Задачи с параметрами в курсе основной школы. #Задачи с параметрами в курсе основной школы. Александры Анатольевны

• Название: Александры Анатольевны
• Анкор: Задачи с параметрами в курсе основной школы
• Дата: 06.05.2023
• Размер: 1.31 Mb.
• Имя файла: #Задачи с параметрами в курсе основной школы.doc
• Тип: Документы; #1112281
• страница: 7 из 8

В первую очередь ученикам предлагаются неравенства, которые должны выполняться или не выполняться при всех действительных значениях х.

12. 
    При каких значениях а неравенство x² (а + 2)х + 8а + 1  0 выполняется для всех действительных значений х?
    

Р ешение: Неравенство выполняется для всех х, если имеет решение система А  0;

D 0.

1. 
   А = 1; 1  0.
   
2. 
   D = (а + 2)² + 4(8a+1) = а² + 4а + 4  32а  4 = а² 28а = а(а  28).
   
3. 
   а
   а
   (а  28) 0; +  +
   

0  а  28. 0 28

Ответ: (0; 28).

12. 
    При каких значениях b квадратное неравенство (4 b)x² + 2(b+ 2) х  1  0 не имеет решений?
    

При разборе условия задачи ставим акцент на слове "квадратное". Обращаемся к таблице, находим в ней соответствующий случай. Выясняем, что имеется два случая: 1) А  0, D =0;2) А  0, D < 0, которые можно объединить.

Р ешение: Неравенство не имеет решений, если имеет решение система А  0,

D 0.

1. 
   А = 4 b².
   
2. 
   D
   b
   ₁ = (b + 2)² (4  b²) (1) = b² + 4b + 4  b² = 4b + 8.
   
3. 
   4  b² 0, b² 4  0, (b  2)(b + 2)  0, 2 2
   

4
b
b + 8  0; 4b 8; b 2.

b2. 2

Ответ: (; 2).

Перед тем, как рассматривать следующую группу задач, полезно обсудить с учениками упражнение:

 При каких значениях а уравнение ах² х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Вспомнить, что при изменении параметра могут измениться и важнейшие характеристики уравнения.

12. 
    Найти все значения r, при которых неравенство (r² 1)х² + 2(r 1)x + 2  0 является верным при всех х R.
    

При обсуждении выражения, стоящего в левой части, говорим, что при некоторых значениях rнеравенство будет линейным.

Решение:

1. 
   r² 1 = 0 при r = 1.
   

а) если r = 1, то 4x + 2  0, x0,5, не удовлетворяет условию х R.

б) если r = 1, то 0x2, х R.

2. 
   r² 1  0.
   

Н еравенство выполняется для всех х, если имеет решение система А  0,

D 0.

А = r² 1;

D₁ = (r  1)² 2(r² 1) = (r  1)(r  1 2(r + 1)) = (r  1)( r  3)

r ² 1  0, (r  1)(r + 1)  0, r 3,

 (r  1)(r + 3)  0; (r  1)(r + 3)  0; r  1.

С учетом п. 1 (б) r 3;

r 1.

Ответ: (; 3) U[1;+).

Для закрепления решаем задачи:

12. 
    При каких значениях р функция y = определена при всех действительных значениях х?
    

Решение: px² + (3p + 1)x 4p 0;

1. 
    p = 0; х  0 не удовлетворяет условию х R.
   
2. 
   р  0; p 0, р  0, р  0, р
   

(3p + 1)² 4p 4р  0; 7р² 6р  1  0; (р + )(р  1)  0;

Ответ: (;  ].

12. 
    При каких mнеравенство (m 1)x² + 2mx + 3m 2  0 не имеет решений?
    

Ответ: [2; +).

12. 
    При каких nнеравенство (2n² 5n + 2)x² 4nx + 2  0 выполняется при всех х?
    

Ответ: (; 0,4).

12. 
    При каких а квадратный трехчлен (а² 1) x² + 2(а  1) x + 1 принимает положительные значения для всех х?
    

Ответ: (1; +).
При работе над этими задачами рекомендую выполнять графическую иллюстрацию, которая зачастую сразу помогает понять суть задачи.

Приступая к решению квадратных неравенств, говорим, что предыдущая группа  задачи с дополнительными условиями. Мы искали значения параметров, удовлетворяющих конкретным требованиям.

Если же следует решить неравенство, значит, оно должно быть рассмотрено при всех значениях параметра. Если хотя бы одно значение не исследовано, решение задачи не может быть признано полным. При решении неравенств используем таблицу, чтобы не пропустить все возможные случаи.

В 9 классе достаточно рассмотреть несколько примеров, где первый коэффициент не зависит от параметра.

Решить неравенства:

12. 
    х² + 2х + а  0
    

а = 1, а  0;

D₁ = 1 a;

x₁ = 1  ; x₂ = 1 + ;

1. 
   D ₁ 0; 1a 0; при а  1 х 1  ,
   

х 1 + .

