Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев.. Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный

• Название: Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный
• Дата: 03.03.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев..pdf
• Тип: Практикум; #381547
• страница: 2 из 6

Определение волнового пакета
Монохроматическая волна, представляющая собой либо плоскую волну, либо сферическую волну, которая включают в себя одну частотную компоненту, является физической абстракцией.
В реальных условиях с распространением любого волнообразного процесса связано распространение волнового пакета, состоящего из группы волн, которые близки по своей длине и направлению распространения. Простейшим примером группы волн может являться импульс света, который можно сформировать с помощью затвора, открываемого на ограниченный промежуток времени t

. Пространственные размеры импульса света будут определяться расхождением пучка лучей после прохождения отверстия, закрываемого затвором.
В том случае, если затвор остается открытым в течение времени, при котором пространственная длина импульса света с t

будет много больше диаметра пучка, то можно полагать, что это одномерный случай, так как изменение импульса в направлении, перпендикулярном направлению распространения, не происходит.
В общем случае импульс является трехмерным. Его пространственная длина определяется скоростью распространения, а диаметр определяется размером отверстия затвора.
Другим примером волнового пакета является распространение группы частиц, каждая из которых будет формировать монохроматическую волну. Эти волны будут близки по своей длине и направлению распространения.
Волновая функция волнового пакета
Если рассматривать волновой пакет, состоящий из плоских волн, то волновую функцию волнового пакета можно построить интегрированием плоской волны по малой области длин волн


или

14 волновых чисел
k

:





k
k
k
k
ikx
ikx
e
x
kx
sin
2
dk
e
)
x
(




. (1.27)
Для получения пакета общего вида экспоненциальный член умножается на весовую функцию
f(k). Применение весовой функции эквивалентно интегрированию по заданной области волновых чисел:






dk
e
)
k
(
f
)
x
(
ikx

. (1.28)
Для полной волновой функции волнового пакета можно записать:







dk
e
)
k
(
f
)
t
,
x
(
)
t
kx
(
i


. (1.29)
Моделирование волнового пакета
Пусть значение весовой функции
f(k) задано в виде графика:
0 2
4 6
8 10 0
0.5 1
1.5 2
2 0.01

f k
( )
10 0
k
Рис. 1.3. График весовой функции
Аналитическая запись функции
f(k) имеет вид
.
4
k
,
0
k
для
,
0
4
k
0
для
,
1
)
k
(
f









15
Тогда выражение для волновой функции волнового пакета запишется:



4
0
)
t
kx
(
i
dk
e
)
t,
x
(


Для построения графика этой волновой функции воспользуемся постоянными

и
t для волновой функции свободной частицы, полученными ранее, но изменим значение
x:
10
..
125
.
0
,
0
:
x

Построим графики действительной части волновой функции волнового пакета для моментов времени
t
1
и
t
2
:
0 2
4 6
8 10 4

2

0 2
4
Re
 x t
1

 


Re
 x t
2

 


0
x
Рис. 1.4. Графики изменения действительной части волновой функции волнового пакета от пространственной координаты и времени
На основании проведенных в лабораторной работе исследований можно сделать следующие выводы, что уравнение
Шредингера, описывающее процесс движения квантово-

16 механических объектов, отражает распространение волнообразного процесса в пространстве и во времени.
В случае движения одной частицы волнообразный процесс определяется распространением монохроматической бегущей волны, что иллюстрируется соответствующими графиками волновой функции. При этом изменение момента времени в выражении волновой функции приводит к смещению графика волновой функции в положительном направлении оси координат.
В случае движения совокупности квантово-механических частиц, волнообразный процесс отражает распространение волнового пакета, представляющего собой распространение группы волн, близких по значению длины волны и фазы. Изменение момента времени также приводит к смещению волновой функции группы волн в направлении распространения.
Вопросы для самостоятельной работы
1. Какой физический смысл имеет решение уравнения
Шредингера для свободно движущейся частицы?
2. Что такое бегущая волна?
3. Вид волновой функции для частицы, распространяющейся в произвольном направлении.
4. Уравнение Шредингера для стационарного случая.
5. Что такое волновой пакет?
6. Физические условия формирования волнового пакета.
7. Что такое фазовая и групповая скорости?
8. Скорость перемещения энергии волнового пакета.
9. Что такое волна де-Бройля?

