Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты

• Название: Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
• Анкор: Основы ЦОС
• Дата: 09.08.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: book_478_886.pdf
• Тип: Учебное пособие; #642665
• страница: 2 из 8

3°.
E, xE: x    x (существование нулевого элемента ).
4°.
xE,,  (,  — скаляры): (x)  ()x.
5°. Умножение на скаляры
  0 и   1: 0x  , 1x  x.
6°.
xE,,: (  )x  x  x .
7°.
x, yE, : (x  y)  x  y.

12
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Назовем противоположным элементом для x
E такой элемент
y
E, что x  y  . Из аксиом 5° и 6° следует, что y  (1)x (элемент x, умноженный на число
1). Обозначим противоположный элемент как
x.
В курсе линейной алгебры изучались линейные пространства

n
арифметических векторов размерности n. Приведенное выше аксиоматическое определение обобщает понятие линейного про- странства

n
на множества произвольной природы. По аналогии, элементы любого линейного пространства также будем называть
векторами, а сами линейные пространства — векторными простран-
ствами. В том же обычном смысле будем понимать термины «базис пространства», «линейная зависимость» (независимость) векторов и «размерность пространства». Напомним, что число n называется размерностью векторного пространства Е (обозначается n
dimE), если в Е найдется n линейно независимых ненулевых элементов, а любые (n
 1) ненулевых элементов пространства Е являются ли- нейно зависимыми. Линейное пространство может иметь беско- нечную размерность.
Пример 1.1. Пусть C[a; b] — множество всех функций, непрерывных на отрезке [a; b]. Является ли это множество линейным простран- ством и если да, то какова его размерность?
◄ Выполнение аксиом 1°–7° очевидно, нулевым элементом
явля- ется функция f(x)
 0, x[a; b]. Покажем, что C[a; b] — бесконеч- номерное пространство. Выберем из множества C[a; b] n ненулевых элементов — функций y
i
(x)
 x
i
1
, i
 1, 2, …, n. При любом числе n эти элементы являются линейно независимыми, так как равенство нулю многочлена


i
i
i
n
i
i
i
n
y
x







1 1
1 0 для всех точек отрезка
x
[a, b] возможно лишь в случае 
i
 0, i  1, …, n. Поскольку число n можно выбрать сколь угодно большим, то dim(C[a; b])
 . ►
Лемма 1.1. (Неравенство Минковского для интегралов.) Пусть для
p
1 существуют интегралы u x dx
p
a
b
( )

,
v x
dx
p
a
b
( )

(пределы инте- грирования — не обязательно конечные). Тогда существует также интеграл
u x
v x
dx
p
a
b
( )
( )


, причем верна оценка:
u x
v x
dx
u x
dx
v x
dx
p
a
b
p
p
a
b
p
p
a
b
p
( )
( )
( )
( )












1 1
1
. (1.1)
Опустим доказательство леммы, которое носит технический характер (см., например, [17]).

13
1.1. Линейные нормированные пространства
Определение. Линейное пространство Е называется нормиро-
ванным, если каждому элементу x
E поставлено в соответствие вещественное число x , называемое нормой, для которой вы- полняются следующие аксиомы.
1°. Невырожденность нормы.
xE: x  0, x
x
  
0
 .
2°. Однородность нормы.
 , xE: 

x
x
 
3°. Неравенство треугольника.
x, yE: x y
x
y
 

В одном и том же векторном пространстве Е норму можно вво- дить различными способами.
Пример 1.2. Рассмотрим векторное пространство C[a; b] из приме- ра 1.1. Покажите самостоятельно, что приводимые ниже способы вычисления нормы удовлетворяют аксиомам 1°–3°:
а) x
x t
t
a b


max ( )
[ , ]
, б) x
x t
dt
p
a
b
p




( )
1
, где p
1.
Указание: в пункте б для доказательства аксиомы треугольника вос- пользуйтесь неравенством Минковского (1.1).
Определение. Расстоянием между элементами x, y нормирован- ного векторного пространства Е назовем число
( , )
x y
x
y
  .
На основании аксиом нормы легко показать, что введенное рас- стояние между элементами обладает следующими свойствами.
1°.
x, yE: (x, y)  (y, x).
2°.
x, yE: (x, y)  0 x  y.
3°.
x, y, zE: (x, y) (x, z)  (y, z) (неравенство треугольника).
◄ Первое и второе свойства очевидны. Для неравенства треуголь- ника имеем:



( , )
(
) (
)
( , )
( , )
x y
x
y
x
z
z
y
x
z
z
y
x z
y z
  
  
    

. ►
Расстояние между элементами называют метрикой простран- ства. Пространство (не обязательно нормированное), каждой паре
x, y элементов которого поставлено в соответствие вещественное число
(x, y) (расстояние), обладающее свойствами 1°–3°, называет- ся метрическим
1
.
1
Несмотря на то что метрическое пространство может и не быть нор- мированным, мы будем рассматривать только нормированные метриче- ские пространства с метрикой
( , )
x y
x
y
  .

