Формирование математической грамотности
 Скачать 6.52 Mb.
|
|
Департамент образования Вологодской области Вологодский институт развития образования Вологда 2021 Формирование математической грамотности обучающихся Серия «На пути к эффективной школе» УДК 372.851 ББК 74.262.21 Ф79 Печатается по решению редакционно-издательского совета Вологодского института развития образования © Департамент образования Вологодской области, 2021 © Вологодский институт развития образования, 2021 ISBN 978-5-87590-528-5 Составитель: Е.М. Ганичева, доцент кафедры математики и информатики ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет», методист сектора предметных областей ЦНППМ ПР г. Вологда АОУ ВО ДПО «Вологодский институт развития образования Рецензенты: Кокарева З.А., доцент кафедры педагогики АОУ ВО ДПО «Вологодский институт развития образования», к.п.н., доцент; Л.А. Филиппова, учитель математики МБОУ «Чагодская средняя общеобразовательная школа» Ф79 Формирование математической грамотности обучающихся / Де- партамент образования Вологодской области, Вологодский институт развития образования ; [составитель Е.М. Ганичева]. – Вологда: ВИРО, 2021. – 84 с.: ил., табл. – (Серия «На пути к эффективной шко- ле»). ISBN 978-5-87590-528-5 Практическое пособие знакомит с понятиями «функциональная грамот- ность», «математическая грамотность», а также представляет опыт учителей по использованию приемов формирования математической грамотности обу- чающихся. Пособие предназначено для учителей математики общеобразовательной школы; преподавателей математики профессиональных образовательных ор- ганизаций; студентов, обучающихся по направлению 44.03.05 «Педагогиче- ское образование» (профили «Математическое образование и информатика», «Математическое и физическое образование»). УДК 372.851 ББК 74.262.21 3 СОДЕРЖАНИЕ 4 7 7 11 25 27 40 48 53 61 65 77 77 80 82 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Р а з д е л 1 . МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГРАМОТНОСТЬ ОБУЧАЮ- ЩИХСЯ КАК КОМПОНЕНТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНО- СТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Математическая грамотность: понятие и структура . . . . § 2. Задания диагностических работ исследования PISA–2021 . . Раздел 2. ПРИЕМЫ, МЕТОДЫ, ТЕХНОЛОГИИ ФОРМИРОВА- НИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ . . . . . . . § 1. Формирование математической грамотности на основе решения практико-ориентированных задач . . . . . . . . . . § 2. Кейс-метод как инструмент формирования математической гра- мотности . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Карта понятий как инструмент систематизации знаний . . . § 4. Формирование навыков смыслового чтения на уроках матема- тики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Изучение геометрических фигур и их свойств через внеурочную занятость. Кружок «Изонить» . . . . . . . . . . . § 6. Формирование умения работать с числовыми данными в элек- тронной таблице . . . . . . . . . . . . . . . Раздел 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К КОНСТРУИРОВА- НИЮ ЗАДАНИЙ И ОЦЕНИВАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРА- МОТНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ . . . . . . . . . . . § 1. Конструирование заданий для оценивания математической гра- мотности . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Оценивание математической грамотности обучающихся . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ВВЕДЕНИЕ Актуальность настоящего пособия обусловлена необходимостью формирования у педагогов четкого представления о смысле понятий «функциональная грамотность», «математическая грамотность». Со- держание этих понятий имеет тенденцию к расширению, поэтому важ- но иметь представление о компонентах математической грамотности, о подходах к оценке ее сформированности, о типах диагностических заданий и критериях их оценки. Введенный в 1957 году ЮНЕСКО термин «функциональная гра- мотность» первоначально характеризовал способность использовать навыки чтения и письма в условиях взаимодействия с социумом. Меж- дународные исследования PISA (Programme for International Student Assessment), направленные на оценку качества образования в различ- ных странах, представляют функциональную грамотность в виде со- ставляющих: грамотность в чтении как способность понимать, оцени- вать, использовать тексты; грамотность в математике как способность применять, использовать математические понятия, факты для описа- ния, объяснения явлений в окружающем нас мире; грамотность в обла- сти естествознания как способность человека осваивать и использовать естественнонаучные знания. В настоящее время к указанным выше компонентам добавилась финансовая грамотность как способность че- ловека принимать обоснованные решения в сферах, имеющих отноше- ние к управлению финансами, реализации жизненных целей и планов. Функциональная грамотность на ступени общего образования рассматривается как метапредметный образовательный результат. В качестве основы мониторинга формирования и оценки функциональ- ной грамотности была выбрана концепция международного исследо- вания PISA (Приказ Министерства просвещения России № 219 от 06.05.2019 (совместно с Рособрнадзором) «Об утверждении методоло- гии и критериев оценки качества общего образования в общеобразо- вательных организациях на основе практики международных исследо- ваний качества подготовки обучающихся»). 