ла слау. ЛА-СЛАУ-УсловияЗаданий-1. Дана Система Линейных Алгебраических Уравнений. Требуется решить её тремя способами 1) Решить её методом Гаусса (исключения неизвестных элементарными преобразованиями матрицы) Проверить решение
![]()
|
2. Пример Решения СЛАУ методом Крамера
По формулам Крамера значение переменной xi равно отношению соответствующего вспомогательного определителя к главному определителю системы: xi = Δi / Δ Выпишем матрицу коэффициентов СЛАУ, столбец правых частей и столбец неизвестных: (матрицы и столбцы ниже заключены в квадратные скобки)
Вычислим главный определитель системы = определитель матрицы коэффициентов разложением по первой строке:
= 1*(3*4 – (-2)*4) – 1*(2*4 – 3*4) + 5*(2*(-2) – 3*3) = = 1* (12 + 8) – 1*(8 – 12) + 5*( -4 – 9) = = 1*20 – 1*(-4) + 5*(-13) = 20 + 4 – 65 = - 41 = Δ = det A ≠ 0, следовательно СЛАУ имеет единственное решение (при любых правых частях), которое можно вычислить по формуле Крамера. Вычисление вспомогательных определителей и неизвестных. 1. Для вычисления Δ1 заменяем первый столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:
= 0*(3*4 – (-2)*4) – 1* (8*4 – 1*4) + 5*(8*(-2) – 1*3) = = 0 – 1*(32 – 4) + 5*(-16 – 3) = = –1*28 + 5*(-19) = -28 – 95 = -123 = Δ1 x1 = Δ1 / Δ = -123/-41 = 3 2. Для вычисления Δ2 заменяем второй столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:
= 1*(8*4 – 1*4) – 0*(2*4 – 3*4) + 5*(2*1 – 3*8) = = 1*(32 – 4) – 0 + 5*(2 – 24) = = 1*28 – 0 + 5*(-22) = = 28 – 110 = -82 = Δ2 x2 = Δ2 / Δ = -82/-41 = 2 3. Для вычисления Δ3 заменяем третий столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов и вычисляем определитель разложением по первой строке:
= 1*(3*1 – (-2)*8) – 1*(2*1 – 3*8) + 0*(2*(-2) – 3*3) = = 1*(3 +16) – 1*(2 – 24) + 0 = = 1*19 – 1*(-22) = = 19 + 22 = 41 x3 = Δ3 / Δ = 41/-41 = -1
Сравниваем с результатом решения СЛАУ методом Гаусса, видим совпадение. Всё в порядке. |