14
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Определения. В метрическом пространстве E открытым
шаром радиуса r
0 c центром x
0
E назовем множество
S x
x
E
x x
r
r
(
)
( ,
)
0 0






, замкнутым шаром — множество
S x
x
E
x x
r
r
(
)
( ,
)
0 0






. Окрестностью точки x
0
E будем на- зывать открытый шар произвольного радиуса
, т. е. множест- во S

(x
0
).
Понятия нормы, расстояния, окрестности являются исходны- ми для построения анализа в линейных нормированных простран- ствах.
Определение. В линейном нормированном пространстве (ЛНП)
Е элемент y
E называется пределом последовательности {x
k
}
E, если lim ( ,
)
k
k
y x



0 . При этом говорят, что последовательность
{x
k
} сходится к элементу y и используют обозначение lim
k
k
x
y

 .
Определение. Элемент a из ЛНП E называется предельной точкой множества M
E, если в любой окрестности a содержится хотя бы один элемент x
M, x ≠ a. То есть  


 
r
S a
a
M
r
0 :
( ) \

Теорема 1.1. Для того чтобы элемент a из ЛНП E был предельной точкой множества M
E, необходимо и достаточно существование последовательности {x
k
}
M, x
k
≠ a, сходящейся к a: lim
k
k
x
a

 .
◄ Необходимость. Возьмем сходящуюся к нулю числовую после- довательность из положительных элементов, например

k
 1/k,
k
 1, 2, … Так как a — предельная точка M, то, по определению, 
k
0
 
x
M
k
, x
a
k
 : x
S
a
k
k


( ). Поскольку


(
, )
x a
x
a
k
k
k
k

 
1 и lim
k
k
x
a

  0, то построенная последовательность {x
k
} сходится к точке a: lim
k
k
x
a

 .
Достаточность. Так как
{ }
x
k
, x
M
k
 , x
a
k
 , причем lim
k
k
x
a

 , то, по определению предела, lim
k
k
x
a

  0 и  0 N(): n N()
x
a
n
   . То есть в любой -окрестности точки a содержатся эле- менты x
n
M, x
n
≠ a, поэтому точка a является предельной для мно- жества M. ►
Определение. Пусть M — подмножество в ЛНП E, а M
 — мно- жество всех предельных точек M. Объединение множеств
M
M
M



называется замыканием множества M. Если M со- держит все свои предельные точки, т. е. M
M, то множество M называется замкнутым.

15
1.1. Линейные нормированные пространства
Определение. Множество M
E векторного пространства
Е называется линейным многообразием, если
x, y M, ,:
(
x  y) M.
Определение. Замкнутое линейное многообразие L в ЛНП E,
L
E, назовем подпространством.
Определение. Расстоянием от точки x из ЛНП E до множества
L
E называется величина ( , ) inf
x L
x
u
u L



Для ограниченного снизу числового множества всегда найдется точная нижняя грань. Поскольку норма неотрицательна, то рассто- яние от точки до подмножества (подпространства) всегда существу- ет. Расстояние
(x, L) характеризует наилучшее приближение (т. е.
аппроксимацию) элемента x
E элементами подмножества LE.
Определение. Элемент y
L, где L — подпространство из ЛНП E, называется элементом наилучшего приближения (ЭНП) для за- данного элемента x
E, если (x,L)  x y
 .
Элемент наилучшего приближения существует не всегда, а так- же может быть не единственным.
Пример 1.3. Рассмотрим пространство

2
, т. е. множество упорядо- ченных пар вещественных чисел x
 (
1
,

2
), где

1
, 
2
. Введем норму следующим образом: x




1 2
(убедитесь самостоятель- но, что аксиомы нормы выполняются). Рассмотрим подмножество
L

