Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
G g g j k k j n , , 1 , причем detG ≠ 0 в силу ли- нейной независимости элементов g g g n 1 2 , , , . (Напомним, что detG 0 тогда и только тогда, когда элементы g g g n 1 2 , , , линей- но зависимы.) Следовательно, система уравнений (1.4) имеет един- ственное решение — набор коэффициентов { } j j n 1 , который задает ЭНП y g j j j n 1 Если же элементы базиса подпространства g g g n 1 2 , , , L не только линейно независимы, но и ортогональны, то поиск коэф- фициентов { } j j n 1 упрощается (убедитесь самостоятельно): j j j j x g g g , , . (1.5) Определение. Пусть L — подпространство в H. Совокупность всех элементов из H, ортогональных к L, L x H x L { | } , на- зывается ортогональным дополнением подпространства L. Теорема 1.5. Пусть L — подпространство в гильбертовом простран- стве H. Тогда L также является подпространством в H. ◄ Нужно доказать, что L — замкнутое линейное многообразие. Линейность. uL, x, yL , , — скаляров: u, x y u, x u, y 0. e 2 e 3 e 1 x y v = x – y Рис. 1.1 24 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций То есть для любой линейной комбинации z x y элементов из L имеем: z L, следовательно, zL и L — линейное многообразие. Замкнутость. Пусть z — произвольная предельная точка множества L . Тогда по теореме 1.1 найдется последовательность {z n } L , z n ≠ z: lim n n z z . Имеем uL: u,z n 0, но в силу непрерывности скаляр- ного произведения (лемма 1.4) lim n z n , u z,u 0. Следовательно, z L и множество L содержит все свои предельные точки, т. е. зам- кнуто. ► Определение. Будем говорить, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму подпространств L 1 , L 2 , …,L n , и записывать это как H L 1 L 2 …L n , если: 1) все подпространства L 1 , L 2 , …,L n попарно ортогональны, т. е. uL i , vL j : u,v 0 при i ≠ j. 2) xH существует разложение x x i i n 1 , где x i L i Заметим, что если L — подпространство в гильбертовом про- странстве H, то H LL , что вытекает непосредственно из опреде- ления L , теорем 1.3–1.5 и их следствий. Теорема 1.6. Пусть в гильбертовом пространстве H задано конечно- мерное подпространство L с ортогональным базисом g g g n 1 2 , , , , а y g j j j n 1 — ЭНП для заданного элемента x H. Тогда для ошиб- ки приближения — вектора x–y справедливы равенства: x y x y x g j j j n 2 2 2 2 2 2 1 ◄ Поскольку x y y , 0 (см. теорему 1.4), то x y y y y , , 2 , x y x y x y x x x y y y x y 2 2 2 2 , , , , , причем y g g g g g j j j n m m m n j j n m j m m n j j j n 2 1 1 1 1 2 2 1 , , . ► Пусть теперь в H задана бесконечная последовательность нену- левых ортогональных векторов { } k k H 1 Это означает, что H — бесконечномерное пространство, так как ортогональные элементы линейно независимы. Рассматривая первые элементы { } k k n 1 как базис, получаем некоторое линейное многообразие L n , «натянутое» на { } k k n 1 . Можно показать, что L n — замкнуто, т. е. является подпро- странством. Так как L n — конечномерно, то с учетом теоремы 1.6 для 25 1.2. Пространства со скалярным произведением заданного элемента x H и его ЭНП y n j j j n 1 , y n L n , имеем: x y x y x n n j j j n 2 2 2 2 2 2 1 . (1.6) Числовая последовательность s y n n j j j n 2 2 2 1 ограничена сверху, так как n s x x y x n n 2 2 2 , и является неубывающей (s n 1 s n ). Поэтому {s n } — сходится. Сходимость последовательности частичных сумм {s n } означает сходимость ряда s j j j 2 2 1 , при- чем (см. (1.6)) j j j x 2 2 1 2 . (1.7) Соотношение (1.7) называется неравенством Бесселя. Определения. Ортогональная система { } k k H 1 называется полной в гильбертовом пространстве H, если xH существует разложение: x k k k 1 , (1.8) т. е. lim n k k k n x 1 0 . Ряд (1.8) называется рядом Фурье (по ортогональной системе { k }), а числа { k } — коэффициентами Фурье. Теорема 1.7. Пусть { } g H k k 1 — полная ортогональная система в гильбертовом пространстве H. Тогда xH для коэффициентов Фурье { } k k 1 верна формула (1.5). ◄ Обозначим частичную сумму x g n k k k n 1 . В силу непрерыв- ности скалярного произведения и ортогональности системы { } g k k 1 имеем: x g x g g g j n n j n k k k n j , lim , lim , 1 lim , , , n k k j k n k k j k j j j g g g g g g 1 1 , откуда следует формула (1.5). ► Теорема 1.8. Ортогональная система { } k k H 1 является полной в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда xH неравенство (1.7) выполняется как равенство: x j j j 2 2 2 1 , которое называется равенством Парсеваля — Стеклова. 