Основы ЦОС. Ббк 32. 811 У54 Рецензенты
 Скачать 0.91 Mb.
|
|
Определения. Пусть X — ЛНП (не обязательно банахово), а {x n } — некоторая последовательность, {x n } X. Формально составленная сумма x k k 1 называется рядом в X, а элемент s x n k k n 1 — n-й частичной суммой ряда. (Заметим, что n: s n X, см. определение ЛНП). Ряд называется сходящимся по норме ЛНП X, если в X сходится последовательность элементов {s n }, т. е. lim n n s s X . Элемент s называется суммой ряда, а запись s x k k 1 означает, что ряд сходится по норме X и его сумма равна s. 18 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций 1.2. Ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì Определение. Линейное пространство E называется евклидо- вым, если каждой паре его элементов x, y E поставлено в соот- ветствие вещественное число x, y, называемое скалярным про- изведением, причем выполняются следующие аксиомы. 1°. xE: x, x0, причем x, x 0x . 2°. x, yE: x, y y, x. 3°. x, yE, : x, y x, y. 4°. x, y, zE: x y, z x, z y, z. Заметим, что в данном определении ничего не говорится о нор- мированности пространства E. Однако евклидово пространство можно превратить в нормированное, если ввести норму следую- щим образом: x x x , . (1.2) Аксиомы нормы 1° и 2° при этом выполняются очевидным образом. Для доказательства выполнения аксиомы 3° (неравенства треуголь- ника) предварительно рассмотрим следующую лемму. Лемма 1.3. Норма, введенная в соответствии с определением (1.2), удовлетворяет неравенству Коши — Буняковского (или Шварца): x y x y , ◄ Заметим, что : x y x y x y , 2 0. Поэтому 0 2 2 2 2 2 2 x y x y x x x y y y x x y y , , , , , Тогда дискриминант полученного квадратного трехчлена пе- ременной : 4 4 0 2 2 2 x y x y , || || || || , что и доказывает неравенство Коши — Буняковского. ► Докажем теперь выполнение аксиомы треугольника. Так как x y x y x y x x y y x x y y 2 2 2 2 2 2 2 , , , , то, применяя к последнему выражению лемму 1.3, получаем: x y x x y y x y 2 2 2 2 2 , или x y x y Определения. Пусть E — линейное пространство с введен- ным скалярным произведением. Ортогональными элементами 19 1.2. Пространства со скалярным произведением пространства E называются такие элементы x, y E, что x, y 0. Ортогональность элементов будем обозначать x y. (Очевидно, нулевой элемент ортогонален всем элементам пространства.) Ортогональной системой в E назовем множество попарно орто- гональных элементов {x n } E. Теорема 1.2. Если x k k m 1 — ортогональная система ненулевых элементов в евклидовом пространстве E, x k k m 1 E, то элементы x k k m 1 — линейно независимы. ◄ Допустим противное. Пусть элементы x k k m 1 — линейно зависимы, т. е. существует такой набор чисел k k m 1 (не все из них равны нулю), что k k k m x 1 . В силу ортогональности системы x k k k m 1 имеем j 1, …, m: 0 1 1 0 x x x x x x x j j k k k m k j k k m j j j , , , , Поэтому все коэффициенты k k m 1 должны быть нулевыми, а это противоречит допущению о линейной зависимости элементов x k k m 1 . ► Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве ортогональная система из n ненулевых элементов образует базис. В дальнейшем нам понадобятся два свойства скалярного произ- ведения, которые устанавливаются в следующих леммах. Лемма 1.4. (Свойство непрерывности скалярного произведения.) Пусть в евклидовом пространстве E заданы две сходящиеся последо- вательности: {x n } E, lim n n x x E, {y n } E, lim n n y y E. Тогда число- вая последовательность x y n n , также сходится и lim , , n n n x y x y ◄ С учетом леммы 1.3 имеем: x y x y x x y x y y n n n n n , , , , x x y x y y x x y x y y n n n n n n , , Выражение в правой части последнего неравенства стремится к нулю при n . Действительно, сходящаяся числовая последова- тельность y n ограничена, кроме того, lim lim n n n n x x y y 0 . Следовательно, lim , , n n n x y x y . ► Лемма 1.5. (Равенство параллелограмма.) Для любых элементов x, y евклидова пространства E и нормы (1.2) верно: 20 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций x y x y x y 2 2 2 2 2 2 ◄ x y x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 , , Проделайте опущенные выкладки самостоятельно. ► Определение. Пространством Гильберта (обычно обознача- ется H) называется евклидово пространство, которое полно в норме (1.2). Пример 1.6. Пространство E n арифметических векторов со скаляр- ным произведением, определенным для векторов x x x n 1 , , , y y y n 1 , , как x y , x y k k k n 1 , — полное, т. е. гильбертово. Пример 1.7. Гильбертово пространство L 2 [a, b]. ◄ В примере 1.5 было рассмотрено пространство L T 2 0 [ ; ] непре- рывных на отрезке t [0; T] функций с нормой x x t dt T ( ) 2 0 и было показано, что L T 2 0 [ ; ] не является полным. Можно также показать, что не является полным и пространство ˆ [ ; ] L T 2 0 кусочно- непрерывных на отрезке t [0; T] функций с нормой, определяемой тем же выражением. Во многих