2
, L
 {(
1
,

2
)|

1
 
2
}
 {(,)|}. Тогда:
L
1)
— подпространство в E;
для элемента
2)
x
(1, 1) имеем (x, L)  2, причем ЭНП — не единственный.
◄ 1. Множество L является линейным многообразием (убедитесь самостоятельно). Покажем, что L — замкнуто. Допустим против- ное: пусть существует элемент y
L, т. е. y  (
1
,

2
),

1
≠

2
, который является предельной точкой множества L. Тогда для любой точки
u
 (, ) из множества L расстояние

  

 
 
 
( , )
(
) (
)
( )
y u
r y

 
 







1 2
1 2
1 2
0 , т. е. ограничено снизу положительной величиной r
 r(y). Следова- тельно, в окрестности S
r
(y) нет ни одного элемента из множества
L, и произвольно выбранная точка y
L не является предельной

16
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
для L. Поэтому все предельные точки множества L могут содер- жаться только в самом этом множестве и L является замкнутым линейным многообразием (подпространством) в

2 2. Рассмотрим функцию f t
t
t
t
t
t
t
t
( )
,
,
,
    

 
  





1 1
2 1
2 1
1 2
1
Очевидно, inf ( )
min ( )
t
t
f t
f t






2 . Для расстояния от точки x
 (1, 1) до подпространства L имеем:

(x,L)  inf inf inf ( )
u L
u
x
f



 
  










1 1
 2.
При этом элементами наилучшего приближения для x являются все точки отрезка L
*
( , )

  


 

1 1 , L
*
L. ►
Определение. Пусть X — ЛНП. Последовательность {x
n
}
X на- зывается фундаментальной, если
0 N  N(): nN, p
x
x
n p
n


 . ( — множество натуральных чисел.)
Напомним, что для случая X
  (множество действительных чисел) в курсе математического анализа был доказан критерий
Коши: числовая последовательность {x
n
} сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Справедлив ли критерий Коши в произвольном ЛНП?
Лемма 1.2. Всякая сходящаяся в ЛНП X последовательность {x
n
} — фундаментальна.
◄ Так как последовательность {x
n
} сходится, то

 

lim
n
n
x
x
X , и
0
N  N(), nN: x
x
n
   2. Тогда также p: x
x
n p

   2, поэтому x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n p
n
n p
n
n p
n





  

 
   , где чис- ло
0 может быть выбрано сколь угодно малым. Следовательно, последовательность {x
n
}
X является фундаментальной. ►
Упражнение. Покажите самостоятельно, что если последователь- ность {x
n
} — фундаментальна, то последовательность {
x
n
} также является фундаментальной.
Возникает вопрос: а всякая ли фундаментальная последо- вательность {x
n
}
X сходится в произвольном ЛНП X? Для каж- дой ли фундаментальной последовательности существует предел lim
n
n
x
x

 X?

17
1.1. Линейные нормированные пространства
Определение. ЛНП называется полным, если в нем сходится лю- бая фундаментальная последовательность. Полное ЛНП назы- вается банаховым (или пространством Банаха).
Пример 1.4. Простейший пример пространства Банаха — множе- ство вещественных чисел
 с нормой x
x
| |.
Пример 1.5. Пространство 
L
T
2 0
[ ; ] непрерывных на отрезке t
[0; T] функций с нормой x
x t
dt
T


( )
2 0
не является банаховым.
◄ Покажем, что это пространство неполно. Выберем на отрезке
t
[0; T] кусочно-гладкую функцию f(t), имеющую разрыв первого рода. Если составить для этой функции тригонометрический ряд
Фурье, то, как известно, частичные суммы ряда
s t
a
a
kt
T
b
kt
T
n
k
k
k
n
( )
cos sin









0 1
2 2
2


(непрерывные функции) будут сходиться в среднеквадратичном смысле к функции f(t):
lim
( )
( )
lim
n
n
T
n
n
f t
s t
dt
f
s







2 0
0 , где { }
[ ; ]
s
L
T
n
 
2 0
, а f
L
T
 
2 0
[ ; ]. Это означает, что последователь- ность {s
n
} — фундаментальна в 
L
T
2 0
[ ; ] (доказательство данного утверждения проводится аналогично схеме доказательства леммы
1.2). Однако в силу единственности предела последовательность {s
n
} не может сходиться к элементу пространства 
L
T
2 0
[ ; ], так как вы- бранная нами функция f(t) — разрывная. Отсюда следует, что про- странство 
L
T
2 0
[ ; ] не является полным. ►