x + m 3 = 0 наименьшая? Ответ: 1. Учащиеся должны самостоятельно уметь решать задачи типа 59, 62, 65. Задачи такого типа целесообразно включать как обязательный материал в текущие самостоятельные и контрольные работы. Итоги работы за год покажет большая проверочная работа, в которую включены задачи, аналогичные ключевым по всем темам. 9 класс. Основная цель работы в 9 классе – тщательно изучить квадратный трехчлен и квадратные неравенства. Учащиеся 9 класса уже готовы к серьезной исследовательской работе, поэтому излагать новый материал можно в виде проблемного диалога между учениками и учителем. Квадратичная функция и ее график. При изучении графиков функций y = ax2 + nиy = a(x – m)2 в устную и письменную работу полезно включать задачи такого содержания. Найдите количество целых значений а, при которых абсцисса и ордината вершины параболы y = (x– 5 – a)2 + 3 – a положительны. Решение: y = (x– (5 + a))2 + 3 – a; х0 = 5 + а; y0 = 3 – a.  5 + а 0, а –5, –5 а 3.3 – a 0; а 3; Целые значения а: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2. Ответ: 7. Изучая график квадратного трехчлена, рассматриваем следующие задачи: При каких значениях а парабола y = 9аx2– 12х – 2 имеет с осью 0х две общие точки? Решение: Парабола имеет с осью 0х две общие точки, если дискриминант соответствующего квадратного трехчлена положителен D1 = 36 + 9a2 = 36 + 18a; 9а 0, а 0, а 0,36 + 18a 0; 18a 36; а 2. Ответ: (–; 0) U (0; 2). При каких m парабола y = mx2– 4mх + 35 касается оси абсцисс? Решение: Парабола касается оси абсцисс, если дискриминант равен 0 D1 = (2m)2– m35 = 4m2– 35m = 4m (m–  );  m 0, m 0,  4m(m–  ) = 0; m = 0; m = .m = Ответ: .Замечание. При решении таких задач следует всякий раз акцентировать внимание на том факте, что значение первого коэффициента не должно обращаться в ноль. Найдите значения а и b, при которых точка (1; 1) является вершиной параболы y = аx2+ bх + 8. Решение: Если точка (х0; y0) – вершина параболы, то х0 = –  ; y0 = y(x0).  – = 1, b = – 2a, b = – 14,a 12 + b1 + 8 = 0; a – 2a + 8 = 1; а = 7. Ответ: а = 7; b = –14. Очень содержательными, по-настоящему развивающими исследователь-ские навыки являются задачи типа: Известно, что парабола y = аx2+ bх + с не пересекает ось 0х и a + b + c 0. Определить знаки а и с. Прежде, чем записать решение задачи, рассмотрим утверждения: Если парабола не пересекает ось 0х, то она полностью лежит или над осью, или под осью, то есть при всех х принимает значения одного знака. Значение функции при х = 0 равно ее свободному члену, т.е. y(0) = c. Значение функции при х = 1 равно сумме коэффициентов y(1) = a + b + c. Решение: y(1) = a + b + c. Так как a + b + c 0, то y(1) 0. Функция принимает значения одного знака, следовательноy 0 при всех х, т. е. парабола лежит под осью 0х, таким образом а 0,y(0) 0, с 0. Ответ: а 0; с 0. Квадратный трехчлен аx2+ bх + с не имеет корней, а его коэффициенты связаны условием ab + c 0. Определить знак числа с. Решение: D 0, следовательно y 0 или y 0 для всех х. y() = ab + c. Так как ab + c 0, то y() 0, таким образом y 0 для всех х. с = y(0); y(0) 0, значит с 0. Ответ: с 0. Известно, что квадратное уравнение аx2+ bх + с = 0 не имеет корней и a + cb. Определить знак с. Решение: совпадает с решением задачи 76. Ответ: с 0. Пока девятиклассники не научились решать квадратные неравенства, им предлагаются задачи простые по технике решения. Важно, чтобы ученики могли грамотно проанализировать условие и вопрос задачи и правильно составить соответствующую систему. Квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств с параметрами – один из наиболее сложных вопросов 9 класса. Задачи очень разнообразны по формулировкам и порой достаточно трудоемки, объемны по записи решения, поэтому уже на первых уроках изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" ученики составляют в тетради таблицу, которой активно пользуются сначала при решении числовых неравенств, а потом и неравенств с параметрами. Изучив графический способ решения квадратных неравенств и рассмотрев примеры всех возможных типов, девятиклассники делают вывод, что возможны шесть случаев положения параболы относительно оси 0х. Факторы, влияющие на положение параболы – знак первого коэффициента и знак дискриминанта. Исследуем решение всех случаев. Р ешение квадратных неравенств f (x) 0 f(x) = Ax2 + Bx + C, где А, В, С – некоторые числа или выражения, зависящие только от параметра, причем А 0, х1 , х2 – нули функции.
|
