Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты

• Название: Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
• Анкор: Основы ЦОС
• Дата: 09.08.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: book_478_886.pdf
• Тип: Учебное пособие; #642665
• страница: 7 из 8

42
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
S
T
T
T
T
S
f
i T
i T
f
i
( )
sin(
)
e sin(
)
e
( ) e
( )






 
 
 

 



, т. е. e
e e
( )
i
i
T
i
T i
 



 




,
 
 
( )
arg e
(
)





i
T 1
, и вновь
   
( )






2
T
В силу полученной периодичности фазового спектра для поло- жительных частот
 0 достаточно привести один период (). Для
 ( ;
)
0 2/T имеем:
 





( )
,
( ;
)
,
(
;
)









T
T
T
T
T
при при
0 1 1
2
Так как S
T
f
( )
0

, то
()  0. Вид функции () для  0 находим на основании того, что фазовый спектр является нечетной функ- цией.
Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис. 1.7. ►
T
1
T
2
T
1

T
S()

Q
T
2
T
1
-
S
T
1
−
S
M(Q)
0
Рис. 1.7. Графики амплитудного (слева) и фазового (справа) спек- тров сигнала из примера 1.14
Упражнение. Используя свойства 2°–4° преобразования Фурье и ре- зультаты решения примера 1.14, найдите амплитудный и фазовый спектры функции
f x
x
x
x
( )
,
[
; )
,
[ ; )
,
[
; )

 


 




1 1 0 1
0 1 0
1 1

43
1.6. Принцип неопределенности время-частотного
представления сигналов
1.6.
Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè âðåìÿ-
÷àñòîòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñèãíàëîâ
Определение. Носителем
 функции f(x) назовем замыкание множества аргументов x, при которых f(x) принимает ненулевые значения, т. е.
 

{ | ( )
}
x f x
0 . Обозначаем:
  supp f(x). Будем говорить, что функция имеет ограниченный (или компактный)
носитель, если существует конечный отрезок [a, b], полностью содержащий этот носитель: supp ( )
[ ; ]
f x
a b

Например, носителем функции h
5
(x) системы Хаара (см. пример
1.12) является отрезок x
[1/4; 1/2].
Теорема 1.15. Пусть выполнены условия теоремы 1.14 и ненулевые функции f(t) и S(
) связаны соотношениями (1.17) и (1.18). Тогда пара функций f(t)
S() не может одновременно иметь ограничен- ные носители.
◄ Допустим противное, т. е. ненулевые функции f(t)
S() имеют ограниченные носители одновременно. Тогда существуют конеч- ные отрезки [
; ]
supp ( )


a a
f t , [
; ]
supp ( )


b b
S
 и интегралы (1.17),
(1.18) можно записать в виде:
f t
S
d
i t
b
b
( )
( )e





 
2
, S
f t
dt
i t
a
a
( )
( )e

 




2
На основании теоремы 1.14 спектральная плотность S(
) явля- ется непрерывной функцией, поэтому согласно теореме о диффе- ренцировании интеграла, зависящего от параметра, существуют интегралы:
f
t
t
S
d
i
S
d
n
n
n
i t
b
b
n
n
i t
b
b
( )
( )
( )e
(
)
( )e
















 
 
2 2
2
,
n
 0, 1, …, так как подынтегральные функции непрерывны по пере- менной
 и по параметру t на множестве ( , )
[
; ],
t
b b t
   



 .
Таким образом, функция f(t) в каждой точке t
0
  
(
;
) имеет производные любого порядка и, следовательно, может быть пред- ставлена рядом Тейлора:
f t
f
t
n
t
t
n
n
n
( )
( )
!
( )







0 0
0

44
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Так как f(t) имеет ограниченный носитель, найдется некоторый отрезок t
c d
[ ; ], для которого f(t)  0. Для любой внутренней точки этого отрезка, например его середины t
0
 (c  d)/2, имеем f
(n)
(t
0
)
 0,
n
 0, 1, …, и разложение в ряд Тейлора дает t
f t
t
t
n
f
t
n
n
n
( )
(
)
!
( )
( )






0 0
0 0
0

 

Мы получили противоречие условию f t
( )
 0 , t, следовательно, функция f(t) и ее спектр S(
) не могут одновременно иметь ограни- ченный носитель. ►
Из теоремы 1.15 следует, что сигналы конечной длитель- ности имеют неограниченную частотную полосу (т. е. носитель спектральной плотности). Так, в примере 1.14 мы рассматрива- ли функцию, имеющую конечный носитель во временной об- ласти, supp f(t)
 [0; T], и видели, что в частотной области носи- тель спектра S
T
T
i T
( )
e sin