17
Лабораторная работа №2
ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
СИЛ. ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
Определение потенциального барьера
Одной из разновидностей движения частиц в поле потенциальных сил является движение частиц через потенциальный барьер.
Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия изменяется либо скачком, либо по какому-то закону. Потенциальный барьер означает, что силы действуют на частицу в некоторой области пространства. Вне этой области частица движется свободно.
Бесконечно протяженный потенциальный барьер характеризуется равенством нулю потенциальной энергии частицы, находящейся вне потенциального барьера. Если частица находится внутри потенциального барьера, ее потенциальная энергия равна бесконечности.
Для конечных потенциальных барьеров потенциальная энергия частицы внутри этого барьера равна конечному значению.
Физическими примерами движения микрочастиц через потенциальный барьер является движение электронов через границу раздела двух полупроводников с различными типами электропроводности, прохождение микрочастиц через тонкие пленки.
Прохождение микрочастиц (квантово-механических частиц) через потенциальный барьер существенно отличается от прохождения классических частиц.
В классической механике частица, двигающаяся вне области потенциального барьера и с энергией меньшей энергии

18 потенциального барьера, при приближении к потенциальному барьеру полностью отражается от него. В этом случае область потенциального барьера является полностью недоступной для частицы, так как в этой области полная энергия частицы меньше энергии потенциального барьера.
Квантово-механическая частица, двигающаяся по законам квантовой механики, с определенной вероятностью может проникнуть в область потенциального барьера даже при полной ее энергии меньшей энергии потенциального барьера.
Если полная энергия классической частицы будет больше энергии потенциального барьера, частица беспрепятственно проходит через потенциальный барьер. При этом ее энергия в области потенциального барьера будет меньше на величину энергии потенциального барьера.
Для квантово-механической частицы и в этом случае имеется вероятность отражения частицы от потенциального барьера.
При равенстве энергии частицы и энергии потенциального барьера классическая частица пройдет в область потенциального барьера. Однако кинетическая энергия частицы в этом случае в области потенциального барьера будет равна нулю.
Для квантово-механической частицы коэффициент отражения будет равен единице.
Уравнение Шредингера для частицы, двигающейся
через потенциальный барьер
Рассмотрим движение частицы, имеющей энергию
E и двигающейся вдоль оси
x к потенциальному барьеру с энергией U
0
(рис. 2.1).

19
Рис. 2.1. Движение частицы через потенциальный барьер
Потенциальный барьер в этом случае задается в виде






.
0
x
,
0
,
0
x
,
U
)
x
(
U
0
(2.1)
Для частицы, двигающейся через потенциальный барьер в направлении оси
x, уравнение Шредингера запишется:
0
)
x
(
)]
x
(
U
E
[
m
2
)
x
(
dx
d
2
2
2






. (2.2)
Обозначим волновую функцию для области вне потенциального барьера как
)
x
(
1

и волновую функцию в области потенциального барьера как
)
x
(
2

, получим уравнение Шредингера для области вне потенциального барьера и для области потенциального барьера:
0
)
x
(
E
m
2
)
x
(
dx
d
1
2
1
2
2





, (2.3)
0
)
x
(
)
U
E
(
m
2
)
x
(
dx
d
2
0
2
2
2
2







. (2.4)
Введем обозначения:
E
m
2
k
2
2
1


,
)
U
E
(
m
2
k
0
2
2
2



. (2.5)
Тогда уравнения перепишутся:

