Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
Скачать 0.91 Mb.
|
36 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций достаточно больших значениях N для частичных сумм ряда Фурье получаем наибольшие отклонения от оси абсцисс f N f N x x dx N N N 2 2 0 2 4 2 4 1 0 58 lim sin , 9 9490 . Соответствующий интеграл (так называемый интегральный синус) находится численно, например, как сумма быстро сходящегося зна- копеременного ряда: sin ( ) ( )! ( ) ( )!( x x dx x n dx n n n n n 0 1 2 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 851937 1 n n ) , Как видим, с увеличением количества 2N слагаемых в частич- ной сумме f 2N (x) ряда Фурье ее «пики» не уменьшаются, но прибли- жаются к точке разрыва: x N max 2 4 2 0 , x N min 2 4 2 0 . Амплитуда пиков A f x N x N 2 2 0 589490 max ( ) , [ ; ] , а отклонение от f(x): 2 2 2 2 0 5 0 08949 N N N N f x f x f x f x A ( ) ( ) ( ) ( ) , , max max min min Размах пульсации частичной суммы вблизи точки x /2 состав- ляет величину 2 1 17898 2 2 2 A f x f x N N N ( ) ( ) , max min , т. е. примерно на 18 % больше «скачка» f f 2 0 2 0 1 функции f(x) в точке разрыва x /2. ► Рассмотренный в примере 1.13 частный случай явления Гиббса может быть обобщен [52] на случай произвольной (разрывной) функ- ции f(t), представимой в виде ряда Фурье (1.13). Вблизи точек раз- рыва {t k } величина максимальных пульсаций частичных сумм f K (t) ряда (1.13) практически не изменяется с увеличением количества слагаемых K в частичной сумме, и размах пульсации составляет величину около 118 % от величины «скачка» | ( ) ( ) | f t f t k k 0 0 . С увеличением количества слагаемых K в частичной сумме ряда Фу- рье пики уклонения f K (t) от аппроксимируемой функции f(t) при- ближаются к точкам разрыва. Упражнение. Покажите, что для точек {x extr } локальных экстремумов частичной суммы ряда Фурье f K (x) f 2N (x) из примера 1.13, которые 37 1.5. Интеграл Фурье являются ближайшими на оси абсцисс к найденным в примере 1.13 точкам глобальных экстремумов, при N 1 верна оценка: f x f x x x dx N N N 2 2 0 2 1 0 451412 extr extr lim sin , (Это означает, что вторые по величине пики уклонений частичной суммы f x f x N ( ) ( ) , , , extr extr 2 0 5 0 451412 0 048588 примерно вдвое меньше максимальных отклонений 2N 0,08949.) Как изменяется положение на оси абсцисс точек {x extr } с увеличением количества слагаемых K 2N в частичной сумме f K (x) f 2N (x)? Вместо (1.13) часто удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье: f t f t c k i k T t k ( ) ( ) e 0 0 2 2 , (1.15) где c T f t dt k i k T t T T 1 2 2 2 ( )e / . (1.16) Несложно убедиться, что для вещественной функции f(t) ком- плексные коэффициенты (1.16) ряда (1.15) обладают свойством со- пряженной симметрии: c a ib k k k ( ) 2 , c a ib c k k k k ( ) 2 , где вещественные коэффициенты { } a k k 0 , { } b k k 1 находятся по форму- лам (1.14). Упражнение. Для функции единичного периода f(t) f(t 1), где f(t) t при t[1/2; 1/2), найти разложение в ряд Фурье в форме (1.13) и (1.15). 1.5. Èíòåãðàë Ôóðüå Реальные сигналы чаще всего представляют собой апериодические функции, искусственная периодизация которых, необходимая для корректного использования разложений (1.13) или (1.15), пред- ставляет собой неоднозначную процедуру, приводящую к искаже- нию сигнала. Поступим следующим образом. Обозначим k k/T, k k k T 1 1/ , тогда с использованием данных обозначе- ний из (1.15) и (1.16) получаем: 38 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций c f u i u du k i k T t k k T T i t k k k e ( )exp e / 2 2 2 2 2 Далее непериодический сигнал представим как периодический с бесконечно большим периодом, см. рис. 1.6. T o f Рис. 1.6. Переход от периодического сигнала к непериодическому Предположим, что существует интеграл (см. (1.16)) S c T f u du f u k T k T i k T u T T i u k ( ) lim lim ( )e ( )e / / 2 2 2 2 d du При формальном переходе к пределу при Т из ряда (1.15) полу- чим: lim e lim ( )e ( )exp T k i k T t k k i t k c S S k 2 0 2 2 i t d В случае существования последнего интеграла он понимается в смысле главного значения по Коши: S i t d S i t d A A A ( )exp lim ( )exp 2 2 . Данный интеграл носит название интеграла Фурье. Условия, кото- рые гарантируют возможность представления функции в виде ин- теграла Фурье, определяет следующая теорема. Теорема 1.14. Пусть функция f(t) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е. f t dt ( ) , является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке t a b [ , ] ( ; ) и в точках разрыва f t f t f t ( ) ( ) ( ) 0 0 2 . Тогда она представима в виде интеграла Фурье: f t S i t d S d A A A i t ( ) lim ( )exp ( )e , 2 2 (1.17) где S f t dt i t ( ) ( )e 2 (1.18) При этом S( ) является непрерывной функцией. Функция S( ) из (1.18) носит название частотного спектра, или спектральной плотности,или спектральной характеристики 39 1.5. Интеграл Фурье функции (сигнала) f(t). Представления (1.18) и (1.17) называют со- ответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье сиг- нала f(t). Их записывают также с использованием в качестве аргу- мента спектральной плотности циклической частоты 2: ˆ ( ) ( )e S f t dt i t , f t S d i t ( ) ˆ ( )e 1 2 Таким образом, при выполнении условий теоремы 1.14 сигнал можно описать как во временной области, т. е. через функцию вре- мени f(t), так и в частотной области, через функцию частоты S( ), оба представления взаимно однозначно соответствуют друг дру- гу: f(t) S() (или f(t)Ŝ()). Отметим ряд важных свойств интегрального преобразования Фурье. 1°. Сопряженная симметрия. Для любой вещественной функ- ции f(t): S S ( ) ( ) . (Докажите самостоятельно.) 2°. Линейность. x t S y t S x y ( ) ( ), ( ) ( ), , : f t x t y t S S S x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 3°. Изменение масштаба. f t S ( ) ( ), 0: f t S S ( ) ( ) ( / ) 1 ◄ S f t dt f t d t i t i t ( ) ( )e ( )e ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 f u du S i u ( )e ( / ) ( / ) . ► 4°. Задержка сигнала. f t S t ( ) ( ), 0 : f t t S i t ( ) e ( ) 0 2 0 . (Докажите самостоятельно.) 5°. Сдвиг спектра. f t S ( ) ( ), : f t S it ( )e ( ) 2 . (Докажите самостоятельно.) 6° Свертка сигналов. u t S w t S u w ( ) ( ), ( ) ( ) : f x u t w x t dt S S S u w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ◄ S u t w x t dt dx u t w x t i x i x ( ) ( ) ( ) e ( ) ( )e 2 2 d dx dt см. свойство 4 u t S dt S S w i t u w ( ) ( )e ( ) ( ) 2 . ► 40 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций 7°. Произведение сигналов. u t S w t S u w ( ) ( ), ( ) ( ) : f t u t w t S S x S x dx u w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Докажите по аналогии с доказательством свойства 6°.) 8°. Равенство Парсеваля. f(t)S(): E f t dt S d ( ) ( ) 2 2 (величину E называют энергией сигнала). ◄ E f t f t dt f t S d dt S f t i t i t ( ) ( ) ( ) ( )e ( ) ( )e 2 2 dt d S f t dt d S S d S d i t ( ) ( )e ( ) ( ) ( ) 2 2 . ► 9°. Дифференцирование во временной области. Если f(t) S() и функция f(t) дифференцируема, причем lim ( ) t f t 0 , то f t i S ( ) ( ) 2 . ◄ Интегрируя по частям, имеем: f t dt f t i f t i t i t t t ( )e ( )e ( ) ( 2 2 0 2 ))e ( ) 2 2 i t dt i S . ► 10°. Дифференцирование в частотной области. Если f(t) S() и функция S( ) дифференцируема, причем lim ( ) S 0, то 2 i t f t S ( ) ( ) . (Докажите самостоятельно, аналогично доказательству свой- ства 9°.) Упражнение. Покажите, что для функции и ее спектра f(t) S() m условие d d S m m ( ) 0 0 эквивалентно условию t f t dt m ( ) 0. Упражнение. Сформулируйте свойства 1°–10° пары преобразований Фурье f(t) Ŝ(), записанных для циклической частоты . Определение. Амплитудным спектром сигнала f(t) называет- ся модуль S ( ) спектральной плотности S(), а фазовым спек- тром — главное значение ее аргумента ( ) arg ( ) ( ; ] S 41 1.5. Интеграл Фурье Амплитудный и фазовый спектры позволяют записать спек- тральную плотность в показательной форме: S S i ( ) ( ) e ( ) Если S( ) 0, то значение () не определено. Замечания. Из свойства 4° следует, что сдвиги сигнала во временной области влияют в частотной области лишь на фазовый спектр, но не изменяют амплитудный спектр сигнала. Из свойства 1° следует, что для вещественных сигналов амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр — нечетной функцией. Пример 1.14. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс длительности T: f t T t T t T ( ) , [ , ] , [ , ] 1 0 0 0 при при ◄ Найдем сначала спектральную плотность функции g(t) f(t 0,5T): S g t dt T dt g i t i t T T i T i T ( ) ( )e e e e 2 2 2 2 1 2 ii T T T sin( ) , где, очевидно, S T g ( ) 0 . Так как f(t) g(t 0,5T), то на основании свойства 4° получаем S T T f i T ( ) e sin( ) , откуда амплитудный спектр S T T f ( ) sin( ) Для фазового спектра () рассмотрим сначала частоты 0. При k T k , , , , 1 2 arg S f ( ) не определен, так как S f ( ) 0. При 2 2 1 0 1 k T k T k ;( ) , , , , получаем: sin( ) sin( ) T T , S T T T T S f i T i T f i ( ) sin( ) e sin( ) e ( ) e ( ) , т. е. ( ) arg e i T , причем ( ) 2 T При ( ) ; ( ) , , , , 2 1 2 2 0 1 k T k T k имеем: sin( ) sin( ) T T , |