 


совпадает со всей числовой осью, supp ( )
(
;
)
S
    . Однако на практике почти всегда необходимо за- даваться требованиями ограниченной (конечной) частотной поло- сы. То есть для произвольного сигнала (функции) f(t) необходимо каким-то образом определить его частотную полосу
[
1
;

2
], впол- не характеризующую сигнал в частотной области. Под шириной по-
лосы спектра тогда понимается величина
  
2
 
1
Единого строгого подхода для определения частотной поло- сы сигнала, реально имеющего бесконечную ширину спектра, нет. На практике обычно выбирают на оси частот такой отрезок
[
1
;

2
], который содержит основную часть E

энергии сигнала E, т. е.
E
S
d
E
S
d







( )
( )







2 2
1 2

Разность E
 E

характеризует величину тех искажений, кото- рые связаны с искусственным «усечением» полосы. Действительно, если обозначить усеченный спектр

S
S
( )
( ),
[ ;
]
,
[ ;
]


  
  






при при
1 2
1 2
0

45
1.6. Принцип неопределенности время-частотного
представления сигналов
и соответствующий ему искаженный сигнал

f t
( ) , то, очевидно, в силу свойства 2° преобразования Фурье имеем S
S
f t
f t
( )
( )
( )
( )







, а на основании свойства 8° энергия ошибки
( )
( )
( )
t
f t
f t



:




( )
( )
( )
( )
( )
t
dt
f t
f t
dt
S
S
d
2 2
2




















 








S
d
S
d
S
d
S
d
E
E
( )
( )
( )
( )













2 2
2 2
1 2
1 2

Так, для сигнала из примера 1.14 в качестве полосы сигнала мож- но было бы взять отрезок
  
[
;
]
1 1
/
/
T
T (тогда E

/E
 0,90) или
  
[
;
]
2 2
/
/
T
T (тогда E

/E
0,95).
Для пояснения принципа неопределенности время-частотного представления сигналов более удобен иной подход к определе- нию ширины полосы в частотной области и длительности сигнала во временной области. Положим, что энергия вещественного сиг- нала единичная, т. е.
S
d
f t
dt
( )
( )


2 2
1







 . Тогда по своему физическому смыслу функция
 

( )
( )
 S
2
представляет собой плотность распределения энергии в частотной области, причем для вещественных сигналов
()  () в силу свойства 1° преобразо- вания Фурье. Поэтому для первого начального момента (среднего значения распределения энергии в частотной области) всегда по- лучим
m
S
d

 






( )
2 0 в силу того, что подынтегральная функция нечетна. Локализацию энергии в частотной области можно характеризовать по величине второго центрального момента
D
m
S
d
S
d



















2 2
2 2
( )
( )
, (1.19)
который представляет собой меру «разброса» энергии в частотной области относительно m

. Величина D

, определяемая из вы- ражения (1.19), представляет собой среднеквадратичное значение распределения энергии в частотной области, поэтому естественно назвать соответствующую частотную полосу



 


D
D
,
сред- неквадратичной частотной полосой, ширина которой


 2 D .
Во временной области функцией плотности распределения энергии сигнала является
( ) | ( )|
t
f t

2
. Аналогично, в качестве меры

46
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
длительности сигнала возьмем удвоенную величину среднеквадра- тичной длительности
t
D
t
 2
, определяемую по значению второ- го центрального момента
D
t
m
f t
dt
t
f t
dt
m
t
t
t












2 2
2 2
2
( )
( )
, (1.20)
где m
t f t
dt
t




( )
2
— среднее значение для распределения энер- гии сигнала во временной области. Будем также называть величи- ны


 2 D и t
D
t
 2
, определенные при помощи формул (1.19) и (1.20), эффективными значениями ширины полосы
 и длитель- ности
t сигнала соответственно.
Величины (1.19) и (1.20) характеризуют локализацию энергии сигнала: чем меньше среднеквадратичная полоса (длительность), тем выше концентрация энергии в частотной (временной) области.
Принцип неопределенности гласит, что добиться высокой локализа- ции энергии одновременно и во временной, и в частотной областях невозможно. Так, верна следующая теорема.
Теорема 1.16. Для дифференцируемых вещественных сигналов f(t) единичной энергии таких, что сходится интеграл
t f t
dt
( )
2



и lim
( )
t
t f t




2 0 , произведение ширины полосы


 2 D и дли- тельности
t
D
t
 2
ограничено снизу:
 
t


1 . (1.21)
◄ Пусть, для упрощения изложения, во временной области имеем
m
t f t
dt
t