26 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций ◄ Действительно, понятие полной системы { } k k H 1 означает, что xH: x k k k 1 и x k k k 1 2 0 , что эквивалентно равенству x j j j 2 2 2 1 0 , которое получа- ется предельным переходом n в соотношении (1.6). ► Важнейшим примером гильбертова пространства являет- ся пространство функций L 2 [a,b] (см. пример 1.7). При этом под L 2 ( ) L 2 ( ; ) будем понимать пространство всех функций, ин- тегрируемых с квадратом на всей числовой оси. 1.3. Ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì â ïðîñòðàíñòâå L 2 Элементами в векторном пространстве L 2 являются функции. При- ведем ряд примеров ортогональных функциональных базисов { k }, которые нашли широкое применение для обработки сигналов. Пример 1.8. Тригонометрическая система функций 1 2 2 1 , cos , sin kt T kt T k является полной в пространстве L 2 [a, a T] на любом отрезке t [a; a T] длины T. Пример 1.9. Система ортогональных многочленов Лежандра P t n n ( ) 0 , P t n d dt t n n n n n ( ) ! ( ) 1 2 1 2 , является полной в пространстве L 2 [ 1, 1]. При цифровой обработке сигналов использование алгебраи- ческих многочленов для представления сигналов часто бывает более предпочтительным по сравнению с тригонометрическими функциями, так как реализация вычислений последних обычно более сложна. В этой связи еще более интересны базисы кусочно- постоянных функций. Пример 1.10. Систему функций Радемахера r x k k ( ) 0 определим следующим образом. Для x [0, 1) положим 27 1.3. Примеры ортогональных систем в пространстве L 2 r x x x 0 1 0 1 2 1 1 2 1 ( ) ; ; при при и периодически продолжим r 0 (x) на всю числовую ось с периодом T 1. Остальные функции системы определим так: r k (x) r 0 (2 k x), k 1, 2, … (см. рис. 1.2). 0 0,5 1 r 0 (x) 1 –1 x 0 0,5 1 r 1 (x) 1 –1 x 0 0,5 1 r 2 (x) 1 -1 x Рис. 1.2. Графики трех первых функций r 0 (x), r 1 (x), r 2 (x) системы Радемахера Для дальнейшего изложения удобно использовать следующее обозначение: m n n n m m 2 1 2 , , где n , m. Тогда из определения функций Радемахера и приведенных иллюстраций видны следую- щие свойства данной системы. 1°. Кусочное постоянство. x r x m k k m 1 1 : ( ) const ( ) . На более мелких подынтервалах, естественно, функции также постоянны: k j k x r x m j k 0 1 , , : ( ) const . (1.9) 2°. Интеграл по периоду функции r k (x) равен нулю. Поэтому m r x dx k m k ( ) 0 (как интеграл по одному периоду T m k k 2 ) и m j k r x dx k m j , , , : ( ) 0 0 , (1.10) как интеграл по N периодам, N m j m k j k k j 2 2 2 28 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций 3°. Система функций r x k k ( ) 0 — ортонормирована на отрезке x [0, 1]. ◄ Очевидно, k r r r x dx k k k : , ( ) 2 0 1 1, т. е. функции нормиро- ваны. Покажем, что m k r r r x r x dx k m k m : , ( ) ( ) 0 1 0 . Пусть для определенности k m, тогда: r r r x r x dx r x r x dx k m k m k m c m k j см j j k , ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) .( . ) 0 0 1 9 0 0 2 1 1 0 0 2 k j k c m k j r x dx k j ( , , ) ( ) , см. (1.10) k k 1 0. ► Таким образом, система функций r x k k ( ) 0 является ортонор- мированной, но она не является базисом в пространстве L 2 [0, 1], по- скольку не является полной. Упражнение. Покажите самостоятельно по схеме, аналогичной до- казательству свойства 3°, что ненулевой элемент f(x) r 0 (x)r 1 (x), f x ( ) , 1 f(x)L 2 [0, 1], является ортогональным любой из функций Радемахера, т. е. k: f r k , 0 . Следовательно, система r x k k ( ) 0 — неполная и не является базисом в L 2 [0, 1]. Пример 1.11. Систему функций Уолша w x n n ( ) 0 определим следу- ющим образом. Представим целое число n 0 в виде двоичного раз- ложения: n n k k k l n 2 0 ( ) , n k {0,1}. Тогда функции системы Уолша вы- ражаются при помощи функций Радемахера следующим образом: w x r x r x n k n k l k k n k k ( ) ( ) ( ) : 0 1 , (1.11) где конечное число l l(n) определяется номером n функции Уол- ша, n 2 l 1 1. Таким образом, функция Уолша w n (x) определяется как произведение функций Радемахера с номерами, которые соот- ветствуют единичным коэффи- циентам в двоичном разложении числа n. При этом если все ко- эффициенты {n k } двоичного раз- ложения равны нулю, то считаем последнее произведение в (1.11) равным единице, т. е. w 0 (x) 1. Поясним определение системы n n 2 n 1 n 0 w n (x) 0 0 0 0 w 0 (x) 1 1 0 0 1 w 1 (x) r 0 (x) 2 0 1 0 w 2 (x) r 1 (x) 3 0 1 1 w 3 (x) r 0 (x)r 1 (x) 4 1 0 0 w 4 (x) r 2 (x) |