3.3.3 Упругое рассеяние заряженных частиц на ядрах. Ядерное взаимодействие При пролёте заряженной частицы вблизи ядра передача энергии ядру за счёт кулоновских сил будет невелика. Траектория частицы будет
3 2
1
ЛПИ, отн.ед.
20 40 60 80 100
R
m
, г/см
2 1
2 Рис. 3.23 Линейная плотность ионизации для протонов (140 МэВ, биологическая ткань) – 1; дейтронов (190 МэВ, НО) – 2
72 заметно отличаться от прямолинейной, но приближённо ив этом случае можно пользоваться выражением Бете - Блоха (стем отличием, что ч < я, передаваемый ядру импульс будет в я раз больше. я – заряд ядра Ze
– заряд падающей частицы я = A ∙ m p
). Отношение энергий, передаваемых при столкновениях частицы с ядром и электроном, равно
я
p
e
я
e
p
я
e
я
Z
A
m
Z
m
p
m
A
p
Z
dx
dE
dx
dE
2
;
m
2 2
:
2
:
2 2
2
. (3.57) Поскольку ядер в я раз меньше, чем электронов, то это отношение станет равным
3 10 4
1 2
p
e
m
m
, (3.58) те. вклад потерь энергии из-за столкновений с ядрами в общие потери энергии незначителен. Но эти столкновения вызывают рассеяние падающих частиц. Электроны претерпевают многократное рассеяние. Угол результирующего рассеяния (отклонения) α является статистической суммой малых углов отклонения при индивидуальных актах рассеяния. для малых углов отклонения) при индивидуальном рассеянии на угол определяется как
i
i
2 2
(взято по большому числу траекторий. Средний угол многократного рассеяния после прохождения в веществе
2
. Определяя α в веществе, можно оценить энергию частицы и её массу. В релятивистском случае я (для малых Θ;
v
M
p
я
я
). Потери энергии за счёт ядерного взаимодействия играют существенную роль только в случае сильно взаимодействующих частиц мезонов, протонов высоких энергий и т.п. α- и излучение в радиоактивных распадах практически не испытывает ядерных взаимодействий. Поскольку это короткодействующие силы, значит, частица должна приблизиться на расстояние 10
-12
см. Для ионизационных потерь аналогичное расстояние 10
-8
см. Поэтому для ядерных взаимодействий сечение взаимодействия я 10
-24
см, а для ионизационного торможения и 10
-16
см, откуда σ
я
/σ
и
≈ 10
-8
, те. только водном случае из 10 7
– 10 8
столкновений произойдёт ядерная реакция. Однако в ядерных соударениях частица теряет очень большую энергию, тогда как при столкновениях с атомом 35 – 60 эВ.
3.3.4 Тормозное излучение Любая заряженная частица, движущаяся с ускорением, излучает электромагнитные волны. При рассеянии кулоновским центром (ядром) масса ядра
N
M
и его заряд
e
Z
N
) частица массы
m
, заряда
e
и скорости
73 cv претерпевает отклонение и, значит, получает ускорение. В классической электродинамике показано, что заряд, испытывающий ускорение в течение времени dt излучает энергию dtadEemis2 3 2 c e 3 2 , (3.59) где c– скорость света a- ускорение. Так как mFa , то 2 m 1 emisdE. А это означает, что радиационные потери энергии наиболее существенны у самых лёгких частиц (электронов и позитронов. Для протонов при той же энергии эффект уже враз меньше. Релятивистский квантовый расчёт Бете и Гайтлера для потери энергии электроном на тормозное излучение показал E ) Z ln(183 Z n 4 я я т.c. rdxdEизлучторм , (3.60) где n – число атомов в 1 см вещества E – полная энергия излучающего электрона т 2 2 Отношение потери энергии на тормозное излучение к потерям энергии на ионизацию равно МэВ dE : ионизизлучтормdxdE. (3.61) Из этого отношения видно, что, например, в воздухе потери энергии на излучение сравнимы с потерями на ионизацию при кр ≈ 80 МэВ, тогда как, например, для свинца - при кр ≈ 10 МэВ. кр – это энергия, при которой потери на тормозное излучение будут равны потерям энергии на ионизацию (эту энергию называют критической. 3.3.5 Излучение Вавилова - Черенкова Невелики потери энергии на световое излучение Вавилова -
Черенкова, которое возникает при движении заряженной частицы в среде со скоростью, превышающей скорость света в этой среде. Заряженная частица, двигаясь внутри диэлектрика с постоянной скоростью, создаёт вдоль своего пути локальную поляризацию его атомов. Сразу же после прохождения частицы поляризованные атомы возвращаются в исходное состояние и излучают электромагнитные волны. При определённых условиях эти волны складываются и наблюдается излучение. Когда скорость частицы больше фазовой скорости света в среде, наблюдается эффект запаздывающей поляризации среды, в результате чего диполи ориентируются преимущественно вдоль направления движения частицы, и волны, испускаемые на различных участках, оказываются в фазе. Таким образом, в отдалённых точках будет
74 существовать результирующее поле, причём излучение будет наблюдаться под углом Θ относительно траектории частицы, при котором волны будут когерентны и образуют плоский волновой фронт. Диапазон относительных скоростей, при которых наблюдается излучение Вавилова-Черенкова
1 1
n
; n – показатель преломления,
c
v
). Вводе) мин = 1/1,33
= 0,75. Для электронов β > 0,75 выполняется при МэВ 1
1
(
2 2
c
m
E
e
e
. (3.62) Максимальный угол, под которым наблюдают излучение Вавилова-
Черенкова вводе) Поскольку n
1
cos
, а он не может быть больше 1, излучение может возникнуть только при наличии среды с n > 1 (т.к. β < 1). Пороговая скорость заряженной частицы для наблюдения эффекта Вавилова-
Черенкова: мин. Эффект нашёл применение для детектирования быстрых заряженных частиц, определения их скорости и направления движения. Эффект
Вавилова-
Черенкова в собственном, несколько суженном понимании этого названия состоит в том, что электрический заряд скажем, электрон, движущийся в среде с постоянной скоростью излучает электромагнитные волны с непрерывным спектром и со специфическим угловым распределением. При этом излучение на циклической частоте имеет место, только если скорость заряда превышает фазовую скорость света в рассматриваемой прозрачной среде
)
(
n
c
v
, те.
)
(
n
c
v
, (3.64) Рис . Формирование излучения Вавилова-Черенкова:
n
ct
- длина пути света за время
t
;
cos
n
ct
vt
- длина пути, проходимого зарядом (источником) зато же время
75 где ) ( n - показатель преломления света (на частоте ) в среде ( c - скорость света в вакууме. Упомянутая специфичность углового распределения излучения состоит в том, что волновой вектор излучаемых волн k образует со скоростью v угол , причем vnc) ( cos . (3.65) К результатам (3.64)-(3.65) можно прийти, используя принцип Гюйгенса каждая точка на пути заряда, движущегося равномерно и прямолинейно со скоростью v, служит источником сферической волны, испускаемой в момент прохождения через нее заряда (рис. 3.24). При условии (3.64) эти сферы имеют общую огибающую - конус с вершиной, совпадающей с мгновенным положением заряда, причем угол определяется выражением (3.65). Если пренебречь дисперсией, те. зависимостью n от , то угол одинаков для всех частот и излучение имеет резкий фронт, образующий конус с углом раствора 0 2 и зарядом (источником) в его вершине ( рис. 3.24) . Этот конус вполне аналогичен конусу Маха, характеризующему ударную волну, возникающую при сверхзвуковом движении источника пули, снаряда, самолета, ракеты) в воздухе или другой среде. При этом, конечно, роль фазовой скорости света ) ( ncv в выражениях (3.64) и (3.65) играет скорость ударной волны или звука u. Поскольку дисперсия звука, те. зависимость его скорости и от частоты обычно очень мала, гидродинамический (акустический) фронт на конусе Маха является резкими часто наблюдается (скажем, при пролете сверхзвукового самолета. Итак, излучение Вавилова-Черенкова - это электродинамический оптический) аналог давно известного (еще с прошлого века) акустического явления. Почему же оно было обнаружено и объяснено лишь около 80 лет назад Несомненно, это можно было сделать раньше, нов целом задержка неслучайна. Во-первых, для наблюдения эффекта ВЧ. в более или менее чистом виде нужно иметь пучок релятивистских или около- релятивистских заряженных частиц. Но такие пучки были получены лишь в е годы (достаточно сказать, что только в это время были построены первые ускорители. Во-вторых, в электродинамике в очевидном отличие от Рис. 3.25 К выводу уравнений сохранения энергии и импульса для процесса черенковского излучения.
76 гидродинамики и акустики) движение источников (зарядов) в первую очередь и чаще всего рассматривается в вакууме. Поскольку скорость частиц
v
всегда меньше скорости света с 10
см/с (гипотетических и по всей вероятности несуществующих сверхсветовых частиц — тахионов мы не касаемся, эффект Вавилова-Черенкова в вакууме невозможен. Здесь, правда, тоже нужны некоторые оговорки, нов общем - вполне понятно существовавшее в прошлом утверждение равномерно движущийся заряд не излучает. Рассмотрим теперь условия возникновения излучение движущейся заряженной частицы, пользуясь квантовыми представлениями об излучении. С квантовой точки зрения излучение света происходит порциями - фотонами. Фотон, как любая частица, обладает энергией
c
E
и импульсом
c
p
, которые даются соотношениями
c
E
,
k
v
T
v
E
p
c
c
c
c
2
,
n
c
v
c
, (3.66) где
- круговая частота фотона.
2
k
- волновой вектор,
n
- показатель преломления,
n
c
v
c
- скорость света в среде с показателем преломления Пусть заряженная частица c энергией
E
и импульсом
p
движется вдоль оси
z
со скоростью
v
ив некоторой точке траектории излучает фотон с энергией
c
E
под углом рис. 3.25).
При этом сама частица отклоняется от первоначального направления на угол
и ее энергия становится равной '
E
, а импульс '
p
. Напишем, пользуясь рисунком 3.25
, уравнения сохранения энергии и импульса для процесса излучения фотона
'
E
E
, (3.67)
k
p
p
'
. (3.68) Подставляя для энергии и импульса выражения (3.7) и (3.6) получаем
2
'
2 4
2 2
2 4
2
p
c
c
m
p
c
c
m
(3.69)
- закон сохранения проекции импульса на ось
z
,
cos cos
'
p
p
p
c
, (3.70)
- закон сохранения проекции импульса на ось, перпендикулярную оси
z
,
sin sin
0
'
p
p
c
. (3.71) Решение этой системы уравнений относительно
после несложных, но громоздких преобразований приводит к следующему окончательному результату
2 2
2 2
1 2
)
1
(
1
cos
c
v
mc
n
v
n
c
. (3.72) Как видно, квантовое выражение (3.72) для угла черенковского излучения отличается от "классической" формулы (3.65)
наличием дополнительного слагаемого, которое учитывает отдачу (изменение
77 импульса) частицы при излучении. Оценим, насколько важен этот член, например, при излучении фотона в видимом диапазоне (к примеру нм) в обычном стекле с 5 , 1 n. Заметим, что максимальные значения второго члена достигается для электрона, как самой легкой частицы и при скорости, близкой к порогу черенковского излучения ncv1 . Теперь легко оценить, что поправка к cos не превышает 2·10 -6 . Столь малой величиной всегда пренебрегают и для определения угла черенковского излучения используют формулу Из вышеизложенного следует, что объяснение излучения Черенкова весьма просто. Более того, оно имеет хорошо изученные аналоги в других областях физики волн и, могло быть предсказано за десятки лет до открытия. Так неужели никто до Тамма и Франка не догадался о возможности излучения "сверхсветового" заряда Оказывается, догадывались. Но эти работы были прочно забыты после создания А. Эйнштейном в 1905 году теории относительности. После работ Черенкова, Тамма и Франка начался лавинообразный рост числа экспериментальных и теоретических исследований в этой области. В частности, В.Л. Гинзбург создал квантовую теорию излучения "сверхсветового" заряда. Были разработаны новые методы регистрации элементарных частиц, использующие черенковское излучение. Признанием выдающейся роли Черенкова, Тамма и Франка в обнаружении и объяснении излучения заряда, движущегося в веществе с постоянной сверхсветовой скоростью, явилось присуждение им в 1958 году Нобелевской премии. 3.3.6 Излучение сверхсветовых источников в вакууме Уже достаточно давно был осознан тот факт, что равномерно движущийся источник, создающий поля возмущения в среде, может излучать направленные волны, если скорость источника превосходит скорость распространения волн в той среде, где движется источник. По- видимому, раньше всего это явление было рассмотрено в гидродинамике на примере волн, расходящихся от движущегося корабля. Позднее Эрнст Мах рассмотрел звуковые волны, порожденные снарядом, летящим со сверхзвуковой скоростью. Э. Мах показал, что эти волны распространяются в направлении, которое составляет со скоростью снаряда угол
, причем
v
u
cos
, где
u
- скорость звука
v
- скорость снаряда. Э. Маху даже удалось сфотографировать возникающую при этом коническую волну. Эти работы получили высокую оценку физиков того времени, что видно, в частности, из статьи А. Эйнштейна, посвященной памяти Э. Маха.
78 Исходя из аналогии [4], можно было бы предположить, что подобные явления имеют место в электродинамике, а именно, заряженное тело, движущееся со скоростью, превышающей скорость световых волн, становится источником излучения направленных электромагнитных волн. Однако осознание этого факта пришло значительно позднее. По-видимому, можно назвать несколько причин этого. Одна из причин заключается в том, что скорость света, как в пустоте, таки в преломляющей среде достаточно велика, поэтому трудно было представить себе материальное тело, скорость которого превышала бы скорость света. Возможно, по этой причине работа О. Хевисайда 1888 г, в которой такая возможность была рассмотрена, не привлекла внимание физиков. Другая причина заключается в том, что по теории относительности скорость материальных тел не может превышать скорость света. Поэтому сама возможность сверхсветовой скорости ставилась под сомнение. Однако в действительности теория относительности запрещает движение материальных тел со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, равную приблизительно 300 000 км∙с -1 . В преломляющей среде скорость света оказывается значительно меньше. Например, в стекле с показателем преломления 1,5 скорость света равна приблизительно 200 000 км∙с -1 . При достаточно большой энергии частицы ее скорость может превышать скорость света в среде и при этом оставаться меньше скорости света в пустоте. С полной ясностью это было осознано после работы И.Е. Тамма и ИМ. Франка, объяснившей результаты экспериментов Вавилова - Черенкова. В настоящее время теория излучения Вавилова - Черенкова разработана достаточно полно, возможно, полнее, чем теории аналогичных явлений в других областях физики (например, теория волн Маха. Это объясняется как практическим значением этого явления для физики высоких энергий, таки тем обстоятельством, что в гидродинамике и акустике рассмотрение подобных явлений оказалось значительно сложней из-за сильного влияния нелинейных процессов. Рис. 3.26 Отражение плоской волны, падающей на поверхность
79 В 1904 г. А. Зоммерфельд рассмотрел электромагнитное поле частицы, движущейся в пустоте со скоростью, превышающей скорость света. Он показал, что при этом возникает направленное излучение. Излучаемые волны распространяются под углом
к направлению скорости заряженной частицы, причем
v
c
cos
, где
c
— скорость света в пустоте, а
v
- скорость частицы. В следующем, 1905 г. была окончательно сформулирована специальная теория относительности. Движение материальных тел со сверхсветовой скоростью оказалось под запретом, и поэтому работа А. Зоммерфельда была надолго забыта. Тем не менее, вопрос о том, могут ли существовать источники излучения, скорость которых превышает скорость света в вакууме, оказался не таким простым.
По-видимому, первой моделью такого источника стала модель, рассмотренная О. Хевисайдом в книге "Электромагнитная теория, изданной в 1912 г. Модель Хевисайда. На рисунке
3.26 приведена иллюстрация из книги О. Хевисайда [4]. Горизонтальная линия, на которой расположены точки P,
A, Q, изображает плоскую идеально проводящую поверхность. На эту поверхность падает плоский волновой импульс, изображенный на рисунке справа. Падающий импульс соприкасается с плоскостью на отрезке РАQ. Направление распространения падающего импульса задается вектором X и составляет угол
с нормалью к плоскости. Область РАQ не стоит на месте, а движется вправо по идеально проводящей поверхности. Нетрудно видеть, что скорость
v
, с которой движется область РАQ, определяется равенством
sin
c
v
, (3.72) где
c
- скорость света в пустоте. Поскольку
1
sin
, то
c
v
, те. скорость движения области РАQ по плоскости равна или превышает скорость света в пустоте. В тоже время под действием падающей волны в области РАQ возбуждаются токи и заряды. Область РАQ перемещается вдоль поверхности со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, следовательно, эта область должна стать источником излучения Вавилова-Черенкова. Излучаемая волна показана в правой части рисунка. Направление, в котором эта волна распространяется, задается вектором
Y.
Нетрудно убедиться, что вектор
Y составляет с нормалью к границе раздела такой же угол
, как и вектор X, характеризующий падающую волну.
80 Таким образом, волна, излучаемая бегущим по поверхности пятном областью РАQ), есть отраженная волна. Ее, следовательно, можно рассматривать как излучение Вавилова - Черенкова от бегущей области стоками и зарядами, которая возникает на границе под действием падающей волны. Модель ИМ. Франка.Позднее ИМ. Франк [4] рассмотрел более общий случай источника, движущегося со сверхсветовой скоростью, принимая во внимание не только падающую и отраженную, но и преломленную волну. Отметим, что и О. Хевисайд, и ИМ. Франк рассматривали токи и заряды, наведенные падающей волной на границе раздела. Но падающая волна может также создавать токи и заряды в области, примыкающей к пятну РАQ и движущейся вдоль границы раздела. Эти объемные токи и заряды также представляют собой сверхсветовой источник. Ниже мы приведем пример ИМ. Франка. Рассмотрим импульс, составленный из плоских электромагнитных волн. Предположим, что электромагнитное поле отлично от нуля между двумя параллельными плоскостями, а в остальном пространстве обращается в нуль. Импульс распространяется в среде с диэлектрической постоянной 1 и падает на плоскую границу раздела со средой, у которой диэлектрическая постоянная равна 2 . Геометрия задачи изображена на рис. 3.27. Фронт падающей волны обозначен на рисунке цифрой 1. Угол падения импульса на границу обозначен через 0 . Скорость импульса впервой среде равна 1 1 cv . Нетрудно видеть, что область пересечения импульса с поверхностью раздела пятно - зайчик перемещается вдоль границы со скоростью 0 1 0 1 sin sin cvv (3.73) Эта скорость превышает скорость света в среде, а если 1 1 , то скорость перемещения пятна превышает скорость света в вакууме. Рис. 3.27 Отражение и преломление волн как эффект Вавилова -Черенкова. Геометрия задачи. 1 — падающая волна, 2 - отраженная волна, 3 - преломленная волна 81 Никакого противоречия со специальной теорией относительности здесь нет, поскольку пятно на границе раздела не является материальным телом - в каждый момент времени пятно создается различными участками фронта импульса. Этот импульс, тем не менее, наводит в области пятна реальные токи и заряды, и эта область наведенных токов и зарядов перемещается вдоль границы раздела вместе с пятном. Таким образом, получается движущийся источник излучения, скорость которого всегда превышает скорость света впервой среде. Такой источник должен давать излучение Вавилова - Черенкова. Фронт волны Вавилова - Черенкова, распространяющейся впервой среде, обозначен на рисунке цифрой 2. Угол ) ( 1 ChV между направлением распространения волны 2 и скоростью пятна определяется формулой vcChV1 ) ( 1 cos . (3.74) Подставляя в (3.74) значение скорости у из формулы (3.73), находим, что 0 0 1 1 ) ( 1 sin sin cos ccChV . (3.75) Нетрудно видеть, что волна 2 уходит от границы раздела, причем направление ее распространения составляет с нормалью к границе раздела угол 0 1 . Таким образом, волна 2 есть в точности отраженная волна, если импульс 1 является падающей волной. Рассмотрим теперь поле по другую сторону границы раздела, те. в среде с диэлектрической постоянной 2 . Пятно, бегущее вдоль границы раздела со скоростью, определяемой (3.73), может стать источником излучения во второй среде лишь в том случае, если скорость пятна превышает скорость света во второй среде, те. если выполняется неравенство 2 0 1 sin ccv . (3.76) В этом случае во второй среде возникает волна Вавилова - Черенкова, обозначенная на рисунке цифрой 3. Угол между направлением распространения этой волны и скоростью пятна определяется формулой 0 2 1 2 ) ( 2 sin cos vcChV. (3.77) Если обозначить угол преломления ) ( 2 2 ChV через 2 , то мы получим известное соотношение 2 2 0 1 sin sin . (3.78) Это есть нечто иное, как закон Снеллиуса. Таким образом, во второй среде излучение Вавилова-Черенкова от пятна образует преломленную волну. Если же скорость пятна оказывается меньше, чем скорость света во второй среде, те. 82 2 0 1 sin ccv , (3.79) то волна Вавилова - Черенкова во второй среде не образуется, и падающий импульс 1 во вторую среду не проходит. Очевидно, что неравенство эквивалентно условию полного внутреннего отражения 1 2 0 sin . (3.80) Таким образом, отражение и преломление волн на границе раздела можно рассматривать как излучение Вавилова-Черенкова от зарядов и токов, наведенных на поверхности раздела падающей волной. |
Скачать 1.96 Mb.