Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев.. Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный

• Название: Физических процессов в микро и наноэлектронике Лабораторный
• Дата: 03.03.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Наноэлектроника. Практикум. Евсевичев..pdf
• Тип: Практикум; #381547
• страница: 1 из 6

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Компьютерное моделирование
физических процессов
в микро- и наноэлектронике
Лабораторный практикум
Составители: Д. А. Евсевичев
М. К. Самохвалов
Ульяновск
УлГТУ
2017

УДК 004.94: 530.145(076)
ББК 32.973.26 – 018.2 + 22.31 я7
К63
Рецензент доктор технических наук, доцент, директор Ульяновского филиала
Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН
В. А. Сергеев
Рекомендовано научно-методической комиссией радиотехнического
факультета в качестве лабораторного практикума.
К63 Компьютерное моделирование физических процессов в микро- и
наноэлектронике: лабораторный практикум / сост.: Д. А. Евсевичев,
М. К. Самохвалов. – Ульяновск : УлГТУ, 2017. – 63 с.
Лабораторный практикум содержит материалы по методике компьютерного моделирования физических процессов в микро- и наноэлектронике с использованием программного продукта MathCad.
В практикуме рассматриваются вопросы моделирования движения частиц в свободном пространстве и через потенциальный барьер, а также исследуются свойства носителей заряда в полупроводниковых материалах и металлах.
Предназначен для студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по направлениям 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств» и 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», дисциплина «Физические основы микро- и наноэлектроники»
Подготовлен на кафедре «Проектирование и технология электронных средств».
УДК
004.94: 530.145(076)
ББК 32.973.26 – 018.2 + 22.31 я7
© Евсевичев Д. А., Самохвалов М. К., составление, 2017
© Оформление. УлГТУ, 2017

3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………... 4
Лабораторная работа №1 «Движение микрочастиц в свободном пространстве»…………………………………….…...………..….
5
Лабораторная работа №2 «Движение микрочастиц в поле потенциальных сил.
Движение микрочастиц через потенциальный барьер» ………………………….…...………..….
17
Лабораторная работа №3 «Исследование статистических свойств носителей заряда в полупроводниках» …….………..….
25
Лабораторная работа
№4 «Контактные явления в полупроводниках» ……………………………………………….
42
Лабораторная работа №5 «Исследование диффузионных процессов при контакте двух полупроводников» ..…………..….
55
Библиографический список …………………..………………….. 63

4
ВВЕДЕНИЕ
Появление большого разнообразия прикладных пакетов программ, позволяющих решать самые разнообразные задачи прикладной математики и физики, создает возможность в некоторых случаях отойти от проведения физического эксперимента, заменив его компьютерным моделированием. Это становится возможным при достаточно хорошей математической модели исследуемого процесса или явления. Моделирование позволяет проводить исследования таких режимов, которые трудно или невозможно провести в случае физического эксперимента.
Настоящий лабораторный практикум включает методику проведения лабораторных работ по дисциплине «Физические основы микро- и наноэлектроники», в которых рассматриваются вопросы моделирования физических процессов с использованием прикладного пакета программ MathCad.
Лабораторный практикум включает описание для каждой лабораторной работы математической модели на основе общих физических уравнений, в частности, уравнения Шредингера, составление алгоритма решения задачи на языке прикладного пакета программ MathCad и проведения исследования для различных параметров математической модели.

5
Лабораторная работа №1
ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ В СВОБОДНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Математическая модель движения микрочастиц в свободном
пространстве. Уравнение Шредингера
Качественное своеобразие микрочастиц, резко отличающихся от частиц классической механики, требует и качественно нового подхода к описанию их движения по сравнению с методами классической механики.
Описание состояния квантово-механических систем с помощью набора координат и импульсов, как это делается в классической механике, невозможно.
Наличие волновых свойств у микрочастиц требует, чтобы закон их движения определялся законом распространения волн де-Бройля, связанных с этими частицами.
Для рассмотрения движения частиц во внешних полях необходимо установить вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет волновая функция. Волновая функция должна быть решением этого уравнения.
Так как распространение любого волнообразного процесса описывается волновым уравнением, то следует ожидать, что движение микрочастиц должно описываться волновым уравнением.
Это уравнение должно быть линейным, так как волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.
Волновое уравнение Шредингера имеет следующий вид
)
t,
r
(
t
i
)
t,
r
(
H
^