5 В теории и методике обучения математике имеется большой арсе- нал приемов, методов, технологий, средств обучения, позволяющих эф- фективно формировать способности выполнять различные мыслитель- ные операции, но вследствие некоторого расхождения формулировок, терминологии не всегда удается удачно совместить этот имеющийся опыт с современными веяниями. Есть необходимость в осмыслении, систематизации хорошо известных, проверенных закономерностей, приемов, методов обучения и согласования с требуемыми образова- тельными результатами. Одной из проблем, отмечаемых учителями, является отсутствие достаточного количества заданий, дидактических материалов для фор- мирования и развития математической грамотности обучающихся, в то время как для успешного участия в международных исследованиях требуется специальная подготовка. Именно поэтому возрастает роль самостоятельного конструирования заданий практического содержа- ния с учетом заданных характеристик. Цифровая образовательная среда, современные цифровые сред- ства обучения, безусловно, расширяют возможности для совершен- ствования образовательного процесса, в том числе для развития мате- матической грамотности. Использование этих возможностей, исследо- вание влияния их на результаты обучения математике, выбор наиболее эффективных инструментов представляет собой интереснейшую зада- чу для исследователя. При подготовке пособия использованы материалы учителей мате- матики Вологодской области. Автор выражает признательность учи- телям и благодарит за сотрудничество Нину Павловну Крыксу, учите- ля математики высшей квалификационной категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 8» г. Вологды; Татьяну Алексеевну Магаеву, учителя математики высшей квалификационной категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 2 имени С.С. Орлова» г. Белозерска; Любовь Ивановну Бычихину, учителя математики выс- шей квалификационной категории МБОУ «Усть-Алексеевская средняя общеобразовательная школа» Великоустюгского района; Галину Ни- колаевну Золотову, учителя математики высшей квалификационной категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 14» г. Во- логды; Ирину Николаевну Волонтир, учителя математики высшей ква- лификационной категории МБОУ «Чагодская средняя общеобразова- тельная школа»; Ольгу Анатольевну Сенюшкину, учителя математики 6 высшей квалификационной категории МБОУ «Вытегорская средняя общеобразовательная школа № 2»; Надежду Дмитриевну Гришину, учителя математики высшей квалификационной категории МОУ «Судская школа № 2»; Любовь Николаевну Руденко, учителя матема- тики высшей квалификационной категории; Ирину Ивановну Гонча- рук, учителя математики и информатики высшей квалификационной категории МБОУ «Средняя школа № 2 г. Грязовца». 7 Р а з д е л 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГРАМОТНОСТЬ ОБУЧАЮЩИХСЯ КАК КОМПОНЕНТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ГРАМОТНОСТИ § 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГРАМОТНОСТЬ: ПОНЯТИЕ И СТРУКТУРА Согласно концепции международного исследования PISA–2021, «математическая грамотность – это способность индивидуума прово- дить математические рассуждения и формулировать, применять, ин- терпретировать математику для решения проблем в разнообразных контекстах реального мира». Она помогает людям понимать роль ма- тематики в жизни, высказывать хорошо обоснованные суждения, ис- пользовать приобретаемые знания для решения личных и профессио- нальных задач. Как проверяют сформированность математической функциональной грамотности? Рис. 1. Результаты РФ (средние баллы) в исследовании PISA 2003–2018 гг. по математической грамотности 8 На рис. 1 и в табл. 1 приведены результаты, показанные россий- скими школьниками в исследованиях 2003–2018 гг. Данные на диа- грамме демонстрируют средние баллы выполнения заданий. Следует отметить существенный рост результатов в 2015 году, однако в 2018 году снова наблюдается их снижение. В табл. 1 приведены сведения о расположении результатов рос- сийских учащихся среди стран – участниц исследования. Таблица 1 Этапы исследования, год Количество стран- участниц Средний балл РФ Место РФ среди