Главная страница
Навигация по странице:

  • Упражнение.

  • Теорема 1.14.

  • Пример 1.14.

  • Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты


    Скачать 0.91 Mb.
    НазваниеБбк 32. 811 У54 Рецензенты
    АнкорОсновы ЦОС
    Дата09.08.2022
    Размер0.91 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаbook_478_886.pdf
    ТипУчебное пособие
    #642665
    страница6 из 8
    1   2   3   4   5   6   7   8
    36
    Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
    представления функций
    достаточно больших значениях N для частичных сумм ряда Фурье получаем наибольшие отклонения от оси абсцисс
    f
    N
    f
    N
    x
    x
    dx
    N
    N
    N
    2 2
    0 2
    4 2
    4 1
    0 58









    

    
     

    

    
     
     
    

    lim sin
    ,
    9 9490 .
    Соответствующий интеграл (так называемый интегральный синус) находится численно, например, как сумма быстро сходящегося зна- копеременного ряда:
    sin
    (
    )
    (
    )!
    (
    )
    (
    )!(
    x
    x
    dx
    x
    n
    dx
    n
    n
    n
    n
    n
    0 1
    2 2
    1 0
    2 1
    2 1
    1 2
    1










     






    2 2
    1 1 851937 1
    n
    n





    )
    ,
    Как видим, с увеличением количества 2N слагаемых в частич- ной сумме f
    2N
    (x) ряда Фурье ее «пики» не уменьшаются, но прибли- жаются к точке разрыва:
    x
    N
    max
     
     



    2 4
    2 0 , x
    N
    min
     
     



    2 4
    2 0 .
    Амплитуда пиков A
    f
    x
    N
    x
    N
    2 2
    0 589490


     
    max
    ( )
    ,
    [
    ; ]
     
    , а отклонение от f(x):

    2 2
    2 2
    0 5 0 08949
    N
    N
    N
    N
    f x
    f
    x
    f x
    f
    x
    A







    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    ,
    ,
    max max min min
    Размах пульсации частичной суммы вблизи точки x
     /2 состав- ляет величину 2 1 17898 2
    2 2
    A
    f
    x
    f
    x
    N
    N
    N



    (
    )
    (
    )
    ,
    max min
    , т. е. примерно на 18 % больше «скачка»
    f
    f


    2 0
    2 0
    1


    

    



    

    
     функции f(x) в точке разрыва x
     /2. ►
    Рассмотренный в примере 1.13 частный случай явления Гиббса может быть обобщен [52] на случай произвольной (разрывной) функ- ции f(t), представимой в виде ряда Фурье (1.13). Вблизи точек раз- рыва {t
    k
    } величина максимальных пульсаций частичных сумм f
    K
    (t) ряда (1.13) практически не изменяется с увеличением количества слагаемых K в частичной сумме, и размах пульсации составляет величину около 118 % от величины «скачка» | (
    )
    (
    ) |
    f t
    f t
    k
    k
     

    0 0 .
    С увеличением количества слагаемых K в частичной сумме ряда Фу- рье пики уклонения f
    K
    (t) от аппроксимируемой функции f(t) при- ближаются к точкам разрыва.
    Упражнение. Покажите, что для точек {x
    extr
    } локальных экстремумов частичной суммы ряда Фурье f
    K
    (x)
    f
    2N
    (x) из примера 1.13, которые

    37
    1.5. Интеграл Фурье
    являются ближайшими на оси абсцисс к найденным в примере 1.13 точкам глобальных экстремумов, при N
     1 верна оценка:
    f
    x
    f
    x
    x
    x
    dx
    N
    N
    N
    2 2
    0 2
    1 0 451412
    extr extr
     
     
     
     
     
    

    lim sin
    ,


    (Это означает, что вторые по величине пики уклонений частичной суммы f x
    f
    x
    N
    (
    )
    (
    )
    ,
    ,
    ,
    extr extr