2. 
   D ₁= 0; 1a = 0; при а = 1 х² + 2х + 1  0; (х + 1)² 0; х 1,
   

х 1.

3. 
   D₁ 0; 1a 0; при а > 1 х любое число.
   

Ответ: при а  (; 1) х  (; 1  ) U (1 + ; +);

при а = 1 х  (; 1) U (1; +);

при а  (1; +) х R.

Аналогичное неравенство:

12. 
    х² + 3ах  а  0
    

D = 9а (а + ), поэтому следует рассмотреть случаи:

1. 
   D 0;
   
2. 
   D= 0; a) а = 0; б) а =  ;
   
3. 
   D 0.
   

12. 
    х² 2ах + 2а² + 4а + 4  0
    

а = 1, а  0;

D₁ =  (a + 2)²;

1. 
   D 0;  (а + 2)² 0; таких а нет.
   
2. 
   D= 0 при а = 2; х² + 4х + 4  0; (х + 2)² 0; х = 2.
   
3. 
   D 0 при а 2; решений нет.
   

Ответ: при а = 2; х = 2;

при а 2 решений нет.

12. 
     х² ах + 1
    

х² + ах + 1  0;

а = 1; а  0;

D= а² 4;

х₁ = ; х₂ = ;

1. 
   D  0; а² 4  0 при а 2, х  (; х₁) U (х₂; +).
   

а 2;

2. 
   D= 0; а =  2; а) а = 2, (х  1)² 0, х R\{1}
   

б) а = 2, (х + 1)² 0, х R\{1}

3. 
   D 0 при 2  а  2, х R.
   

Ответ: при  а  2; х  или х  ;

при  а  2; х R;

при а = 2; х R\{1};

при а = 2; х R\{1}.
Используются различные формы записи решения неравенства, важным является приучить школьников к последовательности в решении и выписке ответа.

Ключевыми задачами этой темы являются задачи 71, 72, 78, 80, 85.

На этапах изучения можно предлагать самостоятельные работы из 1-2 задач, а по завершении темы, учитывая определенную ее сложность  домашнюю контрольную работу по ключевым задачам.

Расположение корней квадратного трехчлена

на числовой оси.
Изучение этого вопроса закладывает базу для решения тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств с параметрами. Во многих случаях эти решения приводят к громоздким преобразованиям. В то же время использование свойств квадратичной функции позволяет существенно упростить решение.

Кроме того, решение многих задач с параметрами, предлагающихся на вступительных экзаменах в вузы, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, связанные с расположением корней квадратного трехчлена относительно некоторых характерных точек.

Основное внимание уделено наглядности, обоснование утверждений существенно опирается на чертеж.

• 
  Пусть квадратный трехчлен f(x) = Ax² + Bx + Cимеет корни х₁ и х₂; х₀ =  абсцисса вершины параболы; D = B² 4ACдискриминант квадратного трехчлена; M, K, N, P заданные числа.
  
• 
  Все чертежи приведены для а  0, случай а  0 рассматривается аналогично.
  

У тверждение 1. Для того, чтобы число N было расположено между корнями квадратного трехчлена (х₁ N х₂), необходимо и достаточно выполнение неравенства

А f(N)  0

Доказательство:

Nx₁ 0; Nx₂ 0;

(N  x₁)( N  x₂)  0;

N² x₁N  x₂N + x₁ x₂ 0;

N² (x₁ + x₂)N + x₁ x₂ 0;

N² + N +  0 xa²;

A (AN² + BN + C)  0;

a  f(N)  0.

12. 
    При каких mуравнение x² (2m + 1)x + 3m 4 = 0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2?
    

Решение: А f(2)  0;

A = 1; f(2) = 4  (2m + 1) 2 + 3m 4 = m 2;

m 2  0; m2.

Ответ: m2.

12. 
    При каких mуравнение mx² + (3m 2)x + m 3 = 0 имеет корни разных знаков?
    

Эту задачу можно переформулировать так: при каких m число 0 лежит между корнями уравнения?

Решение: А = m; f(0) = m 3;

m(m 3)  0; 0 m 3.

Ответ: (0; 3).

Замечание: Эту задачу можно решить и используя теорему Виста (  0).

12. 
    При каких kодин из корней уравнения (k² 2)x² + (k² + k 1)xk³ + k² = 0 меньше k, а другой больше k?
    

Решение: А = k² 2;

f(k) = (k² 2)k²+ (k²+ k 1)kk³ + k² =

= (k² 2) ((k² 2)k²+ (k²+ k  1)k  k³ + k²)  0;

  k  0,

1  k 

Ответ: ( ; 0) U (1; ).

У тверждение 2. Для того, чтобы отрезок [N; P] лежал в интервале (х₁; х₂), необходимо и достаточно выполнение условий:

А  f(N)  0;

А  f(Р)  0.

12. 
    При каких mкорни уравнения (m 1)x² 2(m + 2)x + 3m = 0 удовлетворяют условию х₁ 2, х₂ 4?
    

