ла слау. ЛА-СЛАУ-УсловияЗаданий-1. Дана Система Линейных Алгебраических Уравнений. Требуется решить её тремя способами 1) Решить её методом Гаусса (исключения неизвестных элементарными преобразованиями матрицы) Проверить решение
![]()
|
3. Пример решения СЛАУ «матричным методом» (с использованием обратной матрицы). Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.Пусть дана СЛАУ A x = b. Если известна обратная матрица A-1 то решение получается по формуле x = A-1 b .
Обозначим матрицу, обратную к A через C: C = A-1, C = (cij).
Обратная к A матрица определяется равенство AA-1 = A-1A = AC = CA = E.
Для вычисления обратной матрицы к матрице коэффициентов надо вычислить все столбцы обратной матрицы. Запишем это равенство матриц в виде трёх равенств столбцов:
Получили три СЛАУ порядка 3*3 с одной и той же матрицей коэффициентов. Будем решать их одновременно методом Жордана-Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы (матрица коэффициентов и три столбца правых частей):
Прямой ход метода Гаусса: 1. Применим к матрице следующие элементарные преобразования: Прибавим ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на -2; прибавим к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на -3 (первая строка не меняется):
2. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование: прибавим к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 5: (первая и вторая строка не меняется):
Прямой ход метода Гаусса закончен. Матрица системы преобразована в верхнетреугольную, можно переходить к обратному ходу метода Гаусса. А можно продолжить элементарные преобразования матрицы и с целью превратить матрицу в единичную. Это называется методом Жордана-Гаусса. Итак, продолжим преобразования. Заметим, что первые два элемента на главной диагонали (случайно) оказались равны 1. Все элементы главной диагонали всегда можно сделать единичными, поделив каждую строку на её диагональный элемент. В данном случае 3. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование: третью строку поделим на -41:
4. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование: прибавим к 1-й строке 3-ю строку, умноженную на -5, чтобы обнулить 3-й элемент 1-й строки; первые два элемента 1-й строки не изменятся прибавим ко 2-й строке 3-ю строку, умноженную на 6, чтобы обнулить 3-й элемент второй строки; первые два элемента 2-й строки не изменятся Эти преобразования составляют специфическую (“Жорданову”) часть метода Жордана-Гаусса. Можно назвать её «обратным ходом» для матрицы коэффициентов.
5. Применим к получившейся матрице элементарное преобразование: прибавим к 1-й строке 2-ю строку, умноженную на -1: (третья и вторая строка не меняется):
Преобразования закончены. |