Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты

• Название: Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
• Анкор: Основы ЦОС
• Дата: 09.08.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: book_478_886.pdf
• Тип: Учебное пособие; #642665
• страница: 5 из 8

Упражнение. Постройте самостоятельно по определению (1.11) гра- фики функций w
3
(x), …, w
7
(x).
Теорема 1.9. Система функций Уолша (1.11) — ортонормирована на интервале x
[0, 1).
◄ Очевидно, что
n:  w
n
, w
n
 1. Пусть теперь k ≠ n:
w w
r x
r x dx
r x
r x
k
n
j
j k
j
j n
j
j k
n
j
j
j
j
j
,
( )
( )
( )
(
:
:
:
=
=


 




 
1 1
0 1
2 1
))
( )
:
:
j n
k
j
j n
k
j
j
j
j
dx
r x dx






0 1
0 1
=
Поскольку n ≠ k и поэтому не все коэффициенты n
j
, k
j
одинаковы, то в полученном подынтегральном произведении имеется по крайней мере один сомножитель. Положим j
j
n
k
j
j


max и продолжим преоб- разования.
w w
r x
r x dx
r x
r x
k
n
j
j
j n
k
j
j
j
j
j n
k
j
j
j
j
j
j
,
( )
( )
( )
( )
:
:













0 1
к константа см. (1.9)
c k n m
m
m
j
j
dx
( , , ),
 











0 2
1
c k n m
r x dx
j
m
m
j
j
( , , )
( )
,







1 0
0 2
1 0
 
 

 







см.(1.10)
. ►
Теорема 1.10. Система Уолша (1.11) является полной в пространстве
L
2
[0, 1]. (Примем утверждение теоремы без доказательства.)
Так как функции системы Уолша принимают лишь два значе- ния ±1, они очень удобны для программных вычислений и для ап- паратной реализации в цифровой аппаратуре.
Пример 1.12. Систему функций Хаара h x
n
n
( )




0
определим на полу- интервале x
[0, 1) следующим образом. Положим h
0
(x)
 1. Для n0 номер базисной функции h
n
(x) представим в виде: n
 2
k
 m,
0 0,5 1
w
3
(x)
1
–1
x
Рис. 1.3. Функция Уолша w
3
(x)

30
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
где целые числа k
0, 0m2
k
 1 однозначно определяются по но- меру n
0. Тогда
h x
x
x
x
n
k
m
k
k
m
k
m
k
m
k
( )










2 2
0 2
2 1
2 2
1 1
2 1
при при при






2 2
1 1
m
k







. (1.12)
Приведем графики первых функций системы h x
n
n
( )




0
, см. рис. 1.4.
0 0,5 1
h
1
(x)
1
x
n = 1
k = 0
m = 0 0
0,5 1
h
2
(x)
x
2
n = 2
k = 1
m = 0 0
0,5 1
h
3
(x)
2
x
n = 3
k = 1
m = 1 0
0,25 1
h
4
(x)
2
x
n = 4
k = 2
m = 0 0
0,25 1
h
5
(x)
2
x
0,5
n = 5
k = 2
m = 1
Рис. 1.4. Графики функций
h
1
(x), …, h
5
(x) системы Хаара

31
1.3. Примеры ортогональных систем в пространстве L
2
Рассмотренным ранее свойствам системы Радемахера во мно- гом аналогичны следующие очевидные свойства системы Хаара
(n
0, n  2
k
 m, k0, 0m2
k
 1).
1°.
  
 

 
j
k
l
x
j
l
j
1 0 1 2
1
,
{ , ,
,
},
:


h x
n
k
k
( )
const
,
,





0 2
2 2
2
2°.
 
 



j
k
l
h x dx
j
n
l
j
{ ,
, },
{ , ,
,
} :
( )
0 0 1 2
1 0



.
Теорема 1.11. Система функций Хаара (1.12) — ортонормирована на интервале x
[0; 1).
◄ В соответствии с определением (1.12)
h x h x
dx
n
n
k
k
m
k
( ), ( )
/
/



2 2
1 2
2

, где n
 2
k
 m.
Рассмотрим теперь скалярное произведение h x h x
n
( ), ( )

, где
n
 2
k
 m,   2

 , причем n ≠ . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть k ≠
, для определенности положим k  1. Тогда
h x h x
h x
h x
dx
n
n
c
k l
x
l
l
k
l
k
k
( ), ( )
( )
( )
( , , ) const






 







0 2
1
cc
k l
h x dx
n
l
l
k
k
( , , )
( )







0 0
2 1
0
 



, как следует из приведенных выше свойств системы Хаара.
Случай 2. Пусть
  k, но m ≠ . Так как (см. (1.12)) h
n
(x)
 0 при
x
m
k
 , h

(x)
 0 при x
k


, то
x [0; 1) h
n
(x)h

(x)
 0, поскольку для
m ≠
 имеем: 

m
k
k


 . Поэтому вновь h x h x
n
( ), ( )

 0. Таким об- разом, система Хаара является ортонормированной. ►
Теорема 1.12. Система Хаара (1.12) является полной в пространстве
L
2
[0, 1]. (Примем утверждение теоремы без доказательства.)
Упражнение. Разложите функцию
f x
x
x
x
( )
,
[
)
,
[
,
[
)








1 1
2 0
/4;1/2 1/2;1/4)
1/4; 3/4
в ряд Фурье по системам Хаара и Уолша. Проверьте выполнение ра- венства Парсеваля.

