Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты

• Название: Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
• Анкор: Основы ЦОС
• Дата: 09.08.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: book_478_886.pdf
• Тип: Учебное пособие; #642665
• страница: 6 из 8

36
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
достаточно больших значениях N для частичных сумм ряда Фурье получаем наибольшие отклонения от оси абсцисс
f
N
f
N
x
x
dx
N
N
N
2 2
0 2
4 2
4 1
0 58












 




 
 


lim sin
,
9 9490 .
Соответствующий интеграл (так называемый интегральный синус) находится численно, например, как сумма быстро сходящегося зна- копеременного ряда:
sin
(
)
(
)!
(
)
(
)!(
x
x
dx
x
n
dx
n
n
n
n
n
0 1
2 2
1 0
2 1
2 1
1 2
1










 






2 2
1 1 851937 1
n
n





)
,
Как видим, с увеличением количества 2N слагаемых в частич- ной сумме f
2N
(x) ряда Фурье ее «пики» не уменьшаются, но прибли- жаются к точке разрыва:
x
N
max
 
 



2 4
2 0 , x
N
min
 
 



2 4
2 0 .
Амплитуда пиков A
f
x
N
x
N
2 2
0 589490


 
max
( )
,
[
; ]
 
, а отклонение от f(x):

2 2
2 2
0 5 0 08949
N
N
N
N
f x
f
x
f x
f
x
A







(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
max max min min
Размах пульсации частичной суммы вблизи точки x
 /2 состав- ляет величину 2 1 17898 2
2 2
A
f
x
f
x
N
N
N



(
)
(
)
,
max min
, т. е. примерно на 18 % больше «скачка»
f
f


2 0
2 0
1











 функции f(x) в точке разрыва x
 /2. ►
Рассмотренный в примере 1.13 частный случай явления Гиббса может быть обобщен [52] на случай произвольной (разрывной) функ- ции f(t), представимой в виде ряда Фурье (1.13). Вблизи точек раз- рыва {t
k
} величина максимальных пульсаций частичных сумм f
K
(t) ряда (1.13) практически не изменяется с увеличением количества слагаемых K в частичной сумме, и размах пульсации составляет величину около 118 % от величины «скачка» | (
)
(
) |
f t
f t
k
k
 

0 0 .
С увеличением количества слагаемых K в частичной сумме ряда Фу- рье пики уклонения f
K
(t) от аппроксимируемой функции f(t) при- ближаются к точкам разрыва.
Упражнение. Покажите, что для точек {x
extr
} локальных экстремумов частичной суммы ряда Фурье f
K
(x)
 f
2N
(x) из примера 1.13, которые

37
1.5. Интеграл Фурье
являются ближайшими на оси абсцисс к найденным в примере 1.13 точкам глобальных экстремумов, при N
 1 верна оценка:
f
x
f
x
x
x
dx
N
N
N
2 2
0 2
1 0 451412
extr extr
 
 
 
 
 


lim sin
,


(Это означает, что вторые по величине пики уклонений частичной суммы f x
f
x
N
(
)
(
)
,
,
,
extr extr




2 0 5 0 451412 0 048588 примерно вдвое меньше максимальных отклонений

2N
0,08949.) Как изменяется положение на оси абсцисс точек {x
extr
} с увеличением количества слагаемых K
 2N в частичной сумме f
K
(x)
 f
2N
(x)?
Вместо (1.13) часто удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:
f t
f t
c
k
i
k
T
t
k
(
)
(
)
e
 





0 0
2 2

, (1.15)
где
c
T
f t
dt
k
i
k
T
t
T
T




1 2
2 2
( )e
/

. (1.16)
Несложно убедиться, что для вещественной функции f(t) ком- плексные коэффициенты (1.16) ряда (1.15) обладают свойством со- пряженной симметрии: c
a
ib
k
k
k



