Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
Пример 1.16. Изобразить на плоскости «Время Частота» область tлокализации сигнала из примера 1.14 для эффективных значений полосы и длительности. ◄ Во временной области получаем среднее значение распределения энергии: m t f t dt T tdt T t T ( ) 2 0 1 2 , а для эффективной длительности: D t f t dt m t T dt T T t t T 2 2 2 2 0 2 2 4 12 ( ) , откуда t D T t 2 3 . В частотной области D S d T T d F F F F F F = = = lim ( ) lim sin ( ) 2 2 2 2 2 , 49 1.7. Обобщенное преобразование Фурье т. е. эффективная полоса сигнала в данном случае неограничена: ( ; ). Область tотражена на рис. 1.8. ► Q t : 3 T t ' T/2 Рис. 1.8. Время-частотная локализация функции из примера 1.14 1.7. Îáîáùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Введем сначала важное для многих теоретических вопросов циф- ровой обработки сигналов понятие -функции Дирака. Положим для 0: u t t t ( ) , [ ; ] , [ ; ] 1 2 0 2 2 / при /2 / при / / Тогда для любой непрерывной функции f(t) на основании инте- гральной теоремы о среднем найдется такая точка [ ; ] / / 2 2 , что u t f t dt f t dt f ( ) ( ) ( ) ( ) / / 1 2 2 Поэтому если f(t) — непрерывная в окрестности точки t 0 функ- ция, то lim ( ) ( ) ( ) 0 0 u t f t dt f Обозначим формально ( ) lim ( ) , , t u t t t 0 0 0 0 при при и будем на- зывать (t) дельта-функцией Дирака (или -функцией). Основное свойство -функции описывается равенством: ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) t f t dt u t f t dt f 0 0 , где f(t) — непрерывная в точке t 0 функция. При выполнении условий теоремы 1.14 между сигналом и его спектром существует взаимно однозначное соответствие: 50 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций S f t dt i t ( ) ( )e 2 f t S d i t ( ) ( )e 2 Рассмотрим функцию g(t) 1. Условия теоремы 1.14, очевидно, для нее не выполнены, и спектр S g ( ), т. е. понимаемый в традицион- ном смысле интеграл e 2 i t dt , не существует. Однако если по- ложить, что S g ( ) (), то с учетом рассмотренного выше свойства -функции запись обратного преобразования Фурье не вызывает затруднений и дает точное восстановление функции g(t): g t S d d g i t i t ( ) ( )e ( )e 2 2 1. Для того чтобы расширить класс функций, для которых при- менимо интегральное преобразование Фурье (1.18), положим, по определению, что e ( ) 2 i t dt . (1.22) Замечание. Эквивалентными соотношению (1.22) являются следу- ющие определения. В силу вещественности -функции: e ( ) ( ) 2 i t dt В силу симметрии выражения (1.22) относительно переменных и t: e e ( ) 2 2 i t i t d d t Покажем, что интеграл e 2 i t dt действительно проявляет свойства дельта-функции. Пусть (t) — некоторая непрерывная в окрестности точки t 0 функция, отвечающая условиям теоремы 1.14. Тогда e ( ) ( )e 2 2 i t i t d t dt t dt d S d ( ) ( ) 0 , что соответствует основному свойству -функции: ( ) ( ) ( ). t t dt 0 Вводя в рассмотрение представление (1.22), мы сразу же расши- рили область применимости интегральных преобразований (1.17) и (1.18), превратив ряды Фурье для периодических функций ((1.15), (1.16)) в частный случай интегральных преобразований. Действи- тельно, исходя из (1.22), функции k i T kt t ( ) e 2 соответствует обоб- щенный спектр 51 1.7. Обобщенное преобразование Фурье S dt dt k T k i T kt i t it k T ( ) e e e 2 2 2 Поэтому для произвольной функции периода T, представимой в виде ряда (1.15), f t c t k k k ( ) ( ) , обобщенное интегральное преобразование дает спектр S c t dt c t dt k k k i t k k i t ( ) ( ) e ( )e 2 2 k k k k c k T , по которому функция может быть восстановлена в результате об- ратного преобразования Фурье: f t c k T d c k T k k i t k ( ) e e 2 2 i t k d c c t k i T kt k k k k e ( ) 2 Таким образом, интегралы в преобразовании Фурье (1.17) и (1.18) мы будем далее понимать обобщенно. Для обозначения пре- образования Фурье будем использовать следующие сокращенные записи: S f t ( ) ( ) — прямое преобразование (1.18), f t S ( ) ( ) 1 — обратное преобразование (1.17). Определение. Решетчатой будем называть функцию вида g x g x m x m m ( ) ( ) , где {g m } — вещественные или ком- плексные числа, а константа (шаг аргумента) x 0. Из рассмотренного выше следует важное наблюдение: если функция (сигнал) f(t) является Т-периодической, то ее спектр S c k T k k ( ) является решетчатой функцией и прини- мает ненулевые значения лишь для определенных равноотстоя- щих значений аргумента , а именно k k/T, k. Таким образом, спектр периодических функций полностью характеризуется набо- ром коэффициентов (1.16) ряда (1.15): f t c S c k T k i T kt k k k ( ) ( ) e 2 . (1.23) По этой причине под амплитудным спектром для периодических функций понимают набор модулей коэффициентов Фурье {|c k |}, а под фазовым спектром — набор их аргументов {arg c k }. 52 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций Упражнение. Найдите обобщенный спектр функций cos t, sin t. Преобразования (1.17) и (1.18) имеют сходную природу, отлича- ясь только знаком при мнимом показателе подынтегральной экс- поненты. Вследствие этого преобразования (1.17), (1.18) обладают и сходными дуальными свойствами, которые мы уже наблюдали. Например, произведению функций соответствует свертка в области преобразований (см. свойства 6°, 7° интеграла Фурье). Установив, что T-периодическому сигналу соответствует решетчатый спектр с дискретным шагом частоты 1/T, мы можем ожидать, что для решетчатых функций вида f t f t k t k k ( ) , принимающих ненулевые значения лишь для равноотстоящих значений дискрет- ного аргумента t k kt, в частотной области спектр S() имеет пери- од, равный 1/ t. То есть периодическая функция в одной области соответствует решетчатой функции в другой области, и наоборот. Упражнение. Используя свойства 2° и 4° преобразования Фурье, по- кажите, что спектр решетчатой функции f t f t k t k k ( ) имеет вид S f S t k i k t k ( ) e 2 1 Установленное выше влияние периодического или решетчато- го характера функции на свойства ее преобразования Фурье дела- ет практически очевидным вывод, что периодическая решетчатая функция имеет спектр, который также представляет собой решет- чатую периодическую функцию. Убедимся в этом. Пример 1.17. Найти спектр функции f t t f t k t k k ( ) , где f k f k N ◄ Очевидно, что функция f(t) f(t T), где период T Nt: f t N t t f t k N t t f t k t f k k k N f k k ( ) ( ) (( ) t . На основании (1.23) ее спектр представляет собой решетчатую функцию S c k k k ( ) , где 1/T, причем c T f t dt t T f t m t k i k T t t T t m m 1 2 2 2 ( )e Учиттываем m m t t N t i k T t t N dt : ; e 2 2 2 1 2 1 1 2 t 53 1.8. Энергетический спектр. Спектр мощности 1 1 0 1 2 2 1 2 2 N f t m t dt N f m m N i k N t t t N t m i e e N km m N k N c 0 1 Поэтому спектральная плотность также является периодической функцией, S S N S t ( ) 1 . ► Упражнение. Покажите, что функции G t t t k t k ( ) ( ) в ча- стотной области соответствует спектр S k t G k ( ) , при- чем t t k t i k t t k k ( ) exp 2 . (1.24) Указание: воспользуйтесь результатами решения примера 1.17, по- ложив N 1 и k: f k 1. 1.8. Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð. Ñïåêòð ìîùíîñòè Пусть f(t) — функция из пространства L 2 ( ) (см. пример 1.7), т. е. E f t dt ( ) 2 . Для детерминированного (неслучайного) сиг- нала f(t) L 2 ( ) корреляционной функцией назовем интеграл: B f t f t dt ( ) ( ) ( ) . (1.25) Функция B( ) характеризует «степень сходства» сигнала и его сдвига по аргументу: чем больше значение интеграла (1.25), тем это сходство выше. Так, максимальное сходство наблюдается при 0, когда значение корреляционной функции (1.25) максимально и рав- но энергии сигнала E, вообще же : |B()|B(0) E. Действительно, поскольку скалярным произведением функций f(t), g(t) (элемен- тов пространства L 2 ( )) является величина f g f t g t dt , ( ) ( ) , то на основании неравенства Коши — Буняковского (лемма 1.3) полу- чаем для функции (1.25) : B f t f t f t f t f t B ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 , |