Главная страница

Еге вариант. Анализ таблиц истинности логических выражений


Скачать 2.22 Mb.
НазваниеАнализ таблиц истинности логических выражений
АнкорЕге вариант
Дата11.05.2022
Размер2.22 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаege2.doc
ТипДокументы
#521545
страница6 из 30
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   30

Ещё пример задания:


Р-18. Логическая функция F задаётся выражением (xy)  (yz). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

?

?

?

F

0

0




0

0







0

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

  1. запишем выражение в более понятной форме:

  2. для решения этой задачи используем свойство операции «импликация»: тогда и только тогда, когда a = 1 и b = 0

  3. в обеих строках приведённой части таблицы функция равна 0, поэтому везде

  1. поскольку значения в первых двух столбцах в первой строке равны 0, один из этих столбцов – это x

  2. предположим, что x – это первый столбец:




x

?

?

F

1

0

0




0

2

0







0

тогда в обеих строках получаем , откуда сразу следует, что есть единственная пара остальных переменных, удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит условию

  1. это значит, что x – это не первый, а второй столбец:




    ?

    x

    ?

    F

    1

    0

    0




    0

    2

    0







    0

  2. если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в первой строке получаем (при любом z!), что противоречит условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y

  3. на всякий случай проверяем первую строку: справедливо при y = 1

  4. во второй строке условие справедливо при x = 1 и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x)

  5. Ответ: zxy.

Решение (построение части таблицы истинности, С.В. Логинова):

  1. По свойству импликации функция имеет значение 0 тогда, когда в первой скобке получится 0, а во второй 1. Из этого следует что возможные сочетания для переменных x и y равны 01, 10, 11.

  2. Вторая скобка равна 0, если y и z имеют разные значения.

  3. Составим таблицу истинности для всех возможных вариантов.

    x

    y

    z

    F

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

  4. Из получившейся таблицы истинности мы видим, что только одна строка этой таблицы содержит 2 нуля и одну 1 в исходных данных. Эта единица – переменная y, значит третий столбец y. Среди столбцов только один содержит два нуля – столбец z. Отсюда следует, что первый столбец – z.

  5. Ответ: zxy

Решение (метод исключения, С.Н. Лукин, г. Москва):

  1. всего возможно 6 вариантов решения задачи:

x

y

z

x

z

y

y

x

z

y

z

x

z

x

y

z

y

x

В процессе решения будем вычеркивать лишние варианты, пока не останется один-единственный. Также будем по возможности заполнять пустые клетки таблицы (по принципу «Чем меньше неопределенностей, тем лучше»).

  1. используем следующее свойство импликации: выражение ab равно нулю тогда и только тогда, когда a=1 и b=0. В нашем примере a это левая скобка, b – правая.

  2. теперь рассуждаем от противного. Пусть в пустой клетке первой строки таблицы истинности стоит ноль:

    ?

    ?

    ?

    F

    0

    0

    0

    0

  3. Тогда в любом из 6 вариантов решения получится x = 0 и y = 0, а значит (xy)=0, что противоречит упомянутому свойству импликации. Значит, там стоит единица:

    ?

    ?

    ?

    F

    0

    0

    1

    0

    0







    0

  4. По той же причине в левых двух столбцах первой строки не могут находиться одновременно x и y. Это позволяет нам вычеркнуть два из шести вариантов решения:

x

y

z

y

x

z

Остаются 4 варианта:

x

z

y

y

z

x

z

x

y

z

y

x

  1. Идем дальше. По упомянутому свойству импликации вторая скобка должна равняться 0, а значит y и z не должны совпадать. Это позволяет нам, погдядев на первую строку таблицы истинности, вычеркнуть еще два варианта решения:

y

z

x

z

y

x

Остаются 2 варианта:

x

z

y

z

x

y

  1. Получается, что в правом столбце обязательно стоит y. Начало положено.

  2. Попробуем заполнить пустые клетки во второй строке таблицы истинности. Способов заполнения четыре: 00, 01, 10, 11. Первый из них мы рассмотрели выше, он отпадает. Второй отпадает, так как в этом случае две строки таблицы истинности будут совпадать, что противоречит условию задачи. Третий и четвертый способы приказывают нам иметь во втором столбце единицу. Спасибо и на этом:

    ?

    ?

    y

    F

    0

    0

    1

    0

    0

    1




    0

  3. Теперь рассмотрим первый из двух оставшихся вариантов решения (xzy), подставив сначала в пустую клетку ноль. Но ноль отпадает, так как x и y не могут одновременно равняться нулю. А единица отпадает, так как y и z не должны совпадать. Значит, отпадает и сам вариант решения xzy. Следовательно, решением задачи является единственный невычеркнутый вариант: zxy.

  4. Из тех же соображений, что y и z не должны совпадать, в оставшуюся пустую клетку ставим единицу:

    z

    x

    y

    F

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

  5. А теперь проверьте решение, подставив в выражение (x y)  (yz) значения переменных из каждой строки таблицы.

  6. Ответ: zxy.

Решение (метод инверсии, А.Н. Носкин, г. Москва):

  1. Известно, что если F = 0, то обратная её функция =1.

  2. Применим закон де Моргана и упростим:



  1. тогда при тех же значениях аргументов функция истинна

    ?

    ?

    ?



    0

    0




    1

    0







    1

  2. анализ формулы  показывает, что для истинности функции необходимо, чтобы значение в каждой скобке были равны 1.

  3. Кроме того, этот анализ показывает, что в первой строке таблицы, в ее последнем столбце, не может быть 0, так как тогда значение функции не будет равно 1. На основе этого анализа таблица примет вид:

?

?

?



0

0

1

1

0







1




  1. Анализ первой строки данной таблицы показывает, что в первых двух ячейках не может быть одновременно ни x, ни y. В этих ячейках рядом может быть только x и z, значит y находится в последней ячейке.

  2. Во второй ячейке, второй строки не может быть 0, так как должны быть неповторяющиеся строки, а все нули быть не могут (не выполнится условие =1). Значит в данной ячейке строго 1.

?

?

y



0

0

1

1

0

1




1




  1. Значит в оставшейся ячейке может быть только 0 или 1, а именно, во второй строке возможен набор 010 или 011. Простой анализ с учетом того, что в последнем столбце y, дает итоговый ответ – набор 011 .

  2. Ответ: zxy.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   30


написать администратору сайта