Лабораторное задание
1. Построить график пространственного распределения волновой функции вне потенциального барьера и внутри потенциального барьера частицы, обладающей энергией
E.
2. Построить график распределения плотности вероятности нахождения частицы внутри потенциального барьера как функцию энергии частицы для различных значений высоты потенциального барьера.
3. Построить график изменения коэффициента отражения частицы, обладающей энергией
E, в зависимости от энергии потенциального барьера.
4. Построить график изменения коэффициента прозрачности частицы, обладающей энергией
E, в зависимости от энергии потенциального барьера.
5. Построить график изменения длины туннелирования в зависимости от энергии частицы для различных значений потенциального барьера.
24
Вопросы для самостоятельной работы
1. Что такое потенциальный барьер? Физическая природа потенциального барьера.
2.
Особенности движения классических и квантово- механических частиц через потенциальный барьер.
3. Коэффициенты отражения и преломления частицы.
Физический смысл.
4. Объяснить явление туннельного эффекта.
5. Как изменяется энергия частицы при туннельном эффекте?
25
Лабораторная работа №3
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Химический потенциал невырожденного идеального газа.
Энергия Ферми
Химический потенциал определяет среднюю энергию частиц в термодинамической системе микрочастиц, отнесенную к одной частице. Для химического потенциала можно записать:
.
const
kT
N
E
(3.1)
С другой стороны, количество частиц в термодинамической системе определяется интегрированием полной функции распределения:
dE
E
e
)
m
2
(
V
2
)
1
s
2
(
)
E
(
N
2
1
E
0
kT
E
2
3
3
(3.2)
Дифференцируя это выражение по энергии, получим:
2
1
kT
E
2
3
3
E
e
)
m
2
(
V
2
)
1
s
2
(
1
dE
dN
. (3.3)
В равновесном состоянии энергия и количество частиц в термодинамической системе постоянны, поэтому для такого состояния можно записать
N
/
E
. Учитывая это соотношение, получим:
.
e
)
mE
2
(
2
1
V
N
)
1
s
2
(
e
kT
E
2
3
3
kT
(3.4)
Воспользовавшись формулой Больцмана
kT
2
3
E
(3.5)
26 и обозначив концентрацию частиц
V
N
n
, получим:
.mkT21s2ne232kT
(3.6)
Логарифмируя это выражение, получим выражение для химического потенциала:
232mkT21s2nlnkT
(3.7)
Величина
0232NmkT2)1s2(
(3.8) получила название
эффективного числа состояний. Подставляя это выражение в химический потенциал, получим:
.NnlnkT0
(3.9)
Химический потенциал в применении к полупроводникам и металлам определяет среднюю энергию электронного газа, отнесенную к одному электрону, и совпадает с понятием энергии
Ферми.
Распределение Ферми-Дирака при абсолютном нуле Электроны в металле можно рассматривать как находящиеся в потенциальной яме (рис. 3.1). Выход электронов из металла требует затраты энергии для преодоления сил химической связи, которые удерживают электроны. Обычно за нулевой уровень энергии принимается поверхность металла – электроны, находящиеся вне металла. В связи с этим электроны в металле, находящиеся в потенциальной яме, имеют отрицательную энергию.
27
Если бы электроны не были фермионами, то при абсолютном нуле они бы скапливались на дне потенциальной ямы.
Являясь фермионами и подчиняясь принципу запрета
Паули, электроны последовательно занимают уровни от дна потенциальной ямы до верхнего последнего уровня, который получил название
уровня Ферми. Энергия этого уровня соответствует энергии Ферми.
Поскольку энергия Ферми в этом случае
Рис. 3.1. Электроны в потен- отсчитывается от дна потенциальной ямы, циальной яме то эта энергия всегда положительная.
