Формирование математической грамотности
 Скачать 6.52 Mb.
|
|
§ 3. КАРТА ПОНЯТИЙ КАК ИНСТРУМЕНТ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ В основе метода карт понятий лежит идея структурной организации знаний. Идею возможности использования моделей хранения понятий в учебном процессе первым высказал Д. Озьюбел в 1960 г. Он предло- жил общие идеи предмета представлять в виде графической схемы, в уз- 49 лах которой находятся ключевые понятия, соединенные между собой линиями. Линии (стрелки) символизируют связи этих понятий [3]. В дальнейшем идеи Озьюбела были развиты Д. Новаком 1 . Он раз- работал метод обучения на основе построения карт понятий. В карте задается сеть понятий с указанием видов связей между ними. Можно использовать различные варианты организации деятельности обучаю- щихся с картой понятий. В случае, когда сеть не полна, обучающимся предлагается встроить понятия в заданную сеть. В более сложном ва- рианте дается список понятий и ключевой вопрос, для ответа на кото- рый создается карта. На высоком уровне сложности задание содержит только один ключевой вопрос. Для построения карт разработаны спе- циальные программные среды с необходимыми графическими сред- ствами, одной из которых является CmapTools. Данное программное обеспечение является бесплатным (дистрибутив программы можно скачать на сайте по адресу: cmap.ihmc.us/products). Рассмотрим карту понятий по теме «Уравнения, содержащие знак модуля» (рис. 21). Карта включает виды уравнений, содержащих знак модуля, и ме- тоды их решения. Исходная карта может быть подготовлена учителем. Использовать ее можно многократно: как в начале изучения темы, так и на уроках повторения с целью систематизации знаний. Можно пред- ставить неполный вариант карты и по мере изучения дополнять его вместе с обучающимися. Интересны задания на заполнение фрагментов схемы, например: 1. Заполните ячейки, указав значения переменной а (рис. 22). 2. Перечислите виды уравнений, содержащих знак модуля (рис. 23). Использование на уроке интерактивной доски или флипчарта даст возможность обучающимся самостоятельно конструировать схему из отдельных блоков. А применение интерактивных инструментов, напри- мер, конструктора интерактивных карт (MapKit), позволит создавать проверяемые задания как для фронтальной, так и индивидуальной ра- боты, что, несомненно, будет способствовать мотивации обучающихся. Программа позволяет добавлять к объектам комментарии, присо- единять файлы различных типов. При этом файлы будут открываться в той среде, где были созданы. В файлах можно разместить задачи, при решении которых применяется выбранный способ. 1 Бершадский М.Е. Применение метода карт понятий. http://bershadski.ru/ index/primenenie_metoda_kart_ponjatij/0-35. 50 Рис. 21. Карта понятий по теме «Уравнения, содержащие знак модуля» Рис. 22. Задание «Заполните пустые ячейки» 51 Рис. 23. Задание «Укажите виды уравнений, содержащих знак модуля» На основе карты понятий можно организовать и самостоятельную деятельность обучающихся на разных уровнях [5]. Примерное содер- жание работы по каждому уровню представлено в табл. 12. Таблица 12 Содержание самостоятельной работы по уровням Уровень самостоятельной работы Содержание работы 1 Обучающийся работает с готовой картой понятий: отве- чает на вопросы, выполняет поиск информации, знако- мится со способами решения задач 2 Обучающийся дополняет карту понятий, подготовлен- ную учителем: добавляет новые «узлы» карты, устанав- ливает связи между ними, вставляет комментарии, при- крепляет файлы, содержащие необходимую информацию 3 Обучающийся с помощью учителя составляет схему по заданной теме, создает карту понятий в программной среде, самостоятельно наполняет ее содержанием 4 Обучающийся самостоятельно выбирает тематику рабо- ты, разрабатывает структурную схему, создает ее в про- граммной среде, подбирает задания и т.д. Работа над созданием карты понятий позволяет повторить значи- тельное количество материала, формирует умения отбора и оценки ин- формации, систематизации, анализа и синтеза информации. 52 ПРИМЕРы КАРТ ПОНяТИй* Рис. 24. Карта понятий по теме «Методы решения тригонометрических уравнений» Рис. 25. Карта понятий по теме «Логарифмы» * Разработаны учителями математики И.Н. Волонтир, Ю.В. Дубровской, Н.А. Савиной, Н.И. Евстигнеевой. 53 § 4. ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКОВ СМЫСЛОВОГО ЧТЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ* ПРИЕМ «ВЕРНО – НЕВЕРНО» Позволяет быстро включить учащихся в мыслительную деятель- ность и логично перейти к изучению темы урока. Таблица 13 Прочитайте утверждение Поставьте знак «+», если верите, и знак «–», если не верите Верите ли вы, что самая простая из кривых линий – окружность? Верите ли вы, что древние индейцы считали самым важным элементом окружности радиус, хотя не знали этого слова? Верите ли вы, что впервые термин «радиус» поя- вился лишь в XVI веке? Верите ли вы, что в переводе с латинского «ради- ус» означает «луч»? Верите ли вы, что выражение «ходить по кругу» когда-то означало «прогресс»? Верите ли вы, что слово «хорда» в переводе с гре- ческого означает «струна»? Верите ли вы, что длина окружности и радиус вза- имосвязаны? Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древ- нейших геометрических фигур. Еще вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает «луч». В Древней Греции круг и окружность * Опыт работы по формированию навыков смыслового чтения на уроках математики при изучении темы «Окружность» представлен в работе О.А. Се- нюшкиной, учителя математики МБОУ «Вытегорская средняя общеобразова- тельная школа № 2». 54 считались венцом совершенства. В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круглый дурак». Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут, взявшись за руки. Ци- клы получаются при движении по кругу. Мы изучаем циклы Земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и когда мы должны вставать. Представление об окружности дает линия дви- жения модели самолета, прикрепленного шнуром к руке человека, так- же обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности. Термин «хорда» (от греческого «струна») был введен в современном смысле европейскими учеными в XII–XIII веках*. Этот же самый при- ем можно использовать уже при первичном закреплении, например при выполнении следующего задания (это может быть физкультми- нутка) 1. Верно ли, что любая хорда равна радиусу окружности? 2. Верно ли, что в окружности можно провести много диаметров? 3. Верно ли, что хорда и радиус выходят из центра окружности? 4. Верно ли, что радиус больше диаметра в 2 раза? 5. Верно ли, что диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности? Вместо написания знаков «+» и «–» использовать «рисование гла- зами»: согласны – глазами нарисуйте круг, если нет – горизонтальную прямую. ПРИЕМ «ИНСЕРТ» Прочитайте материал п. 21 «Окружность» и заполните табл. 14. Таблица 14 «V» – знаю «+» – новое «–» – думал иначе «?» – вопросы Возможно прочтение материала с карандашом с выполнением тех же пометок. * По материалам книг: Г. Глейзера «История математики в школе», С. Акимовой «Занимательная математика». 55 ПРИЕМ «СИНКВЕйН» Составляем синквейн (один из вариантов). Таблица 15 Назовите тему урока одним словом Окружность Назовите 2 прилагательных, которые характеризуют окружность Замкнутая, круглая Назовите 3 действия, которые можно выполнять с окружностью Чертить, рисовать, проводить Выразите в одном предложении свое впечатление о окружности Все точки равноудалены от центра Как иначе можно назвать окружность? Фигура ЗАПОЛНЕНИЕ ПРОПУСКОВ В ТЕКСТЕ И ВыЧЕРКИВАНИЕ ЛИШНЕй ИНФОРМАЦИИ А) Вычеркните ненужные слова текста в скобках: «Окружность – это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигу- ра, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных на (одина- ковом, заданном) расстоянии от (некоторой, центральной) точки. Ра- диусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяю- щий центр окружности с (заданной, какой-либо) точкой окружности». Б) Закончите определение: «Диаметр окружности – это… (два радиуса, лежащие на одной прямой; хорда, проходящая через центр окружности; прямая, прохо- дящая через две точки и центр окружности). Центр окружности – это… (точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружно- сти; середина окружности; точка, равноудаленная от всех точек окружности.). Дуга окружности – это… (часть окружности, выделен- ная точками; часть окружности, ограниченная двумя точками; часть окружности, ограниченная хордой). Две точки, лежащие на окружно- сти, делят ее… (на одну; на две) дуги. хорда на чертеже окружности изображается (прямой линей; дугой окружности; отрезком с концами, лежащими на окружности). Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется… (длина окружности; ради- ус окружности; половина диаметра окружности). 