Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев.. Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный

• Название: Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный
• Дата: 03.03.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев..pdf
• Тип: Практикум; #381547
• страница: 5 из 6

Расчет концентрации неравновесных носителей заряда
контакта двух полупроводников
Неравновесный режим контакта двух полупроводников создается приложением внешнего напряжения. В том случае, если внешнее напряжение увеличивает потенциальный барьер, то такое напряжение, совпадающее по полярности с контактной разностью потенциалов, получило название
обратного напряжения.
В том случае, если приложенное внешнее напряжение снижает величину потенциального барьера, это напряжение противоположно по полярности контактной разности потенциалов и получило название
прямого напряжения.
Увеличение потенциального барьера при приложении обратного внешнего напряжения препятствует переходу подвижных носителей заряда через область контакта (рис. 4.5). Поэтому существование неосновных носителей зарядов – электронов в
p-области и дырок в
n-области будет определяться собственной проводимостью полупроводников.
Рис. 4.5. Структура контакта двух полупроводников при приложении обратного напряжения

49
Приложение обратного напряжения приводит к изменению уровней Ферми в
p- и n-областях полупроводников.
Приложение к контакту двух полупроводников прямого напряжения снижает потенциальный барьер и уменьшает ширину области, обедненной подвижными носителями заряда (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Структура контакта двух полупроводников при приложении прямого напряжения
В этом случае неосновные носители заряда могут инжектироваться в соответствующие области. Электроны могут инжектироваться в
p-область, а дырки в n-область за счет приложенного внешнего напряжения. В каждой из областей эти носители зарядов являются неравновесными.
Приложение прямого напряжения приводит к повышению уровня Ферми для электронов в
n-области, что приводит при выравнивании энергии электронов с энергией потенциального барьера к инжекции электронов в
p-область.
Аналогичные явления происходят и с дырочными носителями заряда в
p-области. При этом необходимо учитывать, что отсчет энергии для электронов осуществляется в направлении зоны проводимости, а для дырочных носителей зарядов отсчет энергии осуществляется в направлении валентной зоны.

50
Для расчета концентрации неравновесных носителей заряда воспользуемся выражением для контактной разности потенциалов:
po
no
k
p
p
ln
e
T
k





(4.19)
Воздействие на контакт двух полупроводников прямого напряжения будет определять появление неравновесных дырок в
n-области
po
n
k
p
p
ln
e
T
k
u






(4.20)
Сделав преобразования, получим:
po
n
k
p
p
ln
)
u
(
T
k
e






(4.21)
Логарифмируя это выражение, получим для концентрации неравновесных носителей заряда:









)
u
(
T
k
e
exp
p
p
k
po
n

. (4.22)
Аналогично, для электронов в
p-области.









)
u
(
T
k
e
exp
n
n
k
no
p

. (4.23)
Расчет ширины области обеднения
При контакте двух полупроводников в приконтактной области формируется объемный заряд ионизированных доноров и акцепторов.
В равновесном состоянии и при приложении обратного напряжения в этой области отсутствуют подвижные носители заряда, и эту область можно рассматривать как поляризованный диэлектрик. Для расчета протяженности этой области используем уравнение Пуассона, которое устанавливает связь между объемным зарядом в какой-либо области и распределением потенциала в этой области:

51






2
,
(4.24) где

– распределение потенциала в области контакта;

– объемная плотность заряда в контактной области;

– диэлектрическая проницаемость полупроводника;
2
 – оператор Лапласа.
Полагая, что изменение объемной плотности заряда в контактной области происходит только в направлении оси
x, то уравнение Пуассона запишется:
)
x
(
1
)
x
(
dx
d
2
2





(4.25)
Решение этого уравнения будет иметь вид
 







x
0
x
0
dx
dx
)
x
(
1
)
x
(



(4.26)
Для вычисления интеграла необходимо знать распределение объемного заряда в приконтактной области. Для этого рассмотрим два случая – резкий переход со скачкообразным распределением примесей и линейный переход с непрерывным распределением примесей.
В приконтактной области, имеющей протяженность
d, объемная плотность заряда будет определяться ионизированными атомами доноров и акцепторов:














0
x
2
d
при
N
e
0
x
2
d
при
N
e
)
x
(
d
a

, (4.27)
Учитывая, что в приконтактной области значение потенциала будет определяться суммой контактной разности потенциалов и приложенного обратного напряжения, для интегрального выражения
(4.26) можно записать:

52
 
 



















2
d
0
x
0
d
0
2
d
x
0
a
k
dx
dx
N
e
1
dx
dx
)
N
e
(
1
u



. (4.28)
Произведя интегрирование, получим:
)
N
N
(
8
d
e
u
d
a
2
k







(4.29)
Отсюда ширина обедненной области определится как
2
1
d
a
k
)
N
N
(
e
)
u
(
8
d