стран- участниц Максимальный средний балл среди стран-участниц 2003 40 468 29–31 550 – Гонконг 2006 57 476 32–36 549 – Тайвань 2009 65 468 38–39 600 – Шанхай 2012 65 482 31–39 615 – Шанхай 2015 70 494 20–30 564 – Сингапур 2018 79 488 27–35 576 – Сингапур Результаты по областям содержания (рис. 2): Рис. 2. Результаты РФ (по областям содержания) в исследовании PISA 2003–2018 гг. по математической грамотности 9 Результаты по видам деятельности (рис. 3): Рис. 3. Результаты РФ (по видам деятельности) в исследовании PISA 2003–2018 гг. по математической грамотности В рамках исследования учащимся предлагаются не типовые учеб- ные задачи с четко сформулированным условием и конкретным ре- зультатом, а близкие к реальным проблемные ситуации. Эти ситуации представлены в некотором контексте и могут быть разрешены доступ- ными учащемуся средствами математики. При этом в качестве метода познания используется информационное моделирование (рис. 4). Рис. 4. Схема связи реального мира и математического 10 В основе организации исследования математической грамотности лежат три составляющие: – контекст проблемы; – содержание математического образования; – мыслительная деятельность, с помощью которой можно связать контекст с математическим содержанием. Контекст задания – это особенности и элементы окружающей обстановки, представленные в задании в рамках предлагаемой ситуа- ции. Выделены и используются 4 категории контекстов, близкие уча- щимся: общественная жизнь, личная жизнь, образование / професси- ональная деятельность и научная деятельность [7, с. 29–31]. Математическое содержание заданий в исследовании распреде- лено по четырем категориям: пространство и форма, изменение и за- висимости, количество, неопределенность и данные, которые охваты- вают основные типы проблем, возникающих при взаимодействиях с повседневными явлениями [7, с. 23–28]. Название каждой из этих ка- тегорий отражает обобщающую идею, которая в общем виде характе- ризует специфику содержания заданий, относящихся к этой области. В совокупности эти обобщающие идеи охватывают круг матема- тических тем, которые, с одной стороны, изучаются в школьном кур- се математики, с другой стороны, необходимы 15-летним учащимся в качестве основы для жизни и для дальнейшего расширения их мате- матического кругозора: – изменение и зависимости – задания, связанные с математиче- ским описанием зависимости между переменными в различных про- цессах, т.е. с алгебраическим материалом; – пространство и форма – задания, относящиеся к простран- ственным и плоским геометрическим формам и отношениям, т.е. к ге- ометрическому материалу; – количество – задания, связанные с числами и отношениями между ними, в программах по математике этот материал чаще всего относится к курсу арифметики; – неопределенность и данные – задания охватывают вероятност- ные и статистические явления и зависимости, которые являются пред- метом изучения разделов статистики и вероятности. Для описания мыслительной деятельности при разрешении предложенных проблем используются следующие глаголы: формули- ровать, применять и интерпретировать. Они указывают на мысли- тельные задачи, которые будут выполняться учащимися: 11 – формулировать ситуацию на языке математики; – применять математические понятия, факты, процедуры; – интерпретировать, использовать и оценивать математические результаты. Понятно, что каждый из этих мыслительных процессов опирает- ся на математические рассуждения, поэтому разработчики концепции исследования PISA–2021 использовали те же мыслительные процес- сы, что и на предшествующих этапах исследования, но дополнив их рассуждениями. В содержание заданий исследования 2021 г. будут включены новые темы: − явления роста, изменений линейного и нелинейного характера; например, потребуется проследить закономерности, проявляющиеся при возведении в степень некоторого числа; − геометрические преобразования, аппроксимации, разбиение и составление фигур; например, потребуется построить орнамент из за- данных фигур по заданному правилу; − компьютерное конструирование и моделирование, например, потребуется изображать по указанным правилам маршруты на карте; − принятие решений с учетом предлагаемых условий или допол- нительной информации; например, потребуется при покупке некото- рого товара учитывать представленное в таблице сообщение, в кото- ром содержится статистика мнений покупателей об этом товаре [7]. § 2. ЗАДАНИЯ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ РАБОТ ИССЛЕДОВАНИЯ PISA–2021 С формулировками заданий диагностических работ для обучаю- щихся 5–9-х классов, характеристиками заданий и системой оценивания можно ознакомиться на портале Института стратегии развития образо- вания Российской академии наук (http://skiv.instrao.ru/). ДИАГНОСТИЧЕСКАя РАБОТА ДЛя ОБУЧАЮщИхСя 5-х КