Алгебраические системы замыканий. Алгебраические системы замыканий - StudentLib.com. Библиографический список 23
 Скачать 0.75 Mb.
|
§2. Связь систем замыканий с операторами замыканияВ параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её. Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу (X) = ∩{Y  D | Y X}.Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий D = {X  A | (X) = X}.Доказательство: ∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | Y X}. Докажем, что – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда(X) = X  X D, (1)так как (X) D, то отсюда вытекает J. 3.2) Обратно, пусть задан оператор замыкания (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть D = {X A | (X) = X}. (2)Докажем, что D – система замыканий. Если (Xi)i I – произвольное семейство в D и ∩Xi = X, то X Xi; следовательно, по J. 1. (X) (Xi) = Xiдля всех i, и поэтому(X) ∩Xi = X.Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть X D. Таким образом, с помощью мы построили систему замыканий D.3) Покажем, что соответствие D  взаимно однозначно.Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий, – оператор, определенный равенством (X) = ∩{Y D | Y X} для всех X A, и D ' – система замыканий, определенная оператором по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором по формуле (2), а ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{Y D | Y X}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ', и, следовательно,(X) = X '(X) = X. (3)В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что '(X) = (X). Но X (X) и, применяя ' получаем '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются. На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L. Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)i I в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ∩{Y D | Y Xi для всех i I} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi. |