(4.30)
Расчет барьерной емкости контакта двух полупроводников
Образование объемного заряда ионизированных доноров и акцепторов в приконтактной области при приложении обратного напряжения будет определять барьерную емкость контакта двух полупроводников. Диэлектриком этой емкости будет являться область, обедненная подвижными носителями заряда, а пластинами –
области полупроводников с электронной и дырочной проводимостью.
Для контакта двух полупроводников с резким изменением концентрации примесей эту емкость можно рассматривать как плоский конденсатор, у которого площадь пластин
S, а расстояние между ними
d:
d
S
C



,
(4.31) где
C – барьерная емкость.
Подставляя в это выражение значение
d из (4.30), получим:
2
1
d
a
k
)
N
N
(
e
)
u
(
8
S
C


















(4.32)
После дополнительных преобразований получаем выражение для барьерной емкости:

53
2
1
k
d
a
)
u
(
8
)
N
N
(
e
S
C















,
(4.33) где
S – площадь контакта двух полупроводников.
Лабораторное задание
Для расчетов использовать данные, приведенные в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Электрофизические параметры кремния
Материал Si
Концентрация основных носителей донорной примеси, см
-3 10 18
Концентрация основных носителей акцепторной примеси, см
-3 10 16
ΔЕ
g
, эВ 1,12
E
c p
= E
c n
, эВ 4,2
E
v p
= E
v n
, эВ 3
E
Fn p
, эВ 3,92
E
Fp p
, эВ 3,2
E
Fn n
, эВ 4,11
E
Fp n
, эВ 3,8
Диэлектрическая проницаемость (ε) 12 m
n
/m 0,55 m
p
/m 0,37
Температура, К 300
Примечание: в таблице m= 9.1·10
-31
кг – масса свободного электрона.
1. Рассчитать значения равновесных концентраций электронных и дырочных носителей заряда в приконтактной области.
2. Рассчитать значения энергии Ферми для носителей зарядов в приконтактной области.

54 3. Рассчитать значение контактной разности потенциалов и высоту потенциального барьера в приконтактной области.
4. Рассчитать и построить графики значений концентраций неравновесных носителей заряда от приложенного напряжения к контакту двух полупроводников.
5. Рассчитать и построить график изменения значения ширины обедненной области от приложенного напряжения к контакту двух полупроводников.
6. Рассчитать и построить график значения барьерной емкости от приложенного напряжения.
Вопросы для самостоятельной работы
1. Физические процессы в контакте двух полупроводников в равновесном состоянии.
2. Прямое и обратное напряжения в контакте двух полупроводников.
3. Физические процессы в контакте двух полупроводников при приложении прямого и обратного напряжений.
4. Что такое равновесные и неравновесные носители заряда?
5. Что является областью контакта и какова ее протяженность?
6. Физический смысл барьерной емкости.

55
Лабораторная работа №5
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИ КОНТАКТЕ ДВУХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Расчет диффузионной длины носителей зарядов контакта
двух полупроводников
Приложение прямого напряжения к контакту двух полупроводников с разным типом проводимости приводит к понижению потенциального барьера между ними. Это определяет перераспределение концентрации носителей заряда в приконтактной области вследствие процесса диффузии. Для расчета распределения концентрации носителей заряда в приконтактной области воспользуемся уравнениями непрерывности:

















0
g
p
p
dx
dp
dx
p
d
D
0
g
n
n
dx
dn
dx
n
d
D
p
p
no
n
n
p
2
n
2
p
n
n
po
p
p
n
2
p
2
n






, (5.1) где
D
p
и
D
n
– диффузионные постоянные для дырок и электронов;
p

и
n

– время жизни дырок и электронов;
g
p
и
g
n
– скорости генерации дырок и электронов;

– напряженность электрического поля в приконтактной области.
В свою очередь, коэффициенты диффузии связаны с подвижностью носителей заряда соотношениями Эйнштейна:
e
T
k
D
n
n



,
(5.2)
e
T
k
D
p
p



(5.3)

56
При приложении к контакту двух полупроводников прямого напряжения потенциальный барьер, определяемый ионизированными атомами акцепторной и донорной примесями, будет понижаться. При напряжениях, соизмеримых с контактной разностью потенциалов, можно полагать, что напряженность электрического поля в приконтактной области будет равна нулю.
Полагая, что генерационные эффекты, связанные с возбуждением носителей зарядов в приконтактной области, отсутствуют, можно записать для дырочных носителей заряда:
0
p
p
dx
p
d
D
p
no
n
2
n
2
p




. (5.4)
Решение этого уравнения будет иметь вид






















p
p
p
p
no
n
D
x
exp
B
D
x
exp
A
p
)
x
(
p


,
(5.5) где
A и B – постоянные интегрирования.
Первое слагаемое этого решения не удовлетворяет физическим условиям, так как увеличение
x приводит к росту концентрации неравновесных носителей заряда. Поэтому постоянная
A должна равняться нулю.
Для определения постоянной интегрирования
B воспользуемся условием, что на границе приконтактной области с областью
p концентрация неравновесных носителей заряда будет равна равновесной концентрации в
p-области. Если начало координат совпадает с границей приконтактной области с
p-областью, то можно записать:
B
p
p
p
)
0
(
p
no
po
no
n




