Диплом 2010 по математике Математика 57 pag

• Название: Диплом 2010 по математике Математика 57 pag
• Дата: 06.04.2022
• Размер: 3.48 Mb.
• Имя файла: docsity-zhivaya-geometriya.docx
• Тип: Диплом; #447844
• страница: 1 из 7

Живая геометрия диплом

2010 по математике

Математика


57 pag.

Document shared on www.docsity.com

ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Оглавление

Введение

Почему наш мир прекрасен? Почему формы и цвета живой природы не во всем соответствуют принципу биологической целесообразности, но во многом следуют общим закономерностям гармонии, выявляющимся путем строгого математического анализа? В свое время создатель теории эволюции — Чарльз Дарвин — предположил, что случайно появляющиеся в живой природе эстетические закономерности привлекают особей другого пола и закрепляются в последующих поколениях. При изучении природы мы находим в ней все больше эстетических признаков, которые выявляются, как правило, не сразу, но после детального математического анализа.

Исследования последних лет показали, что эстетически воспринимаемые формы живой природы большей частью связаны с неевклидовой симметрией, выявляемой, опять-таки, лишь после тщательного математического анализа. То же самое можно сказать и относительно пения птиц, совершенство форм которого можно оценить лишь после применения специальной записывающей аппаратуры. Другими словами — эстетически правильные формы являются гораздо более распространенными в природе, чем это может показаться на первый взгляд.

При использовании законов геометрии природы в новой ситуации, для изучения курсов предметов, связанных с геометрическими построениями, мы повышаем общую мотивацию к учению. В результате учащиеся заново переосмысливают изученные геометрические законы, развивают геометрическую интуицию.

Кроме того, в процессе выполнения творческих заданий различного содержания, ребята знакомятся с возможными сферами применения геометрических знаний (художниками, архитекторами, дизайнерами и т.д.). Это служит повышению интереса к предмету и осознанному выбору профиля обучения в старшей школе, а опыт и знания, приобретенные в процессе изучения компьютеризированного курса, расширяют геометрические представления учащихся и помогут при дальнейшем их обучении.

Целью нашей работы является изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности.

Для достижения этой цели следует решить ряд задач:

• 
  Изучить теоретические источники по проблеме;
  
• 
  Ознакомиться с сущностью геометрических законов и
  

основанных на них построениях;

• 
  Рассмотреть исторические аспекты геометрических законов и построений;
  
• 
  Изучить практическое преломление данной темы;
  
• 
  Проанализировать полученные сведения, дать рекомендации по практическому использованию «живой геометрии».
  

В данной работе используются следующие методы: анализ теоретических источников и разработка практических упражнений.

Объектом исследования является геометрия в живом мире.

Предметом изучения являются способы геометрических построений, соотносимые с геометрией в живом мире.

Гипотеза исследования такова: при создании специальных условий обучения с использованием «живой геометрии» наблюдается положительная динамика в мотивационной сфере школьников, в отношении к занятиям черчением и геометрическими построениями.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИЗЛОЖЕНИЯ

1.1 Краткий анализ литературы

«Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как эквиваленте уравновешенности и гармонии. В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемая фантазия и изобретательность художников и мастеров, чье творчество было ограничено жесткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире идеи симметрии нередко можно обнаружить в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Операции симметрии часто служат канонами, которым подчиняются балетные па: симметричные движения составляют основу танца... Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счете, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки или видам искусства. Помимо специализированных приложений принципы симметрии могут служить также для унификации и объединения обширного круга знаний» [30].

«Изучая внешнюю форму и строение кристаллов, законы механического движения, природу физических полей, элементарные частицы и их квантовомеханическое поведение, законы сохранения, строение растений, животных и человека, математические абстракции, реалии предметного быта, архитектуру, скульптуру, живопись, поэзию и музыку, человек везде стремился найти и находил упорядоченность, гармонию, пропорциональность, соразмерность, то, что он, в конце концов, обозначил одним понятием — симметрия. В это емкое понятие включаются и закономерное расположение в пространстве одинаковых материальных объектов, и упорядоченное изменение во времени различных звуков, и математические законы, и строго определенные изменения физических состояний и свойств частиц и полей» [27].