,
(1.1) где оператор Гамильтона запишется:

6
)
t,
r
(
U
m
2
H
2
^





. (1.2)
)
t,
r
(
U
– потенциальная энергия;

– оператор Лапласа.
Уравнение Шредингера для стационарного случая
Потенциальная энергия, входящая в уравнение Шредингера, является, в общем случае, функцией координат и времени. Однако для многих практически важных случаев потенциальная энергия является функцией только координат и не зависит от времени или изменяется по гармоническому закону. Если вероятность нахождения частицы в элементе объема не зависит от времени, то такое распределение вероятности в пространстве является стационарным.
Состояние частицы, удовлетворяющее условию стационарного распределения, называется стационарным состоянием.
В стационарном состоянии волновая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от координат или времени:
)
t
(
)
r
(
)
t,
r
(




. (1.3)
Уравнение Шредингера в этом случае может быть записано:
)
t
(
)
r
(
t
i
)
t
(
)
r
(
H
^









(1.4) или, сделав преобразования, получим:
)
t
(
t
)
r
(
i
)
r
(
H
)
t
(
^









. (1.5)
Если изменение волновой функции определяется гармонической зависимостью
t
i
e
)
t
(




, (1.6) тогда для производной по времени можно записать:
)
t
(
i
e
i
e
t
)
t
(
t
t
i
t
i
















(1.7)

7
Подставляя это выражение в уравнение Шредингера и сокращая на временную функцию, получим:
)
r
(
E
)
r
(
h
)
r
(
H
^





. (1.8)
Раскрывая оператор Гамильтона
)
r
(
U
m
2
H
2
^





, (1.9) получим уравнение, не содержащее временной переменной, которое получило название
уравнение Шредингера для стационарного случая,
или
амплитудное уравнением для волновой функции.


0
)
r
(
U
E
m
2
)
r
(
2






. (1.10)
Это уравнение описывает стационарное состояние микрочастицы и характеризует плотность вероятности изменения координат частицы.
Собственные волновые функции и собственные значения
оператора Гамильтона
Уравнение Шредингера для стационарного случая является уравнением для собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона
^
H .
Амплитудная волновая функция должна удовлетворять условиям непрерывности, конечности и однозначности. Кроме того, она должна обращаться в нуль на границе области.
Амплитудная волновая функция
)
r
(

является собственной функцией, а энергия E является собственным значением оператора
^
H . Собственные значения и собственные функции являются функциями пространственных координат.
Решением уравнения Шредингера для стационарного случая являются собственные значения, которые являются уровнями

8 энергии. Вместе с уровнями энергии определяются собственные функции.
Уравнение Шредингера для свободной частицы,
двигающейся в направлении оси
Уравнение Шредингера для свободной частицы, обладающей энергией E и двигающейся в направлении оси
x, запишется:
)
t,
x
(
t
i
)
t,
x
(
H
^







, (1.11) где оператор Гамильтона имеет вид
2
2
2
^
x
m
2
H





, (1.12) так как потенциальная энергия для свободно двигающейся частицы либо равна нулю, либо является постоянной величиной. Подставляя оператор Гамильтона, получим уравнение Шредингера для свободно двигающейся частицы в направлении оси
x:
)
t
,
x
(
t
i
)
t
,
x
(
x
m
2
2
2
2









. (1.13)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций:
)
t
(
)
x
(
t
i
)
t
(
)
x
(
x
m
2
2
2
2











. (1.14)
Это выражение может быть записано:
)
t
(
t
i
)
x
(
)
x
(
x
m
2
)
t
(
2
2
2











. (1.15)
Разделив обе части этого выражения на произведение функций
)
t
(
)
x
(


, получим:
)
t
(
t
i
)
t
(
1
)
x
(
x
m
2
)
x
(
1
2
2
2











. (1.16)
Правая часть этого выражения является функцией только

9 времени, а левая часть является функцией пространственной координаты. Эти переменные являются независимыми, и поэтому каждая часть этого выражения может быть приравнена к постоянной величине. Этой величиной может быть энергия частицы
E:
E
)
x
(
x
m
2
)
x
(
1
2
2
2







