Лекции. Фактор времени в финансовокоммерческих расчетах
 Скачать 355.33 Kb.
|
|
Математическое дисконтирование Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки ( i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму: для простых процентов: PV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) = FV • (1 + n • i ) -1 = FV • kд, где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов. Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты. Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. Решение: Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов: PV = FV • 1 / (1 + t / T • i ) = 310'000 • 1 / (1 + 150 / 360 • 0,08) = 300'000 руб. PV = FV • kд = 310'000 • 0,9677419 = 300'000 руб. Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб. Для сложных процентов: PV = FV• (1 + i) -n = FV • kд, где kд – дисконтный множитель для сложных процентов. Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид: PV = FV • (1 + j / m) -m • n . Сущность потока платежей и основные категории До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей. Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п. Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными. Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом. При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории: член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа; период ренты (t) – временной интервал между членами ренты; срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода; процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента. Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки: В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году; срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года. По числу начислений процентов различают: ренты с начислением 1 раз в год; ренты с начислением m раз в год; непрерывное начисление. По величине членов ренты могут быть: постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами; переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами. По числу членов ренты они бывают: с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно; с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно. По вероятности выплаты ренты делятся на: верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита; условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события. По методу выплаты платежей выделяют обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо); ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо). Обобщающие характеристики финансовых потоков Обобщающими характеристиками финансовых потоков являются: наращенная сумма; современная величина потока платежей. Наращенная величина аннуитета Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег. Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.  Рис. 1. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i). Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:  где FVA – наращенная сумма ренты; R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа; i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты; n – срок ренты в годах, s n;i – коэффициент наращения ренты. Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета. Решение: Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:  Сумма взносов в течение 5 лет составит: P = n • R = 5 • 500 = 2'500 руб. Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна: I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб. Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2'021,55 руб. Для овладения методами математикой экономики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета. Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу. Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера: Расчет наращенной величины аннуитета:
* Взносы поступают в конце периода. Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета. Начисления процентов m раз в году Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:  где j – номинальная ставка процентов. Пример. Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально. Решение: В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:  Отсюда сумма начисленных процентов будет равна: I = FVA - P = 4'840,76 - 2'500,00 = 2'340,76 руб. Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов. Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:  Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:  На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования. Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз. Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:  Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:  Нерегулярные потоки платежей В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции. В таких случаях говорят о нерегулярных потоках платежей. Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа. Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию. Однако в ряде случаев можно применять следующую формулу:  Пример. По приведенным данным о денежных потоках рассчитать для каждого наращенную величину, если потоки имеют место в конце года. Процентная ставка 12% годовых.
Решение: Для решения данной задачи произведем прямой расчет наращенной суммы по каждому периоду, представив данные в виде таблиц. Наращение суммы для потока А:
Таким образом, наращенная сумма потока А через пять лет составит 1'325,21 рублей. Наращение суммы для потока В:
Для потока В наращенная сумма через пять лет составит 765,59 рублей. Если воспользуемся вышеприведенной формулой, то для потока А наращенная величина составит: FVA = 100 • (1 + 0,12)4 + 200 • (1 + 0,12)3 + 200 • (1 + 0,12)2 ++ 200 • (1 + 0,12)1 + 300 = 1'325,22 руб. для потока В наращенная величина составит: FVA = 200 • (1 + 0,12)4 + 200 • (1 + 0,12)2 + 200 = 765,58 руб. Таким образом, расчет по формуле для нерегулярных потоков платежей дает такой же результат, как и прямой счет. |