(
) 2 , c
a
ib
c
k
k
k
k




(
) 2
, где вещественные коэффициенты { }
a
k k


0
, { }
b
k k


1
находятся по форму- лам (1.14).
Упражнение. Для функции единичного периода f(t)
 f(t  1), где f(t)
 t при t[1/2; 1/2), найти разложение в ряд Фурье в форме
(1.13) и (1.15).
1.5.
Èíòåãðàë Ôóðüå
Реальные сигналы чаще всего представляют собой апериодические функции, искусственная периодизация которых, необходимая для корректного использования разложений (1.13) или (1.15), пред- ставляет собой неоднозначную процедуру, приводящую к искаже- нию сигнала. Поступим следующим образом. Обозначим

k
 k/T,






k
k
k
T




1 1/
, тогда с использованием данных обозначе- ний из (1.15) и (1.16) получаем:

38
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
c
f u
i
u du
k
i
k
T
t
k
k
T
T
i
t
k
k
k
e
( )exp e
/
2 2
2 2
2




















Далее непериодический сигнал представим как периодический с бесконечно большим периодом, см. рис. 1.6.
T
o f
Рис. 1.6. Переход от периодического сигнала к непериодическому
Предположим, что существует интеграл (см. (1.16))
S
c T
f u
du
f u
k
T
k
T
i
k
T
u
T
T
i
u
k
(
)
lim lim
( )e
( )e
/
/













2 2
2 2
d
du



При формальном переходе к пределу при Т
 из ряда (1.15) полу- чим:
lim e
lim
(
)e
( )exp
T
k
i
k
T
t
k
k
i
t
k
c
S
S
k
 








2 0
2 2








 

i t d





В случае существования последнего интеграла он понимается в смысле главного значения по Коши:
S
i t d
S
i t d
A
A
A
( )exp lim
( )exp

 


 

2 2







 



.
Данный интеграл носит название интеграла Фурье. Условия, кото- рые гарантируют возможность представления функции в виде ин- теграла Фурье, определяет следующая теорема.
Теорема 1.14. Пусть функция f(t) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е.
f t dt
( )



 , является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке t
a b

  
[ , ]
(
;
) и в точках разрыва
f t
f t
f t
( )
(
)
(
)

 



0 0
2 . Тогда она представима в виде интеграла
Фурье:
f t
S
i t d
S
d
A
A
A
i t
( )
lim
( )exp
( )e
,












 



 
2 2
(1.17)
где
S
f t
dt
i t
( )
( )e

 





2
(1.18)
При этом S(
) является непрерывной функцией.
Функция S(
) из (1.18) носит название частотного спектра, или спектральной плотности,или спектральной характеристики

39
1.5. Интеграл Фурье
функции (сигнала) f(t). Представления (1.18) и (1.17) называют со- ответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье сиг- нала f(t). Их записывают также с использованием в качестве аргу- мента спектральной плотности циклической частоты
  2:
ˆ
( )
( )e
S
f t
dt
i t







, f t
S
d
i t
( )
ˆ
( )e




1 2




Таким образом, при выполнении условий теоремы 1.14 сигнал можно описать как во временной области, т. е. через функцию вре- мени f(t), так и в частотной области, через функцию частоты S(
), оба представления взаимно однозначно соответствуют друг дру- гу: f(t)
S() (или f(t)Ŝ()).
Отметим ряд важных свойств интегрального преобразования
Фурье.
1°. Сопряженная симметрия. Для любой вещественной функ- ции f(t): S
S
( )
(
)


  . (Докажите самостоятельно.)
2°. Линейность.





x t
S
y t
S
x
y
( )
( ),
( )
( ),
,


 :
f t
x t
y t
S
S
S
x
y
( )
( )
( )
( )
( )
( )







 
 
 .
3°. Изменение масштаба.


 
f t
S
( )
( ),

 0:
f
t
S
S
(
)
( )
( / )



 



1
◄
S
f
t
dt
f
t
d
t
i t
i
t

 
 







( )
(
)e
(
)e
(
)
(
)











2 2
1






1 1
2


 
  
f u
du
S
i
u
( )e
( / )
( / )
. ►
4°. Задержка сигнала.



f t
S
t
( )
( ),

0
:
f t
t
S
i t
(
)
e
( )



0 2
0
 
 .
(Докажите самостоятельно.)
5°. Сдвиг спектра.



f t
S
( )
( ),

:
f t
S
it
( )e
(
)
2
 
 

 .
(Докажите самостоятельно.)
6° Свертка сигналов.




u t
S
w t
S
u
w
( )
( ),
( )
( )