(5.6)
Подставляя значение
B в выражение распределения концентрации неравновесных носителей заряда в приконтактной области, получим:

57













p
p
no
po
no
n
D
x
exp
)
p
p
(
p
)
x
(
p

. (5.7)
В этом выражении величина:
p
p
p
D
L


(5.8) получила название
диффузионной длины дырочных носителей заряда.
Диффузионная длина характеризует расстояние, на котором концентрация носителей зарядов уменьшается на величину экспоненты.
Аналогично, для электронных носителей зарядов:











n
n
po
no
po
p
D
x
exp
)
n
n
(
n
)
x
(
n

, (5.9) где диффузионная длина для электронов определится:
n
n
n
D
L


(5.10)
Расчет тока проводимости контакта двух полупроводников
Ток проводимости, протекающий через контакт двух полупроводников, с одной стороны, будет складываться из тока электронных и тока дырочных носителей заряда:
p
n
j
j
j


(5.11)
С другой стороны, каждый из этих токов будет определяться движением носителей заряда вследствие диффузии и дрейфа:
p
n
p
n
n
n
dx
dn
D
j






, (5.12)
n
p
n
p
p
p
dx
dp
D
j






(5.13)
В то же время концентрация неравновесных носителей заряда должна определяться решением уравнений непрерывности для электронов и дырок:

58
0
n
n
dx
dn
dx
n
d
D
n
po
p
p
n
2
p
2
n







,
(5.14)
0
p
p
dx
dp
dx
p
d
D
p
no
n
n
p
2
n
2
p







(5.15)
Решение уравнения непрерывности для электронов будет иметь вид



















2
n
1
1
n
1
po
p
L
x
exp
B
L
x
exp
A
n
)
x
(
n
,
(5.16) где
A
1
и
B
1
– постоянные интегрирования;
L
n1
и
L
n2
– эквивалентные диффузионные длины для электронов, которые определяются из уравнения:
0
D
1
L
1
D
L
1
n
n
2
,
1
n
n
n
2
2
,
1
n






. (5.17)
Решая это уравнение, получим:
n
n
2
n
n
n
n
1
n
D
1
D
2
D
2
L
1















, (5.18)
n
n
2
n
n
n
n
2
n
D
1
D
2
D
2
L
1















. (5.19)
Эквивалентная диффузионная длина
L
n2
не удовлетворяет физическим условиям, так как подстановка этой величины в решение уравнения непрерывности приводит к росту концентрации неравновесных носителей заряда с ростом координаты x. Поэтому будем полагать, что постоянная интегрирования
B
1
будет равна нулю.
Тогда решение уравнения непрерывности запишется:









1
n
1
po
p
L
x
exp
A
n
)
x
(
n
(5.20)
Постоянную интегрирования
A
1
определим из условия, что при
x=0, концентрация неравновесных носителей заряда определится:

59








)
u
(
T
k
e
exp
n
)
0
(
n
k
no
p

(5.21)
Тогда для постоянной
A
1
получим:
po
k
no
1
n
)
u
(
T
k
e
exp
n
A










(5.22)
Подставляя это выражение в решение уравнения непрерывности для концентрации неравновесных носителей, получим:






















1
n
po
k
no
po
p
L
x
exp
n
)
u
(
T
k
e
exp
n
n
)
x
(
n

. (5.23)
Аналогично эквивалентная диффузионная длина для дырочных носителей заряда определится:
p
p
2
p
p
p
p
1
p
D
1
D
2
D
2
L
1


















. (5.24)
Концентрация неравновесных дырочных носителей заряда в области
n определится:
























1
p
no
k
po
no
n
L
x
exp
p
)
u
(
T
k
e
exp
p
p
)
x
(
p

. (5.25)
Подставляя концентрацию неравновесных электронных носителей заряда в выражение электронного тока, получим:























































po
1
n
po
k
no
n
1
n
po
k
no
1
n
n
n
n
L
x
exp
n
)
u
(
T
k
e
exp
n
e
L
x
exp
n
)
u
(
T
k
e
exp
n
L
D
e
j




. (5.26)
Аналогично для дырочного тока можно записать:





























































no
1
p
no
k
po
p
1
p
no
k
po
1
p
p
p
p
L
x
exp
p
)
u
(
T
k
e
exp
p
e
L
x
exp
p
)
u
(
T
k
e
exp
p
L
D
e
j




. (5.27)

60
В силу непрерывности тока, создаваемого движением носителей заряда, ток во всех участках цепи должен иметь одинаковое значение.
Поэтому в выражениях для дырочного и электронного токов значение
x можно принять равным нулю.




























)
u
(
T
k
e
exp
n
e
n
)
u
(
T
k
e
exp
n
L
D
e
j
k
no
n
po
k
no
1
n
n
n




. (5.28)
Аналогично для дырочного тока можно записать:




























)
u
(
T
k
e
exp
p
e
p
)
u
(
T
k
e
exp
p
L
D
e
j
k
po
p
no
k
po
1
p
p
p




. (5.29)
Значение напряженности электрического поля  может определяться как
d
u
k




. (5.30)