    2 0 5 0 451412 0 048588 примерно вдвое меньше максимальных отклонений

    2N
    0,08949.) Как изменяется положение на оси абсцисс точек {x
    extr
    } с увеличением количества слагаемых K
     2N в частичной сумме f
    K
    (x)
    f
    2N
    (x)?
    Вместо (1.13) часто удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:
    f t
    f t
    c
    k
    i
    k
    T
    t
    k
    (
    )
    (
    )
    e
     


    


    0 0
    2 2

    , (1.15)
    где
    c
    T
    f t
    dt
    k
    i
    k
    T
    t
    T
    T




    1 2
    2 2
    ( )e
    /

    . (1.16)
    Несложно убедиться, что для вещественной функции f(t) ком- плексные коэффициенты (1.16) ряда (1.15) обладают свойством со- пряженной симметрии: c
    a
    ib
    k
    k
    k



    (
    ) 2 , c
    a
    ib
    c
    k
    k
    k
    k




    (
    ) 2
    , где вещественные коэффициенты { }
    a
    k k


    0
    , { }
    b
    k k


    1
    находятся по форму- лам (1.14).
    Упражнение. Для функции единичного периода f(t)
    f(t  1), где f(t)
    t при t[1/2; 1/2), найти разложение в ряд Фурье в форме
    (1.13) и (1.15).
    1.5.
    Èíòåãðàë Ôóðüå
    Реальные сигналы чаще всего представляют собой апериодические функции, искусственная периодизация которых, необходимая для корректного использования разложений (1.13) или (1.15), пред- ставляет собой неоднозначную процедуру, приводящую к искаже- нию сигнала. Поступим следующим образом. Обозначим

    k
    k/T,






    k
    k
    k
    T




    1 1/
    , тогда с использованием данных обозначе- ний из (1.15) и (1.16) получаем:

    38
    Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
    представления функций
    c
    f u
    i
    u du
    k
    i
    k
    T
    t
    k
    k
    T
    T
    i
    t
    k
    k
    k
    e
    ( )exp e
    /
    2 2
    2 2
    2

    
    

    


    












    Далее непериодический сигнал представим как периодический с бесконечно большим периодом, см. рис. 1.6.
    T
    o f
    Рис. 1.6. Переход от периодического сигнала к непериодическому
    Предположим, что существует интеграл (см. (1.16))
    S
    c T
    f u
    du
    f u
    k
    T
    k
    T
    i
    k
    T
    u
    T
    T
    i
    u
    k
    (
    )
    lim lim
    ( )e
    ( )e
    /
    /


    



    
    





    2 2
    2 2
    d
    du
    
    

    При формальном переходе к пределу при Т
     из ряда (1.15) полу- чим:
    lim e
    lim
    (
    )e
    ( )exp
    T
    k
    i
    k
    T
    t
    k
    k
    i
    t
    k
    c
    S
    S
    k
     


    





    2 0
    2 2


    





     

    i t d


    
    

    В случае существования последнего интеграла он понимается в смысле главного значения по Коши:
    S
    i t d
    S
    i t d
    A
    A
    A
    ( )exp lim
    ( )exp

     


     

    2 2





    
    
     



    .
    Данный интеграл носит название интеграла Фурье. Условия, кото- рые гарантируют возможность представления функции в виде ин- теграла Фурье, определяет следующая теорема.
    Теорема 1.14. Пусть функция f(t) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е.
    f t dt
    ( )
    
    

     , является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке t
    a b

      
    [ , ]
    (
    ;
    ) и в точках разрыва
    f t
    f t
    f t
    ( )
    (
    )
    (
    )

     



    0 0
    2 . Тогда она представима в виде интеграла
    Фурье:
    f t
    S
    i t d
    S
    d
    A
    A
    A
    i t
    ( )
    lim
    ( )exp
    ( )e
    ,




    


    
    



     



     
    2 2
    (1.17)
    где
    S
    f t
    dt
    i t
    ( )
    ( )e

     


    
    

    2
    (1.18)
    При этом S(
    ) является непрерывной функцией.
    Функция S(
    ) из (1.18) носит название частотного спектра, или спектральной плотности,или спектральной характеристики

