Алгебраические системы замыканий. Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com. Библиографический список 23

• Название: Библиографический список 23
• Анкор: Алгебраические системы замыканий
• Дата: 26.09.2021
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com.doc
• Тип: Реферат; #236981
• страница: 2 из 6

§1. Основные понятия и примеры

Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.

Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка. Множество L – упорядоченное множество.

Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.

Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.

В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D   подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D   и система D   замкнута относительно пересечений, то есть

∩Y  D   для любой непустой подсистемы Y D.

Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).

Одним из примеров системы замыканий является следующий:

Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.

Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.

Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение  множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:

J. 1. X (X);

J. 2. Если , то (X) (Y);

J. 3. (X) = (X)

для всех X, Y B (A).

Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания  равенством

(X) = ∩{Y D | Y X} для всех X A.

Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.

Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.

Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор  следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, A A;

{a} {a, b}, {b} A, {c} {b, c};

{a, b} A, {a, c} A, {b, c} A.

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение  зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:

, A A;

{a} A, {b} A, {c} A;

{a, b} {a, b}, {a, c} {a, c}, {b, c} {b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a} {a, b}, но ({a}) = A {a, b} = ({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания  на множестве A называется алгебраическим, если для любых X A и a A

а (X) влечет a (F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания  является алгебраическим, то есть для любого X A

a { D  D : X D} влечёт a { D  D : F D}

для некоторого конечного F X.

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X [X], где [X] – замыкание множества X A. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.

1. 
   ЕслиX Y, то [X] [Y].
   

Возьмем x₀ [X]. Тогда любая окрестность точки x₀ содержит точки множества X в любой окрестности точки x₀ содержатся точки множества Y x₀ [Y].

2. 
   X [X].
   

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3. 
   [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.
   
   1. 
      [X] [[X]]. Доказано во втором пункте.
      
   2. 
      x₀ [[X]] Возьмем  U (x₀), для неё  y₀ U (x₀) [X] y – точка прикосновения множества X U (y₀) найдутся точки множества X. Возьмем U (y₀) U (x₀), z₀ U (y₀) X. Отсюда z₀ U (x₀) X. Тогда x₀ – точка прикосновения множества X x₀ [X]. Таким образом, [[X]] [X].
      

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R² поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.

Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим X A, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, x yдля любого x X; если также x zдля любого x X, то z Yи, следовательно, y z. Поэтому y = sup X.▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I, ) называется направленным, если для любых i, j I существует такой элемент k I, что i k, j k, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

1. 
   Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.
   
2. 
   Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.
   

Доказательство:

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i) (ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii) (i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент b a, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.