, (1.17)
E
)
t
(
t
i
)
t
(
1







. (1.18)
Эти уравнения могут быть записаны:
0
)
x
(
E
m
2
)
x
(
dx
d
2
2
2





, (1.19)
0
)
t
(
E
i
)
t
(
dt
d





. (1.20)
Решение первого уравнения будет иметь вид
ikx
ikx
Be
Ae
)
x
(




, (1.21) где величина
k определяется выражением:
E
m
2
k
2
2


. (1.22)
Решение второго уравнения запишется:
t
i
Et
i
e
e
)
t
(







. (1.23)
Подставляя эти выражения в общее решение уравнения
Шредингера, получим:
)
t
kx
(
i
)
t
kx
(
i
Be
Ae
)
t
(
)
x
(
)
t,
x
(











. (1.24)
Это выражение определяет суперпозицию плоских волн, распространяющихся в двух противоположных направлениях. Для частицы, двигающейся в положительном направлении оси
x, коэффициент B будет равен нулю, и это выражение запишется:
)
t
kx
(
i
Ae
)
t
,
x
(




. (1.25)

10
Величина
k является модулем волнового вектора, который связан с волной де-Бройля:


2
k

, (1.26) где

– длина волны де-Бройля.
Моделирование движения микрочастицы в свободном
пространстве с помощью интегрального пакета прикладных
программ MathCad
Рассмотрим движение электрона, обладающего энергией
E=10 эВ и двигающегося в направлении оси x. Для моделирования электрона воспользуемся выражением (25) для волновой функции
)
t
,
x
(

микрочастицы, связанной с вероятностью нахождения электрона в объеме пространства с координатой
x в момент времени
t. Запишем исходные данные в области ввода среды MathCad: m
9.1 10 31



-масса электрона;
-единичный заряд;
-постоянная Планка;
-мнимая единица;
-амплитуда волновой функции;
-энергия электрона q
1.6 10 19



h
6.62 10 34



i
1


A
1

E
10 q


Для определения угловой частоты

воспользуемся формулой
Планка для энергии фотона:


 
E
h
E
2
:



.
10
519
.
1
16



Для определения волнового числа k воспользуемся выражением

11 для энергии электрона E через импульс
p и формулой де-Бройля для импульса электрона p через волновое число
k:
m
2
p
E
2


E
m
2
:
p



,
10
706
.
1
p
24




2
k
h
p


h
p
2
:
k




.
10
62
.
1
k
10


Полагая, что произведения
k·x и
t


не превышают единицы, оценим порядки
x и t:
1
x
k


k
1
:
x

,
10
174
.
6
x
11



1
t




1
:
t

.
10
585
.
6
t
17



Зададимся интервалом изменения переменной
x:
9
11
11
10
..
10
2
,
10
:
x





Выберем два момента времени
t
j
, где
2
..
1
:
j

16
2
17
1
10
2
:
t
10
:
t





Волновая функция для выбранных моментов времени запишется:
)
t
x
k
(
i
e
A
:
)
j
,
x
(








Построим графики действительной части волновой функции
))
1
,
x
(
Re(

и
))
2
,
x
(
Re(

(рис. 1.1).
Вероятность нахождения частицы в объеме пространства с координатой
x определится как квадрат действительной части волновой функции
2
)))
j
,
x
(
(Re(

. Построим эти графики для моментов времени
t
1
и
t
2
(рис. 1.2).

12 2 10 10


4 10 10


6 10 10


8 10 10


0.5

0 0.5
Re
 x 1

(
)
(
)
Re
 x 2

(
)
(
)
0
x
Рис. 1.1. График изменения действительной части волновой функции свободно двигающейся частицы от пространственных координат и времени
2 10 10


4 10 10


6 10 10


8 10 10


0 0.5 1
Re
 x 1

(
)
(
)
(
)
2
Re
 x 2

(
)
(
)
(
)
2 0
Рис. 1.2. Графики плотности вероятности нахождения частицы в объеме пространства с координатой x в заданный момент времени

13