ТРЕБОВАНИЯ. лаб1сем для бакалавров Астахов, Грищенко Иванова Машанов (1). Федеральное агентство связи Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Сибирский
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
КОНТУРЕ 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1. Ознакомиться с физическими процессами, протекающими в электрическом контуре. 2. Исследовать влияние величин электроемкости и индуктивности на период колебаний в контуре с малым сопротивлением. 3. Установить характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура. 2. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Исследуемый контур состоит из конденсатора электроемкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора, имеющего сопротивление R. Схема соединения элементов электрической цепи приведена на рисунке 1. Простой контур, который здесь рассматривается, является электрической цепью со сосредоточенными параметрами. Это означает, что электроемкость С сосредоточена в одном месте (конденсаторе), а индуктивность L и сопротивление R- в других местах контура (в катушке и в резисторе). Электрическими колебаниями в таком случае выступают повторяющиеся изменения электрических величин, характеризующих процессы в элементах контура. В конденсаторе, например, изменяются со временем следующие величины: заряд q и напряжение между обкладками а также характеристики электрического поля конденсатора. 53 Электрические колебания (процессы) происходят во всех элементах цепи согласованно. А именно так, что мгновенные значения силы тока i одни и те же в любом месте контура. Подобное имеет место в цепи постоянного (стационарного) тока. Поэтому электрические процессы в колебательном контуре называются квазистационарными «квази»- приставка, означающая « якобы, как будто». Квазистационарные процессы также подчиняются закону Ома, что и постоянный ток. Для математического описания электрических процессов в контуре применим 2 закон Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС». В колебательном контуре имеются два падения напряжения: на конденсаторе , равное q/c, и на сопротивлении, равное iR. Использование закона Кирхгофа предполагает выбор направления тока в контуре. Такой выбор уже сделан на рисунке 1. В этом случае напряжение на конденсаторе противоположно по знаку падению напряжения на сопротивлении и 2-й закон Кирхгофа запишется в виде: (1) Сила тока по определению связана с зарядом конденсатора соотношением: или - так обозначается производная по времени. Подставив выражения для тока i и напряжения в формулу (1), получим дифференциальное уравнение в виде: После введения обозначений оно принимает вид: (2) В качестве решения этого дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим вначале функцию: (3) в которой , , , будем называть пока просто постоянными величинами. Первая и вторая производные этой функции равны Подставив выражения производных в уравнение(2) сократив на множитель , получим 54 где равенство нулю возможно для всех значений t тогда, когда коэффициенты при косинусе и синусе равны нулю, поэтому имеем: (4) Итак, функция является решением дифференциального уравнения (2) и называется уравнением затухающих колебаний. Амплитуда заряда на конденсаторе убывает со временем. Быстрота убывания определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Круговая частота затухающих колебаний определяется формулой ( 4). Так как есть действительное число и не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4): (5) Наконец, постоянные величины и определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен ( - величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть =0. На рисунке 2 показаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем, , а величины и одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда от времени. Эта зависимость называется еще экспоненциальной. 55 Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем уравнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде Так как , то после дифференцирования получим: Записав слагаемое как и складывая оба слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде: (6) где (см. соотношение 4), а есть сдвиг фаз между колебаниями заряда и тока. Полученный результат приводит к следующим заключениям: 1. Амплитуда тока в начальный момент времени не зависит от характеристик затухания. 2. В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой реализуется неравенство: . Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к - ( ) . Например, для графиков ( рисунок 2) отношения составляет 0,03 и 0,064. Соответственно этому Ψ отличается от на 3. Затухание влияет на частоту только во втором порядке. Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин с помощью соотношения: (7) При отношении =0,03 будет =0,02%, а при =0,064 отличие частот составит 0,2%. На рисунке 2 оба колебания выглядят как колебания, имеющие одинаковые частоты. В результате при слабом затухании уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так: (8) Отметим, что период колебаний определяется в этом случае известной формулой Томсона: Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно 56 (9) Вернемся еще раз к экспоненциальной зависимости , изображенной на рисунке 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение. Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно: N- число колебаний. Этим амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума к последующему ( t+T) одинаково. Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания: (10) С логарифмическим декрементом затухания связана (обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. ( Не путать с зарядом q). Она определяется следующим образом: , (11) то есть, чем меньше затухание, тем больше добротность. Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз ( 2,718- основание натуральных логарифмов). Заменив t на в выражении , получим , откуда Говорят - это величина, обратная времени релаксации Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10): ( Т- период колебаний). В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура L C R (12) 57 В качестве меры затухания можно использовать также число - число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации При малом затухании время больше периода колебаний. Поэтому имеем: так как Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по происшествии которых амплитуда уменьшается в раз. Добротность же прямо пропорциональная числу . Для колебания на рисунке 2 ( с коэффициентом затухания ) добротность равна Q=18. Исходя из формул (11) и (12), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании: C L R Q 1 (13) Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай «критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном , в котором величину называют критическим сопротивлением контура. Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них. 3. ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ 1. Вписать формулы, определяющие зависимость периода Т затухающих колебаний от параметров контура R, L, С. 2. Вывести формулу зависимости логарифмического декремента затухания от параметров контура в случае слабого затухания колебаний. 3. Рассчитать величины периода колебаний Т и логарифмического декремента затухания по формулам, найденным в п.1 и 2, приняв в качестве примера следующие значения параметров: R=15 Ом, L=20 мГн, С=20 нФ. Данные могут быть изменены преподавателем. 4. Ознакомиться с заданием лабораторного исследования (см. ниже) и составить таблицы записи результатов измерений и расчетов таким образом, чтобы можно было сравнить экспериментальные и расчётные данные. 58 4. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рисунке 1. Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рисунок 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С. В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов). Присоединение каждого элемента набора производится с помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R,L, С в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в « утопленном состоянии». Рисунок 4 Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляет отдельную таблицу. Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы. Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения 59 выглядит так, как показано на рисунке 4, то есть подобна графику колебаний заряда на конденсаторе из рисунка 2 ( ). Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее . Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно , где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рисунке 4 видно, что для N=3, то есть для трех периодов Т, число n равно 12. Величину отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. С основными органами управления осциллографом следует ознакомиться перед началом измерений. 5. ЗАДАНИЯ НА ЛАБОРАТОРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАСЧЕТЫ Задание 1 Определить сопротивление проводов намотки катушек индуктивности. 1. Включить источники напряжения и осциллограф. 2. Ввести в цепь контура конденсатор и наименьшей электроемкостью С, катушки индуктивности с индуктивностью в пределах L= (10÷100) мГн. Набор сопротивлений оставить выключенным. При этом цепь контура будет замкнутой, а сопротивление равно провода намотки включенных катушек индуктивности. 3. Получить на экране осциллографа такую осциллограмму, в которой можно выделить две амплитуды колебаний U, отличающиеся (по вертикальным делениям сетки) в 2,7 раза (число ). Затем отсчитывают интервал времени, разделяющий эти две амплитуды. В горизонтальных делениях сетки интервал равен – цена деления, n- число делений). А по смыслу затухания колебаний- это время релаксации . Итак, . 4. Используя обратную зависимость времени релаксации и коэффициента затухания: и обозначение в уравнении (2), получим формулу для расчета сопротивления : . Вычисления выполнить в системе единиц СИ. Задание 2 Исследовать зависимость периода затухающих колебаний от электроемкости и индуктивности колебательного контура. 2. Подготовить таблицу измерений 60 Таблица 1 Зависимость периода колебаний от электроемкости и индуктивности. № п/п С, нФ L, мГн N n , мс/дел t, мс T, мс LC , с Т теор , мс 1 2 3 4 5 3. Выполнение этого задания связано с отсчетом по осциллограмме некоторого количества N циклов (или периодов) колебаний. Если это трудно сделать по осциллограмме предыдущего задания, то следует изменить вид осциллограммы так, чтобы она приняла вид, как на рисунке 4. 4. Перемещая изображение в плоскости экрана, установить такое положение, которое удобно для отсчета N циклов колебаний внутри целого или полуцелого числа n клеток сетки по горизонтали. Записать значения параметров контура , L, С, а также N, n и . Вычислить период колебаний по формуле 5. Повторить измерения пункта 2 не менее 5-ти раз, постепенно увеличивая электроемкость С контура. Параметр L остается постоянным. Все записи величин С, N, n, заносить в одну таблицу 1. 