Приведенные высказывания подчеркивают необычайную широту применения понятия симметрии, его многоликость и всеобщность. Какие бы сферы человеческой деятельности (будь то наука или искусство) мы ни рассматривали, везде обнаруживается симметрия. Нет, пожалуй, таких сфер деятельности, где понятие симметрии не применялось бы.

Из сказанного выше следует, что симметрия является глобальным понятием. Естественно возникает вопрос о том, как может выглядеть глобальное (самое общее) определение данного понятия. Такое определение почти автоматически возникает, если мы обратимся к диалектическим категориям «изменение» и «сохранение». Почему эти категории называются диалектическими? Дело в том, что понятие сохранения оказалось бы попросту ненужным, если бы в мире вдруг исчезли изменения. Точно так же понятие изменения имеет смысл лишь постольку, поскольку можно наблюдать сохранение. Указанные понятия противоположны, но при этом имеют смысл лишь в сопоставлении друг с другом. Как принято говорить, они едины в своей противоположности. Именно в этом смысле мы говорим об их диалектическом единстве. Поставим вопрос: через какое понятие выражается диалектическое единство изменения и сохранения? Отвечаем: таким понятием как раз и является понятие симметрии, рассматриваемое в самом общем плане [29].

Итак, с общей точки зрения, симметрия есть понятие, выражающее диалектическое единство изменения и сохранения. Как отмечал Р. Фейнман, симметричным следует считать такой объект, «который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали» [25].

По выражению Н. Ф. Овчинникова, «единство сохранения и изменения — вот краткая формула симметрии, выявляющаяся на абстрактнотеоретическом уровне».

Можно говорить о следующей структуре понятия симметрии [9]:

• 
  есть объект, симметрия которого рассматривается (это может быть нетолько материальный объект, но также изображение, текст, нотное письмо, физическое или какое-либо иное явление, например танец);
  
• 
  есть изменение (преобразование), по отношению к которомурассматривается симметрия;
  
• 
  есть сохранение (неизменность) объекта или отдельных его свойствили сторон, которое и выражает рассматриваемую симметрию.
  

Коротко говоря, симметрия заключается в сохранении чего-то при каких-то изменениях. С симметрией мы встречаемся всякий раз, когда при каких-то изменениях что-то сохраняется. В этом смысле понятие симметрии оказывается, по сути дела, тождественным понятию инвариантности.

Уместно напомнить, что древние греки отождествляли симметрию с гармонией и что, по Пифагору, «гармония есть то, что приводит противоположности к единству». Правда, Пифагор не уточнял, о каких противоположностях идет речь. Судя по всему, он не собирался ограничиваться диалектическим единством изменения и сохранения, что и предопределяло нечеткость и расплывчатость понятия симметрии (как и понятия гармонии) [15;31].

Следуя идеям Ю. Вигнера, которые были изложены им в работах «Симметрия и законы сохранения» и «Роль принципов инвариантности в натуральной философии», выделим три уровня научного познания. Первый уровень (наиболее простой) — это уровень явлений (физических, химических, биологических и др.). Процесс познания начинается с данного уровня, т.е. с изучения и сопоставления разнообразных явлений, происходящих в окружающем нас мире. Это изучение позволяет обнаружить существование между различными явлениями тех или иных взаимосвязей, которые как раз и представляются нами как законы природы. Выявляя их, исследователь переходит на второй уровень познания — уровень законов природы. Анализ законов природы позволяет осуществить затем переход на третий уровень — уровень принципов симметрии (принципов инвариантности) [10].

Вигнер отмечал: «С весьма абстрактной точки зрения существует глубокая аналогия между отношением законов природы к явлениям, с одной стороны, и отношением принципов симметрии к законам природы — с другой... Функция, которую несут принципы симметрии, состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений... Законы природы позволяют нам предвидеть одни явления на основе того, что мы знаем о других явлениях; принципы инвариантности должны позволять нам устанавливать новые корреляции между явлениями на основании уже установленных корреляций между ними» [9].

Как подчеркивал Вигнер, мы просто были бы не в состоянии формулировать законы природы, если бы корреляции (взаимосвязи) между событиями (явлениями) не были инвариантными по отношению к пространственно-временным преобразованиям. Он писал: «Законы природы не могли бы существовать без принципов инвариантности. Если бы корреляции между событиями менялись день ото дня и были бы различными для разных точек пространства, то открывать законы природы было бы невозможно. Таким образом, инвариантность законов природы относительно сдвигов в пространстве и времени служит необходимой предпосылкой того, что мы можем открывать корреляции между событиями, т. е. законы природы» [10].

Вигнер говорил об определенной иерархии нашего знания об окружающем мире, имея в виду «переход с одной ступени на другую, более высокую — от явлений к законам природы, от законов природы к симметрии, или принципам инвариантности» [10].

Итак, глобальность понятия симметрии объясняется тем, что в иерархической лестнице познания симметрия представляет самую высокую ступень, характеризующуюся наибольшей степенью обобщения. В чем проявляется эта наибольшая степень обобщения? Выделим три момента [5]: 1) Симметрия помогает выделить в нашем столь изменчивом и динамичном мире различные инварианты (сохраняющиеся величины, определенные закономерности, своеобразные «опорные точки»);

2. 
   Симметрия позволяет найти и выделить общее в многообразиинаблюдаемых объектов и явлений;
   
3. 
   Симметрия ограничивает число возможных структур и возможныхвариантов поведения систем.
   

Возвращаясь еще раз к Вигнеру, отметим, что ученый указывал на двоякую роль принципов симметрии в научном познании [10].

Во-первых, они играют роль пробного камня при проверке справедливости тех или иных законов природы, степени их общности.

Во-вторых, принципы симметрии позволяют в ряде случаев непосредственно открывать новые законы, иначе говоря, предсказывать неизвестные ранее корреляции между явлениями.

Понятие симметрии проходит фактически через всю многовековую историю человечества, постепенно углубляясь. Оно обнаруживается уже у истоков человеческого знания; его широко и эффективно используют все без исключения направления современной науки. Закономерности, обнаруживаемые в неисчерпаемой в своем многообразии картине природных явлений, подчиняются принципам симметрии. Эти принципы играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке [25].

Но существует еще понятие фрактальной геометрии (геометрии неправильных форм).



Рисунок 1. Фрактальное дерево, смоделированное на компьютере.

То, как определил фракталы Бенуа Мандельброт, который первый сформулировал определение фрактала, довольно точно описывает его: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака это не сферы, горы - не конусы, берега - не окружности и кора дерева не является гладкой, и молния не движется по прямой.... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Набор масштабов измерения длин объектов неограниченно велик и способен обеспечить бесконечное число потребностей. Существование этих объектов бросает нам вызов, склоняя к изучению их форм. Этого избежал Евклид, оставив в стороне вопрос о том, как быть с бесформенным, как исследовать морфологию живого. Математики пренебрегали этим вызовом, более того хотели убежать от природы, изобретая теории, не связанные ни с чем, что бы мы могли увидеть или почувствовать» [19].

На рисунке 1 представлено фрактальное дерево, созданное с помощью компьютера английским ученым Майклом Бэтти. Каждая веточка дерева разделяется на две, чтобы в итоге создать фрактальный купол. Иллюстрация слева представляет шесть итераций или ветвлений. На тринадцатой итерации (иллюстрация справа) дерево приобретает уже более реалистические черты. Рекурсивное моделирование может генерировать различные разновидности деревьев с помощью изменения фрактального числа. Фрактальные деревья иллюстрируют тот факт, что фрактальная геометрия - мера изменений. Каждое разветвление дерева, каждый изгиб на реке, каждое изменение направления рынка - точка принятия очередного решения [19].