Р ешение: (m 1) f(2)  0, (m 1)(3m 12)  0, 1 m 4,

(m 1) f(4)  0; (m 1)(11m 32)  0; 1 m ;1 m .

Ответ: (1; ).

12. 
    Найти все значения а, при которых неравенство x² 2(а  3)x + а² 6а  0 будет выполнено для любого х, принадлежащего интервалу (0; 2).
    

Решение: Интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений данного неравенства, следовательно, должно выполняться соотношение

х₁ 0  2 х₂

f(0)  0, a² 6a  0, 0  a  6, 2  a  6.

f(2)  0; 4 + 4(a  3) + a² 6a  0; 2 a  8;

Ответ: [2; 6].

У тверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше числа M (х₁х₂M), необходимо и достаточно выполнение условий:

D  0;

x₀M;

А f(M)  0.

Доказательство.

(x₁M)  0; (x₂M)  0;

(x₁M)(x₂M)  0;

M² (x₁ + x₂)M + x₁ x₂ 0;

M² +  M +  0  xa²;

a(aM² + BM + C) 0;

af(M)  0.

У тверждение 4. Для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа K (Kх₁х₂), необходимо и достаточно выполнение условий:

D  0;

x₀K;

А f(K)  0.

12. 
    При каких mвсе корни уравнения x² (3m + 1)x + (2m² + 4m 6) = 0
    

а) больше 1; б) меньше 1?

Р ешение: а) D 0, (3m + 1)² 4(2m² + 4m 6)  0, (m 5)² 0,

x₀ 1, (3m + 1)  1, m ,

f(1)  0; 1  (3m + 1) + (2m² + 4m 6)  0; (2m 3)(m + 2)  0;

mлюбое число,

m , m .

m2,

m ;

б ) D 0, mлюбое число,

x₀1, (3m + 1) 1, m 4.

f(1)  0; 1 + (3m + 1) + (2m² + 4m 6)  0;

Ответ: а) m ; б) m 4.

Замечание: Если выражения для корней уравнения не содержат радикалов, то удобно решать примеры и без применения теорем. Так как корни х₁ = m + 3, x₂ = 2m 2, то в случае

а ) m + 3  1; m ; б) m + 3 1; m 4.

2m 2  1; 2m 2 1;

12. 
    При каких а корни уравнения аx² (2а + 1)x + 3а  1 = 0 больше 1?
    

Ответ: (1; ].

12. 
    При каких р корни уравнения x² + 4рх + (1  2р + 4р²) = 0 меньше 1?
    

Ответ: (1; + ).

12. 
    При каких bкорни уравнения x² 2xb = 0 меньше b?
    

Ответ: (3; + ).
У тверждение 5. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали в интервале (K; M), т. е. Kx₁x₂M, необходимо и достаточно выполнение условий:

D  0;

Kx₀M;

А f(K)  0,

А f(M)  0.

12. 
    Для каких значений mуравнение 4x² 2x + m = 0 имеет корни, заключенные между 1 и 1?
    

Р ешение: D 0, 1  4m 0, m ,

1 x₀ 1, 1   1, m 6, 2 m .

4 f(1)  0, 4 + 2 + m 0, m 2;

4 f(1)  0; 4  2 + m 0;

Ответ: (2; ].

12. 
    При каких mкорни уравнения x² 2mx + m² 2m + 5 = 0 по модулю не превосходят 4?
    

Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m

 4  х₁ х₂ 4?

Решение: D 0, m² (m² 2m + 5)  0, m ,

 4  x₀ 4,  4  m  4,  4  m  4, f( 4)  0, 16 + 8m + m² 2m + 5  0, m² + 6m + 21  0,

f(4)  0; 16  8m + m² 2m + 5  0; m² 10m + 21  0.

Ответ: [ ; 3].
Утверждение 6. Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а меньший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:

А f(N)  0,

А f(M)  0.


У тверждение 7. Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а больший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:

А f(N)  0,

А f(M)  0.

У тверждение 8. Для того, чтобы только один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение неравенства

f(N)f(M)  0.

При решении задач следует отдельно рассматривать случаи D = 0 и A = 0.

12. 
    При каких р только один корень уравнения x² рx + 6 = 0 удовлетворяет условию 2  х  5?
    

Решение: 1) f(2)f(5)  0; (10  2p) (31 5p)  0; 5 p .

2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

D = p² 24; p² 24 = 0; p =  2 ;

а) при p =  2 , х =  ;   (2; 5);

б) при p = 2 , х = ;  (2; 5).

Ответ: {2 } U (5; ).

У тверждение 9. Для того, чтобы один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (K; P), а другой  интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение условий:

А f(K)  0,

А f(P)  0,

А f(N)  0,

А f(M)  0,

12. 
    При каких mодин из корней уравнения x² (2m + 1)x + m² + m 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй между числами 4 и 6?
    

Решение: 1 способ.

f (1)  0, m²m 2  0,

f(3)  0, m² 5m + 4  0, 2  m  4.

f(4)  0, m² 7m + 10  0,

f(6)  0; m² 11m + 28  0;