20
0
)
x
(
k
)
x
(
dx
d
1
2
1
1
2
2




, (2.6)
0
)
x
(
k
)
x
(
dx
d
1
2
2
1
2
2




. (2.7)
Решение этих уравнений имеет вид
x
ik
1
x
ik
1
1
1
1
e
B
e
A
)
x
(




, (2.8)
x
ik
2
x
ik
2
2
2
2
e
B
e
A
)
x
(




, (2.9) где
A
1
,
A
2
,
B
1
,
B
2
– постоянные интегрирования. Для определения постоянных интегрирования исследуется поведение волновой функции на границе области
x=0.
Слагаемые, содержащие положительные экспоненты, определяют плоские волны, распространяющиеся в положительном направлении оси
x – падающие волны.
Слагаемые, содержащие отрицательные экспоненты, определяют плоские волны, распространяющиеся в обратном направлении оси
x – отраженные волны.
Величина
A
1
является амплитудой падающей волны. Зададимся значением этой амплитуды, равной единице
A
1
=1.
Так как в области потенциального барьера какие-либо препятствия распространению волны отсутствуют, то в этой области амплитуду отраженной волны можно приравнять к нулю
B
2
=0.
Волновая функция и ее производные должны оставаться непрерывными, даже в точках разрыва потенциальной энергии:
)
0
(
)
0
(
2
1



,
)
0
(
)
0
(
2
1





. (2.10)
Подставляя граничные условия в решения уравнения
Шредингера, получим:
2
1
A
)
0
(


,
1
2
B
1
)
0
(



,
1
1
1
1
B
ik
ik
)
0
(




,
2
2
2
A
ik
)
0
(



. (2.11)

21
Подставляя эти значения в граничные условия и решая систему уравнений, получим:
2
1
2
1
1
k
k
k
k
B



,
2
1
1
2
k
k
k
2
A


. (2.12)
Из этих выражений видно, что коэффициент
B
1
, характеризующий амплитуду отраженной волны от потенциального барьера, будет отличен от нуля. Это обусловлено волновыми свойствами микрочастиц.
Коэффициенты отражения и прозрачности
Вероятность нахождения частицы в том или ином месте пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны де-Бройля. Тогда коэффициенты отражения и прохождения частицы через потенциальный барьер будут определяться значениями потоков, которые являются квадратичными величинами амплитуд.
Плотности потоков, падающего на потенциальный барьер
j
0
, отраженного от барьера
j
R
и прошедшего через барьер
j
D
, определятся как



















2
2
1
2
1
2
2
2
2
D
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
R
1
2
1
1
0
)
k
k
(
k
4
m
k
A
m
k
j
)
k
k
(
)
k
k
(
m
k
B
m
k
j
m
k
A
m
k
j






. (2.13)
Откуда коэффициенты отражения и прозрачности определяются:
2
2
1
2
2
1
0
R
)
k
k
(
)
k
k
(
j
j
R




, (2.14)

22
2
2
1
2
1
0
D
)
k
k
(
k
k
4
j
j
D



, (2.15) или для коэффициента преломления можно записать:
2
1
2
2
A
A
n
D

, (2.16) где
2
1
n



– коэффициент преломления волн де-Бройля.
Туннельный эффект
Если энергия потенциального барьера превышает полную энергию частицы
E
U
0
 , то волновое число в области потенциального барьера будет мнимым:
ik
)
U
E
(
m
2
k
2
0
2




, (2.17) где величина
k запишется:
2
0
)
E
U
(
m
2
k



. (2.18)
Волновые функции вне потенциального и в области потенциального барьера запишутся:
x
ik
1
1
x
ik
x
ik
1
x
ik
1
1
1
1
1
e
ik
k
ik
k
e
e
B
e









, (2.19)
kx
1
1
x
ik
2
2
e
ik
k
k
2
e
B
2





. (2.20)
Коэффициент отражения в случае мнимого волнового числа запишется
1
)
ik
k
(
)
ik
k
(
R
2
1
2
1




. (2.21)
Хотя отражение является полным, поскольку коэффициент отражения равен единице, квадрат волновой функции в области

23 потенциального барьера будет отличен от нуля
kx
2
2
1
2
1
2
2
e
)
ik
k
(
k
4
)
x
(




. (2.22)
Это характеризует возможность прохождения частицы через потенциальный барьер. Проникновение частицы в область запрещенных энергий представляет специфический квантовый эффект, который получил название
туннельного эффекта. Глубина проникновения частицы определяется уменьшением плотности вероятности на величину экспоненты:
k
1
x


. (2.23)