БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ (2). Булевы функции
 Скачать 2.35 Mb.
|
|
Функциональная полнота систем булевых функций. Одно из основных требований к системе логических элементов, состоит в том, чтобы из элементов этой системы можно было построить любую логическую схему. Техническая задача отыскания такой системы элементов сводится к математической задаче определения набора функций, из которых методом суперпозиции можно получить любую функцию. Система булевых функций называется функционально полной, если произвольную булеву функцию можно представить суперпозицией функций этой системы. Для решения задачи были выделены пять классов булевых функций: - сохраняющие нуль – это функции равные нулю на нулевом наборе аргументов:  ;- сохраняющие единицу – это функции равные единице на единичном наборе:  ;- самодвойственные булевы функции на каждой паре противоположных наборов принимают противоположные значения:  ;- линейные булевы функции - это функции, которые можно представить линейным полиномом:  ,где  .Если значения каждого аргумента одного набора больше или равно значению того же аргумента второго набора, то говорят, что первый набор не меньше второго. Следует заметить, что не все наборы являются сравнимыми, например (1,0,1) и (0,1,0) не сравнимы. - монотонной булевой функцией называют функцию, у которой при любом возрастании набора аргументов значения функции не убывают. Известна теорема о функциональной полноте: для того чтобы система булевых функций была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы эта система включала: - хотя бы одну функцию, не сохраняющую нуль; - хотя бы одну функцию, не сохраняющую единицу; - хотя бы одну нелинейную функцию; -хотя бы одну немонотонную функцию; -хотя бы одну несамодвойственную функцию. В таблице показано, к каким классам относятся функции двух аргументов:
При рассмотрении таблицы можно выделить 44 функционально полных системы булевых функций: 2 – одно функциональных, 16 – двух функциональных, 23 –трех функциональных, 3 – четырех функциональных. Система функций, которая является функционально полной, называется базисом. Минимальным базисом называется такой базис, удаление из которого хотя бы одной функции превращает систему в неполную. В настоящее время используются три базиса - базис Шеффера, базис Пирса и булев базис, в котором содержатся три функции И, ИЛИ, инверсия. Заметим, что булев базис не является минимальным, т.к. из него можно удалить либо функцию И, либо функцию ИЛИ. Аналитическая запись булевых функций в базисе Пирса. Будем использовать следующее обозначение:  .Вспомним запись булевой функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме:  . Символ  означает, что дизъюнкция берется только для таких наборов  на которых функция равна единице:  . Попробуем записать эту функцию таким образом, чтобы оно содержало только функции Пирса и отрицания (отрицание также реализуется функцией Пирса:  ). Просуммируем конституенты единицы наборов, где функция равно нулю. Мы получили новую функцию, значения которой противоположны исходной функции, поэтому:  . Но последнее выражение есть не что иное, как функция Пирса:  . Однако конституенты единицы представляют собой конъюнкции переменных и от конъюнкций нужно также избавиться. Для этого преобразуем конституенты единицы:  .Таким образом, алгоритм перехода от табличного задания функции к аналитической записи в базисе Пирса таков: 1) выбрать в таблице все наборы аргументов, на которых функция равна нулю; 2) аргументы каждого из этих наборов объединяются функцией Пирса. Причем, если аргумент равен 1, то он записывается с отрицанием; если – 0, то без отрицания; 3) все полученные составляющие (термы) объединяются функцией Пирса. Пример:
Выбираем наборы 010, 101, 111;  ,  ,  ;3)  .По аналитической записи функции можно нарисовать схему её реализующую:           Запись функций в базисе Шеффера. Конституента нуля для набора записывается так: . Действительно, в силу определения конституенты нуля она равна нулю на этом наборе, следовательно все слагаемые в конституенте должны быть равны нулю. Отсюда следует правило, если в наборе аргумент равен единице, то в конституенту нуля он записывается с отрицанием, если нулю – без отрицания. Известно, что любую функцию можно записать в совершенной конъюнктивной нормальной форме в виде произведения конституент нуля. Однако ее можно записать и как инверсию функции  значения которой противоположны исходной функции:  Символы  ( ) обозначают, что конъюнкциями связываются конституенты нуля наборов на которых исходная функция равна нулю (единице). Действительно, если на наборе функция  равна единице, то можно указать для этого набора конституенту нуля равную нулю на этом наборе и единице – на остальных наборах. Конъюнкция этих конституент представляет собой новую функцию  равную нулю на тех наборах, где функция равна единице, т.е.  и  . Полученное выражение – это функция Шеффера над конституентами нуля:  . Для получения окончательной записи функции преобразуем конституенты нуля: Окончательное представление функции:  . Следовательно, алгоритм перехода от таблицы истинности к аналитической записи в базисе Шеффера таков:Выбрать в таблице все наборы аргументов на которых функция равна единице; Аргументы каждого из этих наборов связать операцией Шеффера, причем, если аргумент равен 1, то он записывается без отрицания, если нулю – с отрицанием. Все полученные выражения также связываются операцией Шеффера. Пример:
000, 010, 111;  ,  ,  ;  |
