15. Прямая на плоскости. Б. М. Верников Уральский федеральный университет
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
Глава IV. Прямые и плоскости § 15. Прямая на плоскости Б.М.Верников Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Общее уравнение кривой (определение) Мы не будем давать точного определения кривой — этот не простой вопрос выходит за рамки данного курса (определение кривой дается в курсе дифференциальной геометрии). Для целей нашего курса достаточно будет придерживаться «примитивно-наивной» точки зрения (строго говоря, неверной), согласно которой кривая — это то, что можно нарисовать, не отрывая ручки от листа бумаги. Или, в крайнем случае, то, что состоит из нескольких таких частей. Задавать кривые с помощью уравнений можно двумя принципиально различными способами. Первый из них состоит в том, чтобы явно указать, как связаны между собой координаты точек, принадлежащих кривой (и только этих точек). Этот подход приводит к следующему определению. Определение Пусть F (x, y ) — произвольная функция от двух переменных x и y . Будем считать, что на плоскости зафиксирована система координат. Уравнение F (x, y ) = 0 называется общим уравнением кривой ℓ, если точка, принадлежащая плоскости, лежит на ℓ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Множество всех точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y ) = 0, называется геометрическим образом этого уравнения. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Общие уравнения «школьных» кривых Почти все кривые, изучавшиеся в школьном курсе математики, задавались уравнениями вида y = f (x). Ясно, что последнее уравнение равносильно уравнению y − f (x) = 0, т. е. является общим уравнением (роль функции F (x, y ) из определения общего уравнения кривой здесь играет функция y − f (x)). Единственной рассматриваемой в школе кривой, которая не задается уравнением вида y = f (x), является окружность. Но и она задается общим уравнением. В самом деле, как известно, окружность радиуса r с центром в точке (a, b) задается уравнением (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 , которое равносильно общему уравнению (x − a) 2 + (y − b) 2 − r 2 = 0 (в дальнейшем мы не будем делать различий между уравнениями F (x, y ) = c и F (x, y ) − c = 0, где c — константа; первое из этих уравнений мы тоже будем называть общим уравнением кривой). Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Параметрические уравнения кривой Далеко не все кривые можно задавать общими уравнениями. Во всяком случае, далеко не для всех кривых такие уравнения легко найти. Поэтому часто кривые задаются уравнениями другим способом. Идея этого другого способа состоит в том, чтобы указывать не связь между координатами точек, лежащих на кривой, а то, как каждая из координат этих (и только этих) точек выражается через некоторый параметр. Этот подход приводит к следующему определению. Определение Пусть f (t) и g (t) — произвольные функции от одной переменной. Уравнения x = f (t), y = g (t) (1) называются параметрическими уравнениями кривой ℓ, если точка M с координатами (x 0 , y 0 ) , принадлежащая плоскости, лежит на ℓ тогда и только тогда, когда существует число t 0 такое, что x 0 = f (t 0 ) и y 0 = g (t 0 ) Переменная t называется параметром Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Направляющий и нормальный векторы прямой Перейдем к основной теме этого параграфа — изучению прямых на плоскости. Прежде всего, введем в рассмотрение следующие два понятия, которые будут играть исключительно важную роль в дальнейшем. Определение Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором . Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой на плоскости, называется ее нормальным вектором Из этого определения видно, что как направляющий, так и нормальный вектор для данной прямой определены неоднозначно. Прямая на плоскости имеет бесконечно много (коллинеарных друг другу) направляющих векторов и бесконечно много (коллинеарных друг другу) нормальных векторов. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Виды уравнений прямой на плоскости (обсуждение) В школьном курсе математики под уравнением прямой понимается уравнение вида y = kx + b. В действительности это лишь один из многих видов уравнений прямой на плоскости. Он очень удобен во многих приложениях и при решении задач, но для полноценного изучения прямой на плоскости не годится, так как уравнение такого типа существует не у каждой прямой. В данном параграфе мы рассмотрим шесть видов уравнений прямой на плоскости: параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение по двум точкам, общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом (это и есть то самое уравнение вида y = kx + b ) и уравнение в отрезках. Отметим, что существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости (например, нормальное уравнение), но мы ограничились этими шестью видами как наиболее важными и наиболее часто возникающими при решении задач. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Параметрические уравнения прямой (1) Выясним, как выглядят параметрические уравнения прямой на плоскости. Предположим, что на плоскости задана система координат с началом в точке O. Пусть ℓ — прямая на плоскости, и мы знаем, что точка M 0 (x 0 , y 0 ) принадлежит прямой ℓ, а вектор a = (r , s) является ее направляющим вектором. Ясно, что эти данные однозначно определяют прямую. Пусть M (x, y ) — произвольная точка плоскости. Обозначим радиус-вектор точки M 0 через r 0 , а радиус-вектор точки M — через r . Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 1. s s s M M 0 O ℓ a r r 0 Рис. 1. К выводу параметрических уравнений прямой Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Параметрические уравнения прямой (2) Ясно, что точка M лежит на прямой ℓ тогда и только тогда, когда векторы a и −−−→ M 0 M коллинеарны. Напомним, что a = 0 по определению направляющего вектора прямой. Поэтому, в силу критерия коллинеарности векторов (см. § 10), условие a −−−→ M 0 M равносильно тому, что −−−→ M 0 M = ta для некоторого t. Поскольку r = r 0 + −−−→ M 0 M , получаем, что M ∈ ℓ тогда и только тогда, когда r = r 0 + ta для некоторого t. По определению радиуса-вектора точки (см. § 14), координаты векторов r и r 0 совпадают с координатами точек M и M 0 соответственно. Расписав равенство r = r 0 + ta в координатах, получаем уравнения x = x 0 + rt, y = y 0 + st, (2) которые называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости Понятие параметрических уравнений прямой на плоскости согласуется с более общим понятием параметрических уравнений кривой на плоскости, которое было введено в начале данного параграфа. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой по двум точкам Выразив параметр t из первого и второго уравнений системы (2) и приравняв полученные выражения, мы получим равенство x − x 0 r = y − y 0 s , (3) которое называется каноническим уравнением прямой на плоскости Предположим теперь, что мы знаем координаты двух различных точек, принадлежащих прямой: M 0 (x 0 , y 0 ) и M 1 (x 1 , y 1 ) . Тогда вектор −−−→ M 0 M 1 = (x 1 − x 0 , y 1 − y 0 ) коллинеарен прямой и отличен от нулевого вектора, т. е. является направляющим вектором прямой. Подставляя его координаты в каноническое уравнение прямой, получаем следующее уравнение, которое называется уравнением прямой на плоскости по двум точкам : x − x 0 x 1 − x 0 = y − y 0 y 1 − y 0 (4) Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Два замечания Из сказанного выше вытекают следующие два замечания, которые особенно полезно иметь в виду при решении задач. 1-е замечание о направляющем векторе прямой на плоскости Если прямая задана любым из уравнений (2) и (3), то вектор с координатами (r , s) является ее направляющим вектором. Замечание о точке, лежащей на прямой на плоскости Если прямая задана любым из уравнений (2), (3) и (4), то точка с координатами (x 0 , y 0 ) принадлежит прямой. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой (1) Преобразуя уравнение (3), получаем sx − ry − sx 0 + ry 0 = 0. Положим A = s , B = −r и C = −sx 0 + ry 0 . Тогда наше уравнение примет вид Ax + By + C = 0. (5) Отметим, что по крайней мере одно из чисел A и B отлично от нуля, поскольку числа r и s, будучи координатами направляющего вектора прямой, не могут быть одновременно равны нулю. Определение Уравнение вида (5), в котором по крайней мере одно из чисел A и B отлично от нуля, называется общим уравнением прямой на плоскости Следующая теорема показывает, что это понятие согласуется с более широким понятием общего уравнения кривой на плоскости, которое было введено в начале данного параграфа. Теорема об общем уравнении прямой на плоскости Пусть на плоскости задана произвольная система координат. Тогда всякая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида (5), в котором по крайней мере одно из чисел A и B отлично от нуля. Обратно, любое уравнение вида (5) с указанным ограничением на числа A и B определяет прямую. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой (2) Доказательство. Первое утверждение теоремы было доказано выше. Докажем второе утверждение. Рассмотрим уравнение (5), где A = 0 или B = 0. Возьмем произвольное решение (x 0 , y 0 ) этого уравнения. Тогда Ax 0 + By 0 + C = 0. Вычтем последнее равенство из уравнения (5). Получим A (x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0. (6) Ясно, что уравнения (5) и (6) имеют одно и то же множество решений. Рассмотрим теперь прямую ℓ, которая проходит через точку M 0 (x 0 , y 0 ) и коллинеарна вектору a = (−B, A). Напишем для этой прямой каноническое уравнение: x − x 0 −B = y − y 0 A Преобразовав это равенство, мы получим уравнение (6). Следовательно, прямая ℓ задается уравнением (6), а значит и уравнением (5). В процессе доказательства теоремы об общем уравнении прямой на плоскости установлен следующий факт. 2-е замечание о направляющем векторе прямой на плоскости Если прямая задана уравнением (5), то вектор с координатами (−B, A) является ее направляющим вектором. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Главный вектор прямой Определение Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда вектор n = (A, B) называется главным вектором прямой ℓ. Отметим, что главный вектор прямой определен неоднозначно. В самом деле, ясно, что если t — ненулевое число, то уравнения Ax + By + C = 0 и tAx + tBy + tC = 0 определяют одну и ту же прямую, главными векторами которой будут как (A, B), так и (tA, tB). Замечание о главном векторе прямой Главный вектор прямой не коллинеарен этой прямой. Доказательство. Пусть прямая ℓ задана уравнением (5), n = (A, B) и M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ ℓ, т. е. Ax 0 + By 0 + C = 0. Отложим вектор n от точки M 0 Концом соответствующего направленного отрезка будет точка M 1 (x 0 + A, y 0 + B) . Подставив координаты этой точки в левую часть уравнения прямой, получим A (x 0 + A) + B(y 0 + B) + C = Ax 0 + By 0 + C + A 2 + B 2 = A 2 + B 2 = 0. Таким образом, M 1 / ∈ ℓ. Поскольку M 0 ∈ ℓ, а −−−→ M 0 M 1 = n , это означает, что вектор n и прямая ℓ не коллинеарны. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Еще одно замечание В случае прямоугольной декартовой системы координат замечание о главном векторе прямой можно существенно усилить. В самом деле, в этом случае скалярное произведение векторов (A, B) и (−B, A) равно −AB + BA = 0, т. е. эти векторы ортогональны (см. критерий ортогональности векторов в § 11). Учитывая еще 2-е замечание о направляющем векторе прямой на плоскости, получаем, что справедливо Замечание о нормальном векторе прямой Если система координат является прямоугольной декартовой, то главный вектор прямой является ее нормальным вектором. Другими словами, если прямая задана уравнением (5) в прямоугольной декартовой системе координат, то вектор n = (A, B) является нормальным вектором этой прямой. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом Предположим, что прямая задана уравнением Ax + By + C = 0 и B = 0. Тогда ее уравнение можно переписать в виде y = − A B · x − C B . Положим k = − A B , b = − C B . Тогда последнее уравнение примет вид y = kx + b. (7) Число k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (7) — уравнением прямой с угловым коэффициентом . Из школьного курса математики известно, что если прямая ℓ задана (в прямоугольной декартовой системе координат) уравнением (7), то k = tg ϕ, где ϕ — угол между положительным направлением оси Ox и ℓ. Уравнение (7) выведено в предположении, что в уравнении (5) коэффициент B отличен от нуля. Выясним, когда выполняется это условие. Предположим, напротив, что B = 0. Тогда прямая задается уравнением вида Ax + C = 0. При этом A = 0, поскольку коэффициенты A и B одновременно в нуль обращаться не могут. Следовательно, наша прямая задается уравнением x = − C A . Ясно, что прямые с уравнением такого вида и только они параллельны оси ординат. Таким образом, прямая имеет уравнение с угловым коэффициентом тогда и только тогда, когда она не параллельна оси ординат. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Уравнение прямой в отрезках (1) Пусть ℓ — прямая на плоскости, не проходящая через начало координат и не параллельная ни одной из осей координат. Тогда ℓ пересекает обе оси координат. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 2. s s s O x y (a, 0) ( 0, b) ℓ Рис. 2. К выводу уравнения прямой в отрезках Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Уравнение прямой в отрезках (2) Обозначим первую координату точки пересечения прямой ℓ с осью абсцисс через a, а вторую координату точки пересечения прямой ℓ с осью ординат — через b. Тогда a, b = 0 и ℓ проходит через точки с координатами (a, 0) и ( 0, b). Напишем уравнение прямой ℓ по этим двум точкам: x − a 0 − a = y − 0 b − 0 , или b(x − a) = −ay. После очевидных преобразований имеем bx + ay = ab . Разделим обе части последнего равенства на ab (воспользовавшись тем, что a, b = 0). Получим уравнение x a + y b = 1, (8) которое называется уравнением прямой в отрезках . Этот термин объясняется тем, что параметры a и b, фигурирующие в уравнении (8), суть, с точностью до знака, длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. Уравнение прямой в отрезках особенно полезно при решении задач, в которых идет речь о площади треугольника, отсекаемого прямой от осей координат (на рис. 2 этот треугольник выделен серым цветом). Ясно, что если прямая задана уравнением (8), то эта площадь равна |ab| 2 Мы закончили рассмотрение видов уравнений прямой на плоскости. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Взаимное расположение двух прямых (1) Следующий вопрос, который мы рассмотрим, звучит так: как по уравнениям двух прямых определить взаимное расположение этих прямых, т. е. выяснить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Ответ на него дает Теорема о взаимном расположении прямых на плоскости Пусть прямая ℓ 1 задана уравнением A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, а прямая ℓ 2 — уравнением A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Прямые ℓ 1 и ℓ 2 : 1) пересекаются тогда и только тогда, когда A 1 A 2 = B 1 B 2 ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений A 1 x +B 1 y = −C 1 , A 2 x +B 2 y = −C 2 (9) Ясно, что прямые ℓ 1 и ℓ 2 пересекаются тогда и только тогда, когда эта система имеет единственное решение; параллельны тогда и только тогда, когда она не имеет решений; совпадают тогда и только тогда, когда она имеет бесконечно много решений. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Взаимное расположение двух прямых (2) Рассмотрим три случая. Случай 1: A 1 A 2 = B 1 B 2 . Это неравенство равносильно тому, что A 1 B 1 A 2 B 2 = 0. В силу теоремы Крамера (см. § 9), система (9) имеет единственное решение, т. е. прямые пересекаются. Случай 2: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 . Убедимся, что в этом случае прямые параллельны. Положим A 1 A 2 = B 1 B 2 = t . Тогда A 1 = tA 2 и B 1 = tB 2 Предположим, что система (9) имеет решение (x 0 , y 0 ) , т. е. tA 2 x 0 + tB 2 y 0 + C 1 = 0, A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 = 0. Умножим второе равенство на −t и сложим его с первым. Получим C 1 − C 2 t = 0, т. е. C 1 C 2 = t , что противоречит неравенству B 1 B 2 = C 1 C 2 . Мы доказали, что прямые параллельны. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Взаимное расположение двух прямых (3) Случай 3: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 . Положим A 1 A 2 = t . Тогда A 1 = tA 2 , B 1 = tB 2 , C 1 = tC 2 , и первое уравнение системы (9) можно записать в виде t (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0, причем t = 0 (так как в противном случае A 1 = B 1 = 0). Таким образом, первое уравнение системы (9) равносильно второму. Следовательно, они определяют одну и ту же прямую. Таким образом, для каждого из трех случаев взаимного расположения прямых мы получили достаточное условие. Убедимся на примере случая пересечения прямых, что эти же условия являются и необходимыми. Пусть прямые пересекаются. Тогда условия случаев 2) и 3) из формулировки теоремы не выполняются, поскольку в противном случае прямые были бы либо параллельными, либо совпадающими. Следовательно, выполнено условие случая 1) , т. е. A 1 B 1 = A 2 B 2 . Аналогично проверяется необходимость в случаях параллельности и совпадения прямых. Теорема доказана. Из п. 2) доказанной теоремы вытекает, что любые два главных вектора прямой коллинеарны. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Полуплоскости, определяемые прямой (1) Наша следующая цель состоит в том, чтобы выяснить, как по уравнению прямой и координатам двух точек, не лежащих на этой прямой, определить, лежат ли они по одну сторону или по разные стороны от прямой. Пусть ℓ — прямая, заданная уравнением Ax + By + C = 0. Вся плоскость делится этой прямой на три непересекающиеся части: саму прямую ℓ и две полуплоскости (в каждую из этих полуплоскостей входят те и только те точки, которые расположены по какую-либо одну сторону от ℓ). Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 3. s s s s M 0 M 1 M (x ′ , y ′ ) N (x ′′ , y ′′ ) λ µ n ℓ Рис. 3. Полуплоскости Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Полуплоскости, определяемые прямой (2) Обозначим главный вектор прямой ℓ через n. Возьмем на ℓ произвольную точку M 0 и отложим от нее вектор n. Конец получившегося направленного отрезка обозначим через M 1 . Из замечания о главном векторе прямой вытекает, что точка M 1 не принадлежит прямой ℓ. Обозначим ту полуплоскость, в которой лежит точка M 1 , через λ, а другую — через µ. Теорема о полуплоскостях Пусть M(x ′ , y ′ ) — точка плоскости. Если M ∈ λ, то Ax ′ + By ′ + C > 0, а если M ∈ µ, то Ax ′ + By ′ + C < 0. Доказательство. Пусть M ∈ λ. Через точку M проведем прямую, коллинеарную вектору n. Поскольку, в силу замечания о главном векторе прямой, n ∦ ℓ, проведенная нами прямая пересечет прямую ℓ. Обозначим точку пересечения через N, а ее координаты — через (x ′′ , y ′′ ) . Ясно, что Ax ′′ + By ′′ + C = 0. Векторы −−→ NM и n сонаправленны, т. е. −−→ NM = tn для некоторого t > 0. Записав это векторное равенство в координатах, получим, что x ′ − x ′′ = tA и y ′ − y ′′ = tB , откуда x ′ = x ′′ + tA и y ′ = y ′′ + tB . Следовательно, Ax ′ + By ′ + C = A(x ′′ + tA) + B(y ′′ + tB) + C = = Ax ′′ + By ′′ + C + t(A 2 + B 2 ) = t(A 2 + B 2 ) > 0. Первое утверждение теоремы доказано. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Полуплоскости, определяемые прямой (3) Второе доказывается вполне аналогично. Надо только учесть, что если M ∈ µ, то векторы −−→ NM и n антинаправленны и потому −−→ NM = tn для некоторого t < 0. Из теоремы о полуплоскостях вытекает следующий ответ на поставленный выше вопрос. Следствие о расположении двух точек относительно прямой Точки P (x 1 , y 1 ) и Q(x 2 , y 2 ) расположены по одну сторону от прямой Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда числа Ax 1 + By 1 + C и Ax 2 + By 2 + C имеют одинаковый знак, и по разные стороны от этой прямой тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки. Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Расстояние от точки до прямой (1) Наша ближайшая цель — вывести формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости. Будем предполагать, что система координат, заданная на плоскости, — прямоугольная декартова. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0, а M(x ′ , y ′ ) — некоторая точка плоскости. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 4. s s s M 0 (x 0 , y 0 ) M (x ′ , y ′ ) ℓ n Рис. 4. К выводу формулы расстояния от точки до прямой Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости Расстояние от точки до прямой (2) Обозначим через M 0 (x 0 , y 0 ) ортогональную проекцию точки M на ℓ. Поскольку система координат — прямоугольная декартова, то, в силу замечания о нормальном векторе прямой, вектор n = (A, B) перпендикулярен к ℓ. Поскольку вектор −−−→ M 0 M также перпендикулярен к ℓ, получаем, что −−−→ M 0 M n . Следовательно, угол между векторами −−−→ M 0 M и n равен либо 0, либо π, и потому cos( −−−→ M 0 M , n ) = ±1. Отсюда вытекает, что ( −−−→ M 0 M , n ) = ±| −−−→ M 0 M | · | n |. Обозначим расстояние от M до ℓ через d (M, ℓ). В силу сказанного, d (M, ℓ) = | −−−→ M 0 M | = ( −−−→ M 0 M , n ) | n | Учитывая, что M 0 ∈ ℓ, получаем, что Ax 0 + By 0 + C = 0. Следовательно, ( −−−→ M 0 M , n ) = A(x ′ −x 0 )+B(y ′ −y 0 ) = Ax ′ +By ′ −(Ax 0 +By 0 ) = Ax ′ +By ′ +C . Таким образом, формула для вычисления расстояния от точки M с координатами (x ′ , y ′ ) до прямой ℓ, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Ax + By + C = 0, имеет следующий вид: d (M, ℓ) = |Ax ′ + By ′ + C | √ A 2 + B 2 (10) Б.М.Верников § 15. Прямая на плоскости |