шпора по аналит геометрии и линейной алгебре. Действия над матрицами
 Скачать 5.1 Mb.
|
 28. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются. Через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми — это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой. Взаимное расположение прямой и плоскости –1. Прямая, все точки которой принадлежат плоскости, называется прямой, лежащей в плоскости. 2. Прямая и плоскость называются пересекающимися, если у них есть одна общая точка. 3. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. 4. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна данной плоскости. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.  29. Окружность. Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружностью радиуса Р с центром в точке М0 является множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М=Р.  - каноническое уравнение окружности.30. Эллипс. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называется фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса –  .31. Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Уравнение –  , где .  - асимптоты гиперболы.32. Парабола. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса ф до директрисы называется параметром параболы и обозначается через Р. Каноническое уравнение –  .33. Общее уравнение линий второго порядка. Уравнение линий с осями симметрии, параллельными координатным осям. Общее уравнение линий второго порядка –  . Уравнение всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0). 34. Общее уравнение второго порядка. Поворот осей координат. Уравнение –  Общее уравнение второго порядка определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу, параболу. Замечание: Если А=С, то уравнение теряет смысл. В этом случае систему координат следует повернуть на 45 градусов. Поворот осей координат – под поворотом осей координат понимают такой преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. Формулы поворота осей координат – . 35. Полярная система координат и уравнения кривых в этой системе. Полярная система координат – двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Уравнения кривых в этой системе: Четырёхлепестковая роза :  . Кардиоида -  . Спираль архимеда – .  36. Поверхности вращения. Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в её плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Оху. Уравнения этой кривой запишутся в виде .  37.Поверхности второго порядка. Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси. Поверхности второго порядка- это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. Как искать кривые второго порядка Пример 1Построить сферу, заданную уравнением.  Решение.Выделив полные квадраты, получим  Следовательно, центром сферы является точка M0(1;-2;1) , радиус сферы R=2. Для ее изображения построим сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке M0(1;-2;1) Пример 2 Построить кривую второго порядка, заданную уравнением 16x2-9y2-64x-54y-161=0 16x2-9y2-64x-54y=161 16(x2-4x+4)-64-9(y2+6y+9)+81=161 16(x-2)2-9(y+3)2=144 Делим на 144 (x−2)29 - (𝑦+3)2 16= 1 ----- (гипербола с центром в точке (2;-3)) Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной ос   Цилиндрической поверхностью или просто цилиндром называется всякая поверхность, которую можно получить движением прямой, перемещающийся параллельно некоторому вектору и все время пересекающей данную линию, которая носит название направляющей. Движущаяся прямая называется образующей. Примеры задач Задача 7.3. Какую поверхность определяет уравнение |