Еге вариант. Анализ таблиц истинности логических выражений
Скачать 2.22 Mb.
|
Ещё пример задания:Р-18. Логическая функция F задаётся выражением (x y) (y z). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно. Решение: запишем выражение в более понятной форме: для решения этой задачи используем свойство операции «импликация»: тогда и только тогда, когда a = 1 и b = 0 в обеих строках приведённой части таблицы функция равна 0, поэтому везде хотя бы одна из величин, x или y равна 1, что даёт ; y и z различны, что даёт поскольку значения в первых двух столбцах в первой строке равны 0, один из этих столбцов – это x предположим, что x – это первый столбец:
тогда в обеих строках получаем , откуда сразу следует, что есть единственная пара остальных переменных, удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит условию это значит, что x – это не первый, а второй столбец:
если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в первой строке получаем (при любом z!), что противоречит условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y на всякий случай проверяем первую строку: справедливо при y = 1 во второй строке условие справедливо при x = 1 и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x) Ответ: zxy. Решение (построение части таблицы истинности, С.В. Логинова): По свойству импликации функция имеет значение 0 тогда, когда в первой скобке получится 0, а во второй 1. Из этого следует что возможные сочетания для переменных x и y равны 01, 10, 11. Вторая скобка равна 0, если y и z имеют разные значения. Составим таблицу истинности для всех возможных вариантов.
Из получившейся таблицы истинности мы видим, что только одна строка этой таблицы содержит 2 нуля и одну 1 в исходных данных. Эта единица – переменная y, значит третий столбец y. Среди столбцов только один содержит два нуля – столбец z. Отсюда следует, что первый столбец – z. Ответ: zxy Решение (метод исключения, С.Н. Лукин, г. Москва): всего возможно 6 вариантов решения задачи:
В процессе решения будем вычеркивать лишние варианты, пока не останется один-единственный. Также будем по возможности заполнять пустые клетки таблицы (по принципу «Чем меньше неопределенностей, тем лучше»). используем следующее свойство импликации: выражение ab равно нулю тогда и только тогда, когда a=1 и b=0. В нашем примере a это левая скобка, b – правая. теперь рассуждаем от противного. Пусть в пустой клетке первой строки таблицы истинности стоит ноль:
Тогда в любом из 6 вариантов решения получится x = 0 и y = 0, а значит (x y)=0, что противоречит упомянутому свойству импликации. Значит, там стоит единица:
По той же причине в левых двух столбцах первой строки не могут находиться одновременно x и y. Это позволяет нам вычеркнуть два из шести вариантов решения:
Остаются 4 варианта:
Идем дальше. По упомянутому свойству импликации вторая скобка должна равняться 0, а значит y и z не должны совпадать. Это позволяет нам, погдядев на первую строку таблицы истинности, вычеркнуть еще два варианта решения:
Остаются 2 варианта:
Получается, что в правом столбце обязательно стоит y. Начало положено. Попробуем заполнить пустые клетки во второй строке таблицы истинности. Способов заполнения четыре: 00, 01, 10, 11. Первый из них мы рассмотрели выше, он отпадает. Второй отпадает, так как в этом случае две строки таблицы истинности будут совпадать, что противоречит условию задачи. Третий и четвертый способы приказывают нам иметь во втором столбце единицу. Спасибо и на этом:
Теперь рассмотрим первый из двух оставшихся вариантов решения (xzy), подставив сначала в пустую клетку ноль. Но ноль отпадает, так как x и y не могут одновременно равняться нулю. А единица отпадает, так как y и z не должны совпадать. Значит, отпадает и сам вариант решения xzy. Следовательно, решением задачи является единственный невычеркнутый вариант: zxy. Из тех же соображений, что y и z не должны совпадать, в оставшуюся пустую клетку ставим единицу:
А теперь проверьте решение, подставив в выражение (x y) (y z) значения переменных из каждой строки таблицы. Ответ: zxy. Решение (метод инверсии, А.Н. Носкин, г. Москва): Известно, что если F = 0, то обратная её функция =1. Применим закон де Моргана и упростим: тогда при тех же значениях аргументов функция истинна
анализ формулы показывает, что для истинности функции необходимо, чтобы значение в каждой скобке были равны 1. Кроме того, этот анализ показывает, что в первой строке таблицы, в ее последнем столбце, не может быть 0, так как тогда значение функции не будет равно 1. На основе этого анализа таблица примет вид:
Анализ первой строки данной таблицы показывает, что в первых двух ячейках не может быть одновременно ни x, ни y. В этих ячейках рядом может быть только x и z, значит y находится в последней ячейке. Во второй ячейке, второй строки не может быть 0, так как должны быть неповторяющиеся строки, а все нули быть не могут (не выполнится условие =1). Значит в данной ячейке строго 1.
Значит в оставшейся ячейке может быть только 0 или 1, а именно, во второй строке возможен набор 010 или 011. Простой анализ с учетом того, что в последнем столбце y, дает итоговый ответ – набор 011 . Ответ: zxy. |