    39
    1.5. Интеграл Фурье
    функции (сигнала) f(t). Представления (1.18) и (1.17) называют со- ответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье сиг- нала f(t). Их записывают также с использованием в качестве аргу- мента спектральной плотности циклической частоты
      2:
    ˆ
    ( )
    ( )e
    S
    f t
    dt
    i t




    
    

    , f t
    S
    d
    i t
    ( )
    ˆ
    ( )e

    
    

    1 2




    Таким образом, при выполнении условий теоремы 1.14 сигнал можно описать как во временной области, т. е. через функцию вре- мени f(t), так и в частотной области, через функцию частоты S(
    ), оба представления взаимно однозначно соответствуют друг дру- гу: f(t)
    S() (или f(t)Ŝ()).
    Отметим ряд важных свойств интегрального преобразования
    Фурье.
    1°. Сопряженная симметрия. Для любой вещественной функ- ции f(t): S
    S
    ( )
    (
    )


      . (Докажите самостоятельно.)
    2°. Линейность.





    x t
    S
    y t
    S
    x
    y
    ( )
    ( ),
    ( )
    ( ),
    ,


     :
    f t
    x t
    y t
    S
    S
    S
    x
    y
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )







     
     
     .
    3°. Изменение масштаба.


     
    f t
    S
    ( )
    ( ),

     0:
    f
    t
    S
    S
    (
    )
    ( )
    ( / )



     



    1

    S
    f
    t
    dt
    f
    t
    d
    t
    i t
    i
    t

     
     







    ( )
    (
    )e
    (
    )e
    (
    )
    (
    )




    
    

    
    


    2 2
    1



    
    

    1 1
    2


     
      
    f u
    du
    S
    i
    u
    ( )e
    ( / )
    ( / )
    . ►
    4°. Задержка сигнала.



    f t
    S
    t
    ( )
    ( ),

    0
    :
    f t
    t
    S
    i t
    (
    )
    e
    ( )



    0 2
    0
     
     .
    (Докажите самостоятельно.)
    5°. Сдвиг спектра.



    f t
    S
    ( )
    ( ),

    :
    f t
    S
    it
    ( )e
    (
    )
    2
     
     

     .
    (Докажите самостоятельно.)
    Свертка сигналов.




    u t
    S
    w t
    S
    u
    w
    ( )
    ( ),
    ( )
    ( )

     :
    f x
    u t w x
    t dt
    S
    S
    S
    u
    w
    ( )
    ( ) (
    )
    ( )
    ( )
    ( )




    




     .
    S
    u t w x
    t dt
    dx
    u t
    w x
    t
    i x
    i x
    ( )
    ( ) (
    )
    e
    ( )
    (
    )e

     
     



    

    


    


    




    2 2
    d
    dx dt
    


    




    см. свойство 4


    

    



    


    u t S
    dt
    S
    S
    w
    i t
    u
    w
    ( )
    ( )e
    ( )
    ( )



     
    2
    . ►

    40
    Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
    представления функций
    7°. Произведение сигналов.




    u t
    S
    w t
    S
    u
    w
    ( )
    ( ),
    ( )
    ( )

     :
    f t
    u t w t
    S
    S x S
    x dx
    u
    w
    ( )
    ( ) ( )
    ( )
    ( )
    (
    )




    




    (Докажите по аналогии с доказательством свойства 6°.)
    8°. Равенство Парсеваля.
    f(t)S():
    E
    f t
    dt
    S
    d


    

    



    ( )
    ( )
    2 2


    (величину E называют энергией сигнала).
    E
    f t f t dt
    f t
    S
    d dt
    S
    f t
    i t
    i t



    

    

    




    ( ) ( )
    ( )
    ( )e
    ( )
    ( )e



     
     
    2 2
    

    




    dt d





    

    

    

    





    S
    f t
    dt d
    S
    S
    d
    S
    d
    i t
    ( )
    ( )e
    ( ) ( )
    ( )



     