 :
f x
u t w x
t dt
S
S
S
u
w
( )
( ) (
)
( )
( )
( )









 .
◄ S
u t w x
t dt
dx
u t
w x
t
i x
i x
( )
( ) (
)
e
( )
(
)e

 
 
















2 2
d
dx dt








см. свойство 4











u t S
dt
S
S
w
i t
u
w
( )
( )e
( )
( )



 
2
. ►

40
Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального
представления функций
7°. Произведение сигналов.




u t
S
w t
S
u
w
( )
( ),
( )
( )

 :
f t
u t w t
S
S x S
x dx
u
w
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)









(Докажите по аналогии с доказательством свойства 6°.)
8°. Равенство Парсеваля.
f(t)S():
E
f t
dt
S
d








( )
( )
2 2


(величину E называют энергией сигнала).
◄ E
f t f t dt
f t
S
d dt
S
f t
i t
i t












( ) ( )
( )
( )e
( )
( )e



 
 
2 2







dt d

















S
f t
dt d
S
S
d
S
d
i t
( )
( )e
( ) ( )
( )



 


 
2 2
. ►
9°. Дифференцирование во временной области. Если f(t)
S() и функция f(t) дифференцируема, причем lim ( )
t
f t

 0 , то
 
f t
i S
( )
( )
2
   .
◄ Интегрируя по частям, имеем:











f t
dt
f t
i
f t
i t
i t
t
t
( )e
( )e
(
) (
2 2
0 2
 
 
 





))e
( )





2 2
 
  
i t
dt
i S
. ►
10°. Дифференцирование в частотной области. Если f(t)
S() и функция S(
) дифференцируема, причем lim ( )




S
0, то

 
2


i t f t
S
( )
( ) .
(Докажите самостоятельно, аналогично доказательству свой- ства 9°.)
Упражнение. Покажите, что для функции и ее спектра f(t)
S()
m  условие
d
d
S
m
m



( )


0 0 эквивалентно условию
t f t dt
m
( )



 0.
Упражнение. Сформулируйте свойства 1°–10° пары преобразований
Фурье f(t)
Ŝ(), записанных для циклической частоты .
Определение. Амплитудным спектром сигнала f(t) называет- ся модуль S ( )
 спектральной плотности S(), а фазовым спек-
тром — главное значение ее аргумента
 

 
( )
arg ( ) (
; ]

 
S

41
1.5. Интеграл Фурье
Амплитудный и фазовый спектры позволяют записать спек- тральную плотность в показательной форме: S
S
i
( )
( ) e
( )


 

Если S(
)  0, то значение () не определено.
Замечания. Из свойства 4° следует, что сдвиги сигнала во временной области влияют в частотной области лишь на фазовый спектр, но не изменяют амплитудный спектр сигнала. Из свойства 1° следует, что для вещественных сигналов амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр — нечетной функцией.
Пример 1.14. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс длительности T:
f t
T
t
T
t
T
( )
,
[ , ]
,
[ , ]







1 0
0 0
при при
◄ Найдем сначала спектральную плотность функции
g(t)
 f(t  0,5T):
S
g t
dt
T
dt
g
i t
i t
T
T
i T
i T
( )
( )e e
e e


 
 
 
 













2 2
2 2
1 2 ii
T
T
T




sin(
)
, где, очевидно, S
T
g
( )
0

. Так как f(t)
 g(t  0,5T), то на основании свойства 4° получаем
S
T
T
f
i T
( )
e sin(
)



 


, откуда амплитудный спектр
S
T
T
f
( )
sin(
)




Для фазового спектра
() рассмотрим сначала частоты  0.
При
 

k T
k
,
, ,
,
1 2
 arg S
f
(
) не определен, так как S
f
(
)  0.
При





2 2
1 0 1
k T
k
T
k
;(
)
,
, ,
, получаем: sin(
)
sin(
)


T
T

,
S
T
T
T
T
S
f
i T
i T
f
i
( )
sin(
)
e sin(
)
e
( ) e
( )






 
 
 





, т. е.
 

( )
arg e



i T
, причем
   
( )






2
T
При
 





(
)
; (
)
,
, ,
,
2 1
2 2
0 1
k
T
k
T
k
 имеем:
sin(
)
sin(
)


T
T
 
,