Алгебраические системы замыканий. Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com. Библиографический список 23

• Название: Библиографический список 23
• Анкор: Алгебраические системы замыканий
• Дата: 26.09.2021
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com.doc
• Тип: Реферат; #236981
• страница: 5 из 6

§4. Соответствия Галуа

Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.

Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.

Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково . И пусть указаны отображения
φ: M M ' и ψ: M ' M, удовлетворяющие (для любых a, b M, a ', b ' M ') следующим требованиям:

1. 
   если a b, то aφ bφ,
   

если a ' b ', то a 'ψ b 'ψ,

2. 
   aφψ a, a 'ψφ a '.
   

Тогда пара (φ, ψ) называется соответствием Галуа между упорядоченными множествами M и M '.

Данное определение наиболее общее и формальное.

Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом ^*. Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.

Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B, то есть подмножество прямого произведения A B. Для любого подмножества X множества A определим подмножество X^* множества B равенством

X^* = {y B | (x, y) Ф для всех x X}

и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y^* множества A равенством

Y^* = {x A | (x, y) Ф для всех y Y}.

Таким образом, имеем отображения

X X^*, Y Y^* (5)

множеств B (A), B (B) друг в друга, обладающие следующими свойствами:

если X₁ X₂, то X₁^* X₂^*; (6)

если Y₁ Y₂, то Y₁^* Y₂^*;

X X^**, Y Y^**; (7)

X^*** = X^*, Y^*** = Y^*. (8)

Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X^* X^***, в то время как (7), примененное к X^*, дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).

Пара отображений (5) между булеанами B (A) и B (B) с отношением включения , или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа, если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).

Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.

Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом x y. Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R.

Идеал P кольца R назовём простым, если для a, b R: a∙b P a P или b P.

Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P^* = {y R: x y для всех x P} = R\P – замкнутое относительно умножения.

Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y ^* = {x R: x y для всех y  Y} = R\Y – простой идеал.

Покажем выполнимость свойств.

Если P₁ P₂, то R\P₁ R\P₂ − очевидно, так как R\P₁ является дополнением к P₁, а R\P₂ – дополнением к P₂. Аналогично для Y ₁ Y ₂.

Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P^* = R\P, а P^* поставим в соответствие P^** = R\(R\P) = P P P^**.

Аналогично доказываются эти свойства для Y ₁ Y ₂.

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.2: В кольце A каждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов a A, для которых a∙x= 0 для каждого x из X:

Ann Х = {a A| x X a∙x = 0}.

Для подмножества X множества A определим подмножество X^* множества A равенством

X^* = {a A | a∙x = 0 для всех x X} = Ann Х

и аналогично для любого идеала I кольца A определим подмножество I^* множества A равенством

I^* = {x A | a∙x = 0 для всех a I} = Ann I.

Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b) A² | a∙b = 0}.

Таким образом, построены отображения X X^* = AnnХ, I I^* = Ann I. Проверим, является ли построенное соответствие соответствием Галуа.

1. 
   Пусть X₁ X₂. Тогда X₁ Ann Х₁ = {a A | a∙x = 0 для всех x X₁} и X₂ Ann Х₂ = {a A | a∙x = 0 для всех x X₂}. Пусть a Ann Х₂, aХ₂ = 0, X₁ X₂ aХ₁ = 0 a Ann Х₁. Следовательно, AnnХ₁ AnnХ₂ или X₁^* X₂^*. Для I₁ I₂ аналогично получаем I^*₁ I ^*₂.
   
2. 
   Поставим множеству X в соответствие множество X^* = AnnХ = I, а X^* поставим в соответствие I^* = AnnI = Ann(AnnХ). Если x Х, тогда a∙x = 0 для a Ann Х x Ann(Ann Х). Следовательно, X X^**.
   

Аналогично получаем I I^**, если поставить множеству I в соответствие множество I^* = AnnI = X, а I^* поставить в соответствие X^* = Ann X = Ann(Ann I).

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.3: В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:

C = {c G: для всех a A a · c = c · a}.

Пример 4.4: В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:

A = {a A: для всех x V x a},

так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь x a означает равенство 0 скалярного произведения (x, a).

Последние два примера обосновываются аналогично примеру 4.2.

Чтобы установить связь соответствий Галуа с системами замыканий, заметим, что при любом соответствии Галуа отображение X X^** будет оператором замыкания в A, а Y Y^** оператором замыкания в B (в силу (7) – (9)). При этом отображения X X^*, Y Y^* определяют взаимно однозначное соответствие между двумя этими системами замыканий.

Чтобы иметь более непосредственное описание алгебраических систем замыканий, нам необходимо еще одно определение.

Определение 8. Непустая система D подмножеств множества A называется индуктивной, если каждая цепь в D обладает точной верхней гранью в D.

В силу предложения 2 (примененного к B (A)) слово «цепь» здесь можно заменить словами «направленное множество».

Таким образом, мы получили следующую характеризацию алгебраических систем замыканий:

Теорема 3. Система замыканий является алгебраической тогда и только тогда, когда она индуктивна.

Доказательство:

∆ Пусть D − алгебраическая система замыканий на некотором множестве, K − цепь в D и K = sup K. Для доказательства включения K D нужно только проверить, что (H) K для каждого конечного подмножества H множества K. Пусть H={x₁, …, x_n}; тогда каждое x_i принадлежит некоторому члену цепи K, а так как K − цепь, то можно найти член L K, содержащий все x_i. Тогда H L K и L D; следовательно, (H) (L) = L K, то есть (H) K, что мы и хотели показать.

Обратно, пусть D – индуктивная система замыканий на A и  – соответствующий оператор замыкания. Нужно показать, что для любого X A

(X) = sup {(F) | F X, F конечно}.

Пусть K = {(F) | F X, F конечно} для фиксированного X A; тогда нужно показать, что sup K  D. Отсюда будет следовать, что sup K = (X), поскольку sup K   является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все элементы множества X. Теперь для любых Y, Z A имеем

(Y) (Z) (Y  Z),

и если Y, Z – конечные подмножества множества X, то Y  Z также конечно. Это показывает, что K направлено, и, следовательно, sup K  D, что и утверждалось. ▲

Используя предложение 2, получаем

Следствие 1. Если D – алгебраическая система замыканий на A и K – направленная подсистема системы D, то sup K  D.

Доказательство:

∆ Из леммы Цорна вытекает, что каждая непустая индуктивная система подмножеств множества A содержит максимальное подмножество.

Это приводит к следствию 2 из теоремы 2, в котором содержатся наиболее важные применения леммы Цорна к алгебре.

Следствие 2. Пусть D – алгебраическая система замыканий в A, и пусть A₀, A₁,B – такие подмножества множества A, что B D и B A₁ = A₀. Тогда D   содержит элемент C, который является максимальным в D относительно свойств C B, C A₁ = A₀.

Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D  ' всех таких множеств X D, что X B и X A₁ = A₀, и покажем, что D  ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D  ' ≠ , так как B D  '. Пусть теперь (X_i) – некоторая цепь в D  ' и положим X = sup X_i. Тогда X D, так как система D   индуктивна. Далее X B и X A₁ = A₀; поэтому X D  '. Таким образом, система D  ' индуктивна, и по лемме Цорна D  ' обладает максимальным элементом. ▲