32
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
1.4.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå.
ßâëåíèå Ãèááñà
Напомним следующую теорему.
Теорема 1.13. Если функция f(t) имеет период T и является кусочно- гладкой, то ее ряд Фурье
1
сходится к функции f(t) в каждой точке ее непрерывности и к значению
1 2
0 0
f t
f t
(
)
(
)
 



в точках разрыва, т. е.
f t
f t
a
a
kt
T
b
kt
T
k
k
k
(
)
(
)
cos sin
 











0 0
2 2
2 2
0 1


, (1.13)
где коэффициенты Фурье находятся по формулам:
a
T
f t
k
T
t dt
k
b
T
f t
k
T
t
k
T
T
k










2 2
0 1 2
2 2
2
( )cos
,
, ,
( )sin
/









dt
k
T
T
,
, ,
/
1 2 2
2

(1.14)
Упражнение. Убедитесь, что формула (1.14) является частным слу- чаем (1.5) для f
L
2
[
T/2; T/2], см. также пример 1.8.
Теорема 1.13 определяет условия поточечной сходимости ряда
Фурье, т. е. те условия, при выполнении которых периодическая функция f(t) может быть точно представлена рядом (1.13) в каждой точке числовой оси t
. Так как система ортогональных функций
1 2
2 1
, cos(
), sin(
)


kt T
kt T
k




является полной в гильбертовом про- странстве L
2
на любом отрезке длины T (см. пример 1.8), то после- довательность частичных сумм
f
t
a
a
kt T
b
kt T
N
k
k
k
N
( )
cos(
)
sin(
)







0 1
2 2
2


сходится в норме (1.2), т. е. lim
( )
( )
N
N
f t
f
t


 0, и для f(t) содержит в смысле этой нормы элементы наилучшего приближения из конеч- номерных подпространств с базисами 1 2
2 1
, cos(
), (
)


kt T
kt T
k
N



1
Если не говорится, какая система функций рассматривается в виде базиса для построения ряда Фурье (см. раздел 1.2), то традиционно под- разумевается тригонометрическая система.

33
1.4. Тригонометрические ряды Фурье. Явление Гиббса
В целом ряде практических приложений ЦОС помимо нормы
(1.2) приближение T-периодических функций частичными сумма- ми ряда Фурье (1.13) рассматривается в смысле нормы x
x t
 max ( )
(максимального уклонения). Мы встретимся с такими задачами да- лее в главе 4. В случае если аппроксимируемая функция f(t) явля- ется разрывной, поведение частичных сумм f
N
(t) ряда Фурье (1.13) характеризуется «всплесками», дающими максимальное уклонение
  | f(t)  f
N
(t)| именно вблизи точек разрыва. Причем величина этого максимального уклонения практически не зависит от количества слагаемых в частичной сумме. Рассмотрим это явление, известное как эффект Гиббса, на примере.
Пример 1.13. Для следующей функции периода T
 2:
f x
x
x
x
x
( )
/ ,
,
/ ,
,
,


 

   
 
 
1 2 2
2 1 2 2
2 0
2







/
/
/ или /
/ или
/
x





 2,
f(x)
 f(x  2), оценить величину A
f
x
K
x
K

 
max |
( ) |
[
; ]
 
, где f
K
(x) — K-я частичная сум- ма ряда Фурье (1.13), для больших значений K
 1.
◄ Так как заданная функция f(x) является четной, то
b
f x
kx T dx
k






1 2
0




( )sin
. Очевидно также, что
a
f x dx
0 1
0







( )
. Поэтому ряд (1.13) также является четной функ- цией, принимая вид f x
a
kx
k
k
( )
cos(
)




1
, где
a
f x
kx dx
f x
kx dx
k
=
1 2
0





( )cos(
)
( )cos(
)














2 1 2
1 2
2 2
0 2
2






cos(
)
cos(
)
sin
/
/
kx dx
kx dx
k
k
Учитывая, что для четных значений k
 2n коэффициенты ряда
a
2n
 0, а для нечетных индексов a
n
n
n
2 1
1 2
1 2
1