56 В) Заполните пробелы: Любые 2 точки окружности делят ее на ______ части. Каждая из этих частей называется ________ окружности. Для изображения окружности на чертеже пользуются _________. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется ______. ПРИЕМ «ЗАПОЛНЕНИЕ ТАБЛИЦы НА ОСНОВЕ ПРОЧИТАННОГО ТЕКСТА» Прочитайте текст учебника по теме «Вписанные и описанные окружности» (стр. 181–185, п. 74, 75 «Геометрия 7–9 классы: Л.С. Ата- насян, С.Б Кадомцев, В.Ф. Бутузов и др. – 2 изд. – М.: Просвещение, 2014) и заполните таблицу: Таблица 16 Вписанная окружность Описанная окружность Определение окружности и соответству- ющего многоугольника Чертеж Теорема о возможности вписать/описать окружность в/около треугольника. Един- ственная ли это возможность Где находится центр данной окружности Как найти радиус окружности Теорема о возможности вписать/описать окружность в/около четырехугольника Формулы, связывающие радиус этой окружности с площадью треугольника В дальнейшем этот материал можно использовать при подготов- ке к экзамену. ПРИЕМ «ЗАПОЛНЕНИЕ ПРОПУСКОВ В ТЕКСТЕ» Заполните пропуски в тексте в рабочей тетради по геометрии, стр. 40, задание 2 (Ю.А. Глазков, М.В. Егупова «Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс, УУД / к учеб. Л.С. Атанасяна и др. – М.: Просве- щение). 57 ПРИЕМ «ИСТИННыЕ И ЛОЖНыЕ УТВЕРЖДЕНИя» Установите, какие из утверждений истинны, а какие ложны (ря- дом с предложением поставьте букву и или л): – Все точки плоскости, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности. – Все диаметры окружности равны между собой. – Все радиусы окружности равны между собой. – Вокруг любого треугольника можно описать окружность. – Около всякого треугольника можно описать более одной окруж- ности. – В любой треугольник можно вписать более одной окружности. – Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пе- ресечения серединных перпендикуляров. – Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точ- ке пересечения биссектрис. – Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окруж- ности лежит на середине гипотенузы. – Центр окружности, описанной около треугольника со сторона- ми, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. – Центр описанной окружности может находиться внутри треу- гольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоуголь- ный) и вне треугольника (если он тупоугольный). – В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. – Около любого правильного многоугольника можно описать бо- лее одной окружности. – Любой прямоугольник можно вписать в окружность. – Центром окружности, описанной около квадрата, является точ- ка пересечения его диагоналей. – Если расстояние между центрами окружностей равно сумме ра- диусов, то окружности касаются в одной точке. – Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек. – Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. – Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окруж- ности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность не пересекаются. 58 – Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. – Центральный угол равен половине градусной меры дуги, на ко- торую он опирается. – Вписанный угол равен градусной мере дуги, на которую он опи- рается. – Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. – Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на кото- рую опирается этот угол, равна 60°. – Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опи- рающийся на эту дугу окружности, равен 80°. – Через точку, лежащую вне окружности, можно провести две ка- сательные к этой окружности. – Через любые три точки проходит более одной окружности. – Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противоле- жащих углов равна 180°. – Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны. ПРИЕМ «“ТОНКИЕ” И “ТОЛСТыЕ” ВОПРОСы» Расмотрим использование этого приема при решении следующей задачи. В четырехугольник ABCD вписана окружность (рис. 26). Точки касания этой окружности со сторонами делят стороны на отрезки, как показано на рисунке. Найдите периметр четырехугольника, если LC = 6, BK = 2, AN = 4, ND = 5. Рис. 26 59 Вот некоторые из «тонких» и «толстых» вопросов, которые мож- но задать при решении задачи. Таблица 17 «Тонкие» вопросы «Толстые» вопросы Что известно в задаче? Что необходимо найти? Достаточно ли данных для нахожде- ния периметра четырехугольника? Каково взаимное расположение четы- рехугольника и окружности? Верно ли, что точка касания лежит на стороне четырехугольника? Какова зависимость между стороной AD и заданными отрезками, AN и ND? Каким свойством обладает окруж- ность, вписанная в четырехугольник? Объясните, почему отрезки BK и BL равны? В чем различие между вписанной и описанной окружностью? Почему вы думаете, что при на- хождении периметра нам доста- точно знать сумму сторон BC и AD? Предположите, можно ли будет решить эту задачу, если заменить отрезок AN на AK, а ND на MD? ПРИМЕРы ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННых ЗАДАНИй ПО МАТЕМАТИКЕ* Владение навыками смыслового чтения особенно необходимо обу чающемуся при решении практико-ориентированных задач по ма- тематике, которые включены в ВПР и ОГЭ. Задание для 5-го класса Прочитай и выполни задания в конце текста: «С площадью круга связаны многие математические факты. От- метим некоторые из них. Еще древние греки знали одно замечатель- ное свойство круга: из всех фигур, имеющих одинаковую длину пери- метра, наибольшую площадь имеет круг. Иначе говоря, если мы име- ем замкнутую нить и хотим расположить ее на плоскости так, чтобы она охватила внутри себя наибольшую площадь, то нужно располо- жить нить по окружности. * Из опыта работы Гришиной Надежды Дмитриевны, учителя математи- ки МОУ «Судская школа № 2». 60 С этим свойством круга связана еще одна интересная история. На плоскости начерчена прямая; кроме того, имеется нерастяжимая нить (незамкнутая) определенной длины. Как надо расположить эту нить на плоскости, приложив ее концами к двум каким-либо точкам пря- мой, чтобы вместе с прямой она ограничила фигуру наибольшей пло- щади? Эта задача дошла до нас вместе с интересным преданием. Фини- кийская царевна Дидона разрешила людям построить город «в преде- лах воловьей шкуры». Дидона приказала разрезать шкуру на очень тонкие ремни и сшить их, получив, таким образом, тонкий, но очень длинный ремень. Теперь нужно было расположить эту нить так, что- бы вместе с морским берегом (прямолинейным) охватить наибольшую площадь для постройки города. В результате этих действий получи- лась некоторая фигура. Допиши, текст, указав, какая фигура получи- лась». Вопросы к тексту: 1. Придумай заголовок к данному тексту. 2. Что можно сказать о площадях фигур, имеющих одинаковый периметр? 3. Кто впервые описал это свойство? Если мы хотим очертить нитью на плоскости фигуру наибольшей площади, что нужно сделать? 4. Почему надо брать нерастяжимую нить? 5. Напиши, как ты понял, что значит построить город «в пределах воловьей шкуры»? 6. Что же является ответом, который надо дописать в конце текста? 7. Как ты думаешь, какие могут быть единицы измерения площа- ди круга? 8. Предположи, какая фигура (тело) в пространстве будет охваты- вать наибольший объем, если площади поверхностей этих фигур (тел) будут одинаковыми? 9. Сформулируй это в виде утверждения. Задание для 7-го класса Прочтите текст: «Байкал – самое глубокое озеро на планете. Наибольшая глубина Байкала – 1642 метра. Байкал находится в Сибири между Иркутской 61 областью и Республикой Бурятией. Живописные берега озера тянутся на 2000 километров, а площадь водной поверхности составляет 31 722 кв. км. Прибрежные территории отличаются уникальным разнообра- зием флоры и фауны. Вода в Байкале удивительно прозрачна: видно дно на глубине 40 метров. Запасы пресной воды в Байкале огромны: объем озера – 23 615 куб. км. Байкал является частью огромной эко- логической системы, охватывающей сотни тысяч квадратных киломе- тров. Специалисты считают, что снижение уровня воды в Байкале да- же на 10 см приведет к необратимым катастрофическим последствиям для всей Восточной Сибири. Есть план построить на берегу озера за- вод, который будет выпускать байкальскую воду в бутылках. Экологи сильно обеспокоены сложившейся ситуацией». Предположим, что завод будет выпускать 20 миллионов пятили- тровых бутылок в год. Будет ли заметно понижение уровня воды в Байкале, вызванное деятельностью завода в течение трех лет? Ответ обоснуйте. Наводящие вопросы для выполнения задания: 1. Как определить понижение уровня воды, вызванное деятельно- стью завода? Что для этого нужно знать? 2. Как найти объем воды, потребляемой заводом? 3. Как найти понижение уровня воды в Байкале, зная объем по- требляемой воды? 4. Подчеркните важную информацию для решения данного зада- ния. 5. Выполните расчеты. |