Численные методы

• Название: Численные методы
• Дата: 25.12.2019
• Размер: 1.8 Mb.
• Имя файла: chislenie_metodi.doc
• Тип: Лабораторная работа; #102180
• страница: 73 из 158

Лабораторная работа № 4

Задание. Решить систему уравнений:



Порядок выполнения работы

1. 
   Ячейки A1:E4 заполнить следующим образом:
   

Рисунок 9 – Расширенная матрица системы

2. 
   Над данной системой выполнить элементарные преобразования, чтобы получить систему, у которой диагональные коэффициенты по модулю больше других коэффициентов соответствующей строки:
   
   • 
     Для того чтобы получить первое уравнение новой системы, нужно из второго уравнения первоначальной системы вычесть первое уравнение, т. е. в ячейку B7 ввести формулу =B3-B2 и протянуть ее до ячейки E7.
     
   • 
     Для того чтобы получить второе уравнение новой системы, нужно второе уравнение первоначальной системы сложить с первым уравнением, т. е. в ячейку B8 ввести формулу =B3+B4 и протянуть ее до ячейки E8.
     
   • 
     Для того чтобы получить третье уравнение новой системы, нужно из третьего уравнения первоначальной системы вычесть первое уравнение, т. е. в ячейку B9 ввести формулу =B4-B2 и протянуть ее до ячейки E9.
     
3. 
   Разделить каждое уравнение полученной системы на соответствующий диагональный коэффициент:
   
   • 
     В ячейку B12 ввести формулу =B7/$B$7 и протянуть ее до ячейки E12.
     
   • 
     В ячейку B13 ввести формулу =B8/$C$8 и протянуть ее до ячейки E13.
     
   • 
     В ячейку B14 ввести формулу =B9/$D$9 и протянуть ее до ячейки E14.
     

В результате получаем следующее:



Рисунок 10 – Алгебраические преобразования системы

4. 
   Последовательно из каждой строки выразить неизвестные x1, x2, x3:
   

В Excel данную картину можно изобразить следующим образом:



Рисунок 11 -

5. 
   Нужно определить метрику:
   
   • 
     Найти q для метрики  : 
     

- В ячейку B21 ввести q1.

- В ячейку В22 ввести формулу =ABS(C18)+ABS(C17).

- В ячейку В23 ввести формулу =ABS(D17)+ABS(D18).

- В ячейку В24 ввести формулу =ABS(E17)+ABS(E18).

Таким образом, максимальным из полученных значений является q1=0,449<1, т. е. подходит.

- В ячейку A22 ввести выражение q1=.

• 
  Найти q для метрики  : 
  

- В ячейку D21 ввести q2.

- В ячейку D22 ввести формулу =ABS(D17)+ABS(E17).

- В ячейку D23 ввести формулу =ABS(C18)+ABS(E18).

- В ячейку D24 ввести формулу =ABS(D18)+ABS(E19).

Таким образом, максимальным из полученных значений является q2=0,735<1, т. е. подходит.

- В ячейку C23 ввести выражение q2=.

• 
  Найти q для метрики  : 
  

- В ячейку F21 ввести q3.

- В ячейку F22 ввести формулу =D17^2+E17^2+C18^2+E18^2+C19^2+D19^2.

- В ячейку F23 ввести формулу =КОРЕНЬ(F22).

Таким образом, q3=0,533<1, т. е. подходит.

- В ячейку E23 ввести выражение q3=.

Проделанные вычисления представлены на рисунке:



Рисунок 12 – Метрика системы

Для дальнейших вычислений выбрать q минимальное, т. е. q=0,449, записать это значение в ячейку F26.

6. 
   В ячейку G26 ввести текст а=.
   
7. 
   В ячейку H26 ввести =0,001*(1-F26)/F26.
   
8. 
   Заполнить диапазон ячеек B28:I28 следующим образом:
   

Рисунок 13 -

9. 
   В ячейку B30 ввести формулу =$D$17*C29+$E$17*D29+$F$17.
   
10. 
    В С30 ввести =$C$18*B29+$E$18*D29+$F$18.
    
11. 
    В D30 ввести =$C$19*B29+$D$19*C29+$F$19.
    
12. 
    В E30 ввести =ABS(B30-B29).
    
13. 
    В F30 ввести =ABS(C30-C29).
    
14. 
    В G30 ввести =ABS(D30-D29).
    
15. 
    В H30 ввести =СУММ(E30:G30).
    
16. 
    В I30 ввести =ЕСЛИ(H30<=$H$26;"ответ").
    
17. 
    Выделить диапазон ячеек B30:I30 и методом протягивания заполнить нижние строки до получения слова "ответ" в одной из ячеек столбца I (диапазон ячеек B30:I35).
    

В конечном итоге получаем следующее:



Рисунок 14 -

Ответ: x₁=3.332, x₂ =3.561, x₃ =3.782.

Контрольные вопросы

1. 
   Метод итераций точный или приближенный?
   
2. 
   Как определяются значения стоящие в строках 7-9?
   
3. 
   Как определяются значения стоящие в строках 12-14?
   
4. 
   Как определяются значения стоящие в строках 17-19?
   
5. 
   Как находятся метрики по столбцам?
   
6. 
   Как определяется метрика?
   

Вариант
1	2 1 3	-1 2 -3	3 -1 -2	-7 4 1
2	2 1 2	2 -2 1	-3 1 2	0 6 2
3	2 3 1	-3 2 1	-1 1 3	3 1 -2
4	1 2 2	2 -3 1	1 -2 3	1 -3 2
5	4 1 1	5 3 1	2 3 -2	-3 0 1
6	2 1 2	-2 3 -1	-3 2 0	3 -1 2
7	1 2 1	-2 3 -1	1 -1 2	1 8 -1
8	4 2 1	-2 1 -2	1 1 3	-1 -7 2
9	3 1 1	-1 1 2	-3 2 0	1 0 -1
10	2 3 1	-1 2 -1	1 2 4	3 4 -2
11	1 1 2	4 -3 -5	-3 2 -1	-7 0 -1
12	3 2 1	2 1 4	-1 1 2	1 -1 -2
13	2 1 1	-3 1 2	-1 -2 1	0 -3 3
14	4 1 3	3 2 2	-1 1 2	0 -1 1
15	1 2 1	2 -3 1	1 -1 2	0 -3 1
16	1 2 3	2 -3 -1	1 -2 1	-1 0 4
17	3 -2 1	4 -4 5	1 1 1	2 1 0
18	2 3 1	1 -2 0	0 2 3	4 1 2
19	3 2 1	2 -1 3	2 1 3	3 1 5
20	2 1 3	3 -2 -1	1 3 -1	-3 1 7