(
)
(
)

, для ряда Фурье за- данной функции получаем следующее представление:
f x
n
n
x
n
n
( )
(
)
cos (
)










2 1
2 1
2 1
1 1

Запишем его K-ю частичную сумму, полагая число K
 2N (чет- ным):
f
x
n
n
x
N
n
n
N
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
( )
(
)
cos (
)











34
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
и построим графики данной функции (см. рис. 1.5) для значений
N
 1, 3, 10. С увеличением числа N происходит приближение пика отклонения значения частичной суммы к точке разрыва аппрок- симируемой функции f(x), но видимого изменения абсолютной величины A
f
x
N
x
N
2 2

 
max |
( ) |
[
; ]
 
с увеличением N на графиках не на- блюдается.
f(x)
0 0
–0,2 0,2 0,4 0,6 0,8
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–2
–3
–4 1
2 4
3
N = 10
N = 3
N = 1
Рис. 1.5. Графики значений частичной суммы ряда Фурье f
2N
(x)
для функции f(x) (тонкая сплошная линия) из примера 1.13
В силу четности функций f(x) и f
2N
(x) достаточно рассмотреть их на половине периода, для значений аргумента x
[0; ]. Для опре- деления точки максимального отклонения A
f
x
N
x
N
2 2

 
max |
( ) |
[
; ]
 
ча- стичной суммы f
2N
(x) найдем ее локальные экстремумы, ближай- шие к разрыву f(x) в точке x
 /2. Эти локальные экстремумы, как видно из графиков, соответствуют глобальным экстремумам ча- стичной суммы f
2N
(x).
Исследуем производную частичной суммы:









f
x
n
x
N
n
n
N
2 1
2 2
1 2
1
( )
(
) sin (
)



 




 









2 1
2 2 1
1 1
2 2 1
2 1
2 1

(
)
sin
(
)
(
) sin
(
)
n
n
n
N
n
x
n
x




















2 4
1 4
3 4
2 1 2 1
1


sin sin sin cos (
)
n
x
n
x
x
n
x
n
N
n
N
,

35
1.4. Тригонометрические ряды Фурье. Явление Гиббса
так как sin sin cos sin


 
 




2 2
. Используя формулу для сум- мы геометрической прогрессии, находим, что cos (
)
Re e
Re e e
(
)
2 1 2 1
2 1 2 1
2 4
1
n
x
n
N
i
n
x
n
N
i x
i nx
n
N




























Re e e e
Re e e
(e e
)
e (e
i x
i Nx
i x
i x
i Nx
i Nx
i Nx
i x
2 4
4 2
2 2
2 2
1 1
ii x
i x
2 2







e
)







Re e sin(
)
sin( )
cos(
)sin(
)
sin( )
sin(
i Nx
Nx
x
Nx
Nx
x
2 2
2 2
2 2
4 4
2 2
Nx
x
)
sin( )
Поэтому окончательно


f
x
x
Nx
x
N
2 2
4 2
( )
sin( )sin(
)
sin( )

Экстремумы частичной суммы f
2N
(x) удовлетворяют условию


f
x
N
2 0
( )
. Ближайшие к точке разрыва x
 /2 экстремумы f
2N
(x) являются глобальными, выбираем их из общего набора решений уравнения sin(
)
4 0
Nx
 : x
k
N
k
 
4
, k
. Очевидно, что это две точки x
N
N
N
N
2 1
2 1
4 2
4








(
)
, лежащие слева (максимум f
2N
(x))
и справа (минимум f
2N
(x)) от разрыва f(x).
Найдем значения частичной суммы в точках глобальных экс- тремумов x
N
max
 


2 4
и x
N
min
 


2 4
:
f
N
n
n
n
N
N
n
n
2 1
2 4
2 1
2 1
2 1
2 2
1 4






















(
)
cos
(
)
(
)
1 1
2N

Воспользуемся соотношением cos(
)
cos cos sin sin
 







, тогда cos
(
)
(
)


2 1
2 2
1 4
n
n
N








=cos
(
)
cos
(
)
sin
(
)
si
(
)



2 1
2 2
1 4
2 1
2 0
1 1
n
n
N
n
n

 



 




 



n n
(
)
(
)
sin
(
)


2 1
4 1
2 4
1
n
N
n
N
n

 


=
1
,
f
N
n
n
N
n
N
N
n
N
2 1
2 2
4 2
1 2
1 2
1 4
2 1
4











 

 



sin
(
)
sin
(
)
(2 2
1 4
1 2
1 2
n
N
N
n
N







)
Полученное выражение представляет собой интегральную сумму, в данном случае совпадающую с квадратурной формулой прямоу- гольников, для интеграла

 


sin sin




x
x
dx
x
x
dx
0 1
0 1
. Поэтому при