Алгебраические системы замыканий. Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com. Библиографический список 23
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
Содержание Введение 2 §1. Основные понятия и примеры 4 §2. Связь систем замыканий с операторами замыкания 9 §3. Алгебраические системы замыканий 11 §4. Соответствия Галуа 14 § 5. Задачи 19 Библиографический список 23 ВведениеВажную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения  . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве. Задачи: рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах; сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания; рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий; рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий. Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1. В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа. В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий. Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий. Последний параграф посвящен решению задач. Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература. Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения: ∆ – начало доказательства; ▲ – конец доказательства. В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе. Основными результатами работы являются: доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу (X) = ∩{Y  D | Y X}. Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий D = {X A | (X) = X}.доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах. решение задач. |