Рассматривая заполнение энергетических уровней при абсолютном нуле, следует отметить, что при
E
F
все энергетические уровни будут заняты. В то же время для
E>E
F
все энергетические уровни будут свободны. Таким образом, для функции распределения
Ферми-Дирака при абсолютном нуле можно записать:
.
f
F
E
E
0
E
E
1
)
E
(
f
(3.10)
Полная функция распределения Ферми-Дирака запишется:
.
f
F
E
E
0
E
E
dE
)
E
(
g
dE
)
E
(
g
)
E
(
f
dE
)
E
(
N
(3.11)
Вычисление энергии Ферми
Энергия Ферми
E
F
может быть найдена интегрированием полной функции распределения в пределах от 0 до
E
F
:
F
E
0
N
dE
)
E
(
N
(3.12)
28
Этот интеграл определяет число частиц с энергией
EF. Полная функция распределения для вырожденного газа фермионов при температуре абсолютного нуля будет определяться:
dE)E(gdE)E(g)E(fdE)E(N
(3.13)
Плотность числа состояний определяется:
21233E)m2(V2)1s2()E(g
(3.14)
Интегрируя, получим полное число частиц:
FE021233dEE)m2(V2)1s2(N
(3.15)
Учитывая, что спин электрона s=1/2, и вычисляя интеграл, получим:
23F233E)m2(3V8N
(3.16)
Из этого выражения энергия Ферми при температуре абсолютного нуля определяется:
322F8n3m2E
. (3.17)
Собственные и примесные полупроводники Проводимость химически чистых полупроводников называется
собственной проводимостью, а сами полупроводники –
собственными полупроводниками. В таких полупроводниках энергетические зоны включают зону проводимости
EC, валентную зону
EV и запрещенную зону
ΔEg (рис. 3.2).
В примесных полупроводниках энергетические зоны включают зону проводимости, валентную зону и запрещенную зону. Кроме того, зонная структура таких полупроводников включает примесные уровни, располагающие в запрещенной зоне. В полупроводнике n-типа
таким уровнем является донорный уровень, который располагается вблизи зоны проводимости (рис. 3.3).
29
Рис. 3.2. Зонная диаграмма собственного полупроводника
Рис. 3.3. Зонная диаграмма полупроводника n-типа
В примесных полупроводниках p-типа акцепторный уровень располагается вблизи валентной зоны (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Зонная диаграмма полупроводника p-типа
30
В примесных полупроводниках различают основные и неосновные носители заряда.
Основные носители заряда определяются наличием примеси. Неосновные носители заряда связаны с собственной проводимостью полупроводника. В примесном полупроводнике
n-типа основными носителями заряда являются электроны, а неосновными – дырки. В полупроводнике
p-типа основными носителями заряда являются дырки, а неосновными – электроны.
Полупроводники, у которых электронный газ в зоне проводимости или дырочный газ в валентной зоне является невырожденным, называются
невырожденными полупроводниками.
Если электронный или дырочный газ является вырожденным, то такие полупроводники называются
вырожденными.
Статистика носителей заряда в собственном полупроводнике В собственном полупроводнике носителями зарядов являются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.
Статистическими характеристиками этих носителей заряда будут функция распределения
f(E), концентрация носителей
ni и
pi и
энергия носителей заряда, которая характеризуется химическим потенциалом – энергией Ферми.
При нулевой температуре в химически чистом полупроводнике как в зоне проводимости, так и в валентной зоне будут отсутствовать подвижные носители заряда. При увеличении температуры будет происходить активизация электронов в валентной зоне, и они будут переходить в зону проводимости. Уход электронов из валентной зоны будет сопровождаться образованием дырочных носителей заряда в валентной зоне. При этом количество электронов в зоне проводимости будет равно количеству дырок в валентной зоне
ni=pi
31
При комнатной температуре электронный газ в зоне проводимости и дырочный газ в валентной зоне будут невырожденными. Следовательно, статистика электронного и дырочного газа в собственном полупроводнике при комнатной температуре будет определяться функцией распределения Максвелла-
Больцмана:
kT
E
V
i
kT
E
C
i
Б
e
N
p
e
N
n
)
E
(
f
)
E
(
f
,
(3.18) где
N
C
и
N
V
– эффективное число состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, которые определяются выражениями:
2
3
2
n
C
kT
m
2
)
1
s
2
(
N
,
(3.19)
2
3
2
p
V
kT
m
2
)
1
s
2
(
N
(3.20)
В этих выражениях
m
n
и
m
p
– эффективные массы электронов и дырок. Для определения концентрации носителей заряда необходимо воспользоваться интегральной функцией распределения:
E
0
i
i
dE
)
E
(
g
)
E
(
f
V
1
p
n
,
(3.21) где плотность числа состояний определится:
2
1
2
3
3
E
)
m
2
(
V
2
)
1
s
2
(
)
E
(
g
(3.22)
Учитывая, что спин для электронов и дырок равен s=1/2, и рассматривая совместно выражения для функции распределения и концентраций носителей заряда, получим для концентраций:
kT
E
V
C
i
i
g
e
N
N
p
n
2 2
1
)
(
,
(3.23) где
ΔE
g
– ширина запрещенной зоны.