теоретических вопросах рассматривают обобщение пространств L a b 2 [ ; ] и ˆ [ ; ] L a b 2 — пространство L 2 [a, b] функций, для которых норма элемента определяется как x x t dt a b ( ) 2 , но ин- теграл понимается в смысле Лебега. Определенный интеграл Лебега представляет собой обобщение «традиционного» интеграла Ри- мана и применим к более широкому классу функций. Теория ин- теграла Лебега выходит за рамки данного пособия (подробнее см., напр., [45]), отметим лишь, что пространство L 2 [a; b] является пол- ным, а значит, гильбертовым. Кроме того, любой элемент x L 2 [a; b] можно с какой угодно точностью 0 приблизить по норме это- го пространства элементом ˆ ˆ [ ; ] x L a b 2 , т. е. кусочно-непрерывной функцией: ˆ x x . В тех случаях, когда полнота является неотъемлемо важ- ным свойством, необходимо рассматривать пространство L 2 [a, b]. На практике для описания сигналов обычно ограничиваются множеством кусочно-непрерывных функций ˆ [ ; ] [ ; ] L a b L a b 2 2 . Тог- да при определении скалярного произведения x y x t y t dt a b , ( ) ( ) 21 1.2. Пространства со скалярным произведением и индуцируемой им нормы (1.2) определенный интеграл можно по- нимать в смысле Римана. ► Сформулируем задачу аппроксимации, которую будем рассма- тривать далее. Пусть H — гильбертово пространство, а L — под- пространство в H, L H. Для заданного элемента xH необходимо найти элемент наилучшего приближения (ЭНП) y L, для которого (x, y) (x, L), т. е. x y x u u L inf . (1.3) Теорема 1.3. В гильбертовом пространстве существует, и притом единственный, ЭНП y L, который является решением задачи ап- проксимации (1.3). ◄ Докажем сначала существование ЭНП. Обозначим d x u u L inf . Из определения точной нижней грани следует, что 0 u L: d x u d . Тогда, взяв числовую последователь- ность k 1/k, k 1, 2, …, сможем построить последовательность эле- ментов {u k } L такую, что d x u d k k 1 Покажем, что {u k } — фундаментальная последовательность. С использованием равенства параллелограмма (лемма 1.5) имеем 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 x u x u u u x u u u u d n m m n m n m n , поскольку элемент v u u L m n 2 и ( , ) inf x x v x u d u L Поэтому u u x u x u d m n n m 2 2 2 2 2 2 4 , и тогда u u d n d m d d N d m n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 1 4 8 4 8 4 2 d N N d N , где N min(n, m). Таким образом, величину u u m n можно сделать сколь угод- но малой за счет выбора достаточно большого числа N, т. е. после- довательность {u k } — фундаментальная, и вследствие полноты H lim k k u y H . Поскольку сходящаяся последовательность {u k } L и L — подпространство (т. е. замкнутое множество), то верно также: y L. Поэтому (x, y) d и существование ЭНП доказано. 22 Глава 1. Элементы функционального анализа и спектрального представления функций Покажем, что ЭНП y — единственный. Для этого допустим про- тивное. Пусть наряду с y существует также другой ЭНП y L , т. е. ( , ) , x L x y x y d причем y y . На основании равенства параллелограмма (лемма 1.5) получаем: 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 d x y x y y y x y y y y d , откуда y y 2 0 и y y , т. е. ЭНП — единственный. ► Теорема 1.4. Пусть L — подпространство в гильбертовом простран- стве H, y L — ЭНП для заданного элемента xH. Тогда любой элемент u L ортогонален элементу v x y: vu, что обозначают также v L. ◄ Допустим противное, т. е. uL: x y u – , 0 . Тогда u ≠ и (см. аксиому 1° скалярного произведения) u u , 0. Рассмотрим элемент y y u u u , , который также лежит в подпространстве L: y L , так как yL, uL. Имеем: x y x y u u u x y u u u 2 ( ) , , ( ) , x y x y x y u u u u u u u u u , , , , , , 2 x y u u x y u u u u u x y u u 2 2 2 2 2 2 , , , , , Поскольку 2 u u , 0, то x y x y 2 2 и элемент y не является ЭНП. Получили противоречие, поэтому uL: x y, u 0. ► Следствие из теорем 1.3, 1.4. Пусть L — подпространство в H. Тогда xH существует единственное разложение x y z, где yL, а zL. ◄ Пусть x y z, ЭНП yL, zL. Пусть существует также другое представление: x a b, где aL, bL. Тогда y a z b , и y a z b y a y a y a z y a b y a y a , , , , 0 2 , так как (y a)L. Поэтому y a и b x y z. ► ЭНП y L называют также проекцией элемента xH на подпро- странство L. Для случая H E 3 , L E 2 результат теоремы 1.4 хорошо 23 1.2. Пространства со скалярным произведением известен и имеет несложную геометрическую интерпретацию (рис. 1.1). Теорема 1.4 определяет способ нахожде- ния ЭНП для элемента x H в случае конеч- ной размерности подпространства L с за- данным (не обязательно ортогональным) базисом g g g n 1 2 , , , , y g j j j n 1 . Поиск коэффициентов разложения { } j j n 1 осу- ществляется следующим образом. Так как k: g k L, x y, g k 0, то x g g x g g g j j j n k k j j k j n 1 1 0 , , , или j j n j k k g g x g k n 1 1 , , , , , . (1.4) Определитель системы линейных уравнений (1.4) есть опреде- литель матрицы Грама |