( )
2
 0 (в необходимых случаях выполняется сдвиг сигнала по оси времени, f(t)
f(t  m
t
), не изменяющий его ампли- тудный спектр, см. свойство 4° преобразования Фурье).
Поскольку
 
f t
i S
( )
( )
2
   (см. свойство 9°), на основании равен- ства Парсеваля (свойство 8°) имеем:










f t
dt
S
d
( )
(
)
( )
2 2
2 2
2



.
Тогда
D D
f t
dt
t
f t
dt
f t
t f t
t

















1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2
, где норма вещественной функции индуцирована скалярным произ- ведением f t g t
f t g t dt
( ), ( )
( ) ( )




(см. раздел 1.2). Так как на осно- вании неравенства Коши — Буняковского (лемма 1.3)









f t
t f t
f t t f t
f t t f t dt
( )
( )
( ),
( )
( )
( )
, то

47
1.6. Принцип неопределенности время-частотного
представления сигналов
 




t
D D
f t t f t dt
t f t
f
t
t
t













4 2
1 2
0 0
( )
( )
( )
 



(( )
t
dt






2 1
1
 




. ►
Упражнение. Покажите, что для сигнала с энергией E
f t
dt




( )
2
оценка (1.21) принимает следующий общий вид:
 
t
E



Пример 1.15. Показать, что равенство в оценке (1.21) достигается для гауссова импульса, т. е. для функции вида f t
C
kt
( )
e


2
, где C, k — некоторые константы (k
0).
◄ Достаточно рассмотреть случай единичной энергии сигнала, положив C
k
 2 4
/
 — убедитесь, что в этом случае энергия сиг- нала E
f t
dt





( )
2 1, учитывая значение интеграла Пуассона exp(
)





t
dt
2 2
/ 2
 . Для упрощения выкладок проведем доказа- тельство только для k
 1/4, т. е. для несложно обобщаемого с ис- пользованием свойства 3° преобразования Фурье на другие значе- ния k
0 случая f t
t
( )
e


1 2
4 4
2

. Поскольку
1 2
1 2
2

t
t
dt
exp(
)





/2
(как выражение для дисперсии стандартного нормального закона), то и для эффективной длительности сигнала во временной области также получаем D
t
f t
dt
t





2 2
1
( )
, т. е.
t
D
t


2 2 .
Для производной спектральной плотности имеем:




 







S
it dt
i
d
t
i t
i t
t
( )
e e
(
)
e e





 
 
1 2
2 4
2 4
4 2
4 2
4 2
2









 





4 2
2 4
2 4
0 0 4
2 2
2


 
 
 
i
i
d
i t
t
t
t
t
i t
e e
(
)e





tt
S













 8 2
  
( ) .
Отсюда получаем следующее дифференциальное уравнение:
d
S
d
ln ( )


 


 8 2
, интегрируя которое находим: S
N
( )
e

 

4 2 2
, где нормировочная константа N определяется из равенства Парсе- валя:
1 4
4 2
2 2
4 2
2 2








 





f t
dt
S
d
N
d
( )
( )
e
(
)












 N
2 8
 .

48
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
Окончательно, получаем спектральную плотность
S ( )
e


 


8 4
4 2 2
. Тогда для эффективной полосы имеем:
D
d
d

 

 


 








 




8 8
4 4
4 4
2 8
2 2
4 2
2 2 2 2
e
(
)
(
) e
(
)








1 4
2
(
)
Отсюда





2 1
2
D
и
 


t
1 . ►
Упражнение. Используя свойства 2° и 3° интеграла Фурье и ре- зультаты примера 1.15, убедитесь, что для произвольного чис- ла k
0 гауссову импульсу f t
k
kt
( )
e


2 4
2
/

соответствует спектр
S
k
k
( )
e


 


2 4
2 2
/
Заметим, что для сигнала любой формы его «сжатие» по аргу- менту во временной области приводит к такому же масштабному
«растяжению» по аргументу в частотной области, см. свойство 3° преобразования Фурье. Построив прямоугольную систему коор- динат, осями которой являются время и частота, каждому сигна- лу на полученной плоскости «Время
Частота» можно поставить в соответствие некоторую прямоугольную область
 локализации сигнала с длинами сторон
t и . При этом, если понимать t и 
в смысле эффективных значений, то для сигнала единичной энер- гии площадь данной области в соответствии с теоремой 1.16 не мо- жет быть меньше величины 1/
.