Химический потенциал, или уровень Ферми, электронов зоны проводимости определится:
32
CinNnlnkT
(3.24)
Это выражение определяет значение химического потенциала электронов зоны проводимости, отсчитываемого от дна зоны проводимости. Для невырожденного полупроводника с уменьшением концентрации электронов уровень Ферми будет опускаться ниже дна зоны проводимости.
Химический потенциал дырочного газа в валентной зоне определится:
VipNplnkT
(3.25)
В равновесном состоянии уровни Ферми для электронов и дырок совпадают (рис. 3.5):
2Egpn
(3.26)
Рис. 3.5. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике
Статистика носителей заряда в примесных полупроводниках n-типа К статистическим параметрам примесного полупроводника
n-типа
относятся виды носителей заряда, их концентрации и функции распределения, энергия газа, формируемого этими зарядами.
В примесном полупроводнике
n-типа существуют основные носители заряда – электроны (
nn) и неосновные носители заряда – дырки (
pn). Концентрация основных носителей заряда определяется
33 наличием донорной примеси
n
d
и собственной проводимостью полупроводника
n
i
. Концентрация основных носителей заряда в примесном полупроводнике может, практически, принимать любые значения. Это определяется легированием полупроводника донорной примесью. Поэтому электронный газ в полупроводнике n-типа может определяться как статистикой Максвелла-Больцмана, так и статистикой Ферми-Дирака.
Концентрация неосновных носителей заряда
p
n
определяется собственной проводимостью примесного полупроводника
p
n
=p
i
Поэтому дырочный газ в примесном полупроводнике
n-типа будет определяться статистикой Максвелла-Больцмана.
Для определения концентраций носителей заряда воспользуемся интегральной функцией распределения:
E
0
dE
)
E
(
g
)
E
(
f
V
1
n
(3.27)
В случае неосновных носителей заряда функция распределения
f(E) определится:
kT
E
V
i
kT
E
C
i
Б
e
N
p
e
N
n
)
E
(
f
)
E
(
f
. (3.28)
Плотность числа состояний запишется:
2
1
2
3
3
E
)
m
2
(
V
2
)
1
s
2
(
)
E
(
g
,
(3.29)
g
E
o
Б
i
dE
)
E
(
g
)
E
(
f
V
1
p
(3.30)
Из этих выражений концентрация неосновных носителей заряда определится:
kT
E
2
1
V
C
i
n
g
e
)
N
N
(
p
p
(3.31)
34
Концентрация основных носителей заряда будет определяться:
i
d
n
n
n
n
, (3.32) при этом
i
i
p
n
,
(3.33) и величина
n
d
будет зависеть от концентрации донорной примеси
N
d
Если концентрация донорной примеси будет меньше эффективного числа состояний в зоне проводимости
N
d
c
, то при определении
n
d
необходимо воспользоваться статистикой Максвелла-
Больцмана:
d
E
0
Б
d
dE
)
E
(
g
)
E
(
f
V
1
n
,
(3.34) где
E
d
– энергия ионизации донорного уровня.
В том случае, если концентрация донорной примеси соизмерима с эффективным числом состояний в зоне проводимости
N
d
N
c
, то при определении
n
d необходимо воспользоваться распределением Ферми-
Дирака:
1
e
1
)
E
(
f
)
E
(
f
kT
E
Ф
,
(3.35) где химический потенциал
определится:
2
F
2
F
n
E
kT
12
1
E
,
(3.36)
3
2
d
2
F
8
n
3
m
2
E
(3.37)
Таким образом, для определения концентрации основных носителей заряда, связанных с донорной примесью, необходимо рассмотреть систему нелинейных уравнений.
Скачать 1.21 Mb.