     
    2 2
    . ►
    9°. Дифференцирование во временной области. Если f(t)
    S() и функция f(t) дифференцируема, причем lim ( )
    t
    f t
    
     0 , то
     
    f t
    i S
    ( )
    ( )
    2
       .
    Интегрируя по частям, имеем:





    
    

    
    

    f t
    dt
    f t
    i
    f t
    i t
    i t
    t
    t
    ( )e
    ( )e
    (
    ) (
    2 2
    0 2
     
     
     


    

    
    ))e
    ( )

    
    


    2 2
     
      
    i t
    dt
    i S
    . ►
    10°. Дифференцирование в частотной области. Если f(t)
    S() и функция S(
    ) дифференцируема, причем lim ( )


    

    S
    0, то

     
    2


    i t f t
    S
    ( )
    ( ) .
    (Докажите самостоятельно, аналогично доказательству свой- ства 9°.)
    Упражнение. Покажите, что для функции и ее спектра f(t)
    S()
    m  условие
    d
    d
    S
    m
    m



    ( )


    0 0 эквивалентно условию
    t f t dt
    m
    ( )
    
    

     0.
    Упражнение. Сформулируйте свойства 1°–10° пары преобразований
    Фурье f(t)
    Ŝ(), записанных для циклической частоты .
    Определение. Амплитудным спектром сигнала f(t) называет- ся модуль S ( )
     спектральной плотности S(), а фазовым спек-
    тром — главное значение ее аргумента
     

     
    ( )
    arg ( ) (
    ; ]

     
    S

    41
    1.5. Интеграл Фурье
    Амплитудный и фазовый спектры позволяют записать спек- тральную плотность в показательной форме: S
    S
    i
    ( )
    ( ) e
    ( )


     

    Если S(
    )  0, то значение () не определено.
    Замечания. Из свойства 4° следует, что сдвиги сигнала во временной области влияют в частотной области лишь на фазовый спектр, но не изменяют амплитудный спектр сигнала. Из свойства 1° следует, что для вещественных сигналов амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр — нечетной функцией.
    Пример 1.14. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс длительности T:
    f t
    T
    t
    T
    t
    T
    ( )
    ,
    [ , ]
    ,
    [ , ]






    
    1 0
    0 0
    при при
    ◄ Найдем сначала спектральную плотность функции
    g(t)
    f(t  0,5T):
    S
    g t
    dt
    T
    dt
    g
    i t
    i t
    T
    T
    i T
    i T
    ( )
    ( )e e
    e e


     
     
     
     





    
    






    2 2
    2 2
    1 2 ii
    T
    T
    T

    
    

    sin(
    )
    , где, очевидно, S
    T
    g
    ( )
    0

    . Так как f(t)
    g(t  0,5T), то на основании свойства 4° получаем
    S
    T
    T
    f
    i T
    ( )
    e sin(
    )

    
    
     


    , откуда амплитудный спектр
    S
    T
    T
    f
    ( )
    sin(
    )

    
    

    Для фазового спектра
    () рассмотрим сначала частоты  0.
    При
     

    k T
    k
    ,
    , ,
    ,
    1 2
     arg S
    f
    (
    ) не определен, так как S
    f
    (
    )  0.
    При
    




    2 2
    1 0 1
    k T
    k
    T
    k
    ;(
    )
    ,
    , ,
    , получаем: sin(
    )
    sin(
    )
    
    
    T
    T

    ,
    S
    T
    T
    T
    T
    S
    f
    i T
    i T
    f
    i
    ( )
    sin(
    )
    e sin(
    )
    e
    ( ) e
    ( )

    
    
    
    

     
     
     





    , т. е.
     
    
    ( )
    arg e



    i T
    , причем
       
    ( )



    

    
    2
    T
    При
     





    (
    )
    ; (
    )
    ,
    , ,
    ,
    2 1
    2 2
    0 1
    k
    T
    k
    T
    k
     имеем:
    sin(
    )
    sin(
    )
    
    
    T
    T
     
    ,

    1   2   3   4   5   6   7   8


    написать администратору сайта