6. При сопротивлении затухание колебаний мало. Поэтому для проверки зависимости периода Т от параметров контура следует построить график , предварительно рассчитав значения . 7. По формуле Томсона рассчитать теоретическое значение периода колебаний. Построить график зависимости для теоретического значения периода на том же листе, что и экспериментальный график. Сравнить графики. Задание 3 Исследовать зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура. 1. Подготовить таблицу измерений Таблица 2. Зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура № п/п R, Ом N U 0 , дел U N , дел экс теор Q экс Q теор 61 2. Установить одно из тех значений L и С, которые использовались в задании 2. Записать их значения в таблицу 2 вместе с величиной 3. Убедиться в том, что изображение графика колебаний симметрично относительно горизонтальной оси. Выбрать две далекие друг от друга амплитуды колебаний . Отсчитать число циклов колебаний N между ними. Используя деления вертикальной оси сетки, измерить величины амплитуд . Записать значения в таблицу 2. 4. Увеличить прежнее сопротивление путем включения наименьшего сопротивления из набора сопротивлений. Общее сопротивление записать в таблицу 2. Повторить измерения до 5-ти раз, постепенно увеличивая общее сопротивление и записывая новые значения R, N, 5. Вычислить для всех значений R логарифмический декремент затухания по формуле . Данные расчета занести в таблицу 2. 6. Построить график зависимости от сопротивления: 7. По формуле (12) определить теоретические значения . На одном листе с экспериментальным графиком построить график для теоретических значений логарифмического декремента затухания. Сравнить графики. 8. Определить экспериментальные (по формуле (11)) и теоретические по формуле (13)) значения добротности. Сравнить их между собой. 9. Сделать выводы по проделанной работе. 6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. За какое время изменения тока в катушке индуктивности передается к сопротивлению контура, если длина соединительного провода равно 0,1 м? Оценить при этом наибольшую возможную частоту колебаний в электрическом контуре. 2. Какие физические законы описывают процессы, протекающие в колебательном контуре? 3. В чем состоит отличие дифференциального уравнения свободных колебаний в реальном электрическом контуре о такого же в идеальном контуре? 4. Как найти вид уравнения затухающих колебаний для напряжения на индуктивности контура? 5. От чего зависит быстрота уменьшения амплитуды напряжения на сопротивлении R контура? Изобразить закономерность графически. 62 6. Какой промежуток времени колебаний называется временем релаксации? Зависит ли время релаксации от сопротивления контура? 7. Какая закономерность затухающих колебаний выражается с помощью логарифмического декремента затухания? Каков физический смысл этой величины ? 8. Какова зависимость добротности электрического контура Q от параметров R, L, С? 9. Какие формулы подтверждают зависимость: а) Т от , б) ? Согласуются ли они с графиками, полученными опытным путем? 7. ЗАДАЧИ (нумерация задач: первая цифра- номер бригады, вторая цифра- номер задачи) 1.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 444 пФ и катушки с индуктивностью 4 мГн. На какую длину волны настроен контур? (2511 м). 1.2. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре меняется по закону U = 10 cos 10 4 t (В). Емкость конденсатора 10 мкФ. Найти индуктивность контура и закон изменения силы тока в нем. (10 -3 Гн; -sin 10 4 t (А)). 2.1. На какой диапазон длин волн можно настроить колебательный контур, если его индуктивность 4 мГн, а емкость может меняться от 34 пФ до 266 пФ? (от 695м до 1943 м). 2.2. Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону I=0,1 sin 10 3 t (А). Индуктивность контура 0,01 Гн. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе и его емкость. (- cos 10 3 t (В); 10 -4 Ф). 3.1. Конденсатору емкостью 4 мкФ сообщают заряд 10 мкКл, после чего он замыкается на катушку с индуктивностью 10 мГн. Чему равна максимальная сила тока в катушке? (50 мА). 3.2 Найти отношения энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени Т\8. (1). 4.1. Изобразить схему колебательного контура с двумя параллельно соединенными конденсаторами. Электроемкость одинакова. Как изменится частота колебаний, если один конденсатор отсоединить? (увеличится). 4.2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности 25 мГн, конденсатора электроемкостью 10 мкФ и резистора сопротивлением 1 Ом. Определить период колебаний контура и логарифмический декремент затухания. (31,4 мс; 6,3 10 -3 ). 5.1. Логарифмический декремент затухания электрического контура δ = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за время одного колебания заряда? (1,22). 63 5.2 В электрическом контуре с малым сопротивлением число колебаний за время релаксации равно Найти величину коэффициента затухания , если частота колебаний равна (127,3 с -1 ). 6.1. Измеренные с помощью осциллограммы период колебаний и время релаксации соответственно равны: . На сколько процентов убывает амплитуда энергии за период колебания? (8%). 6.2. Изобразить схему колебательного контура с двумя последовательно соединенными катушками индуктивности. Сопротивления и индуктивности у них одинаковы. Резисторов в цепи контура нет. Во сколько раз изменится добротность контура, если одну катушку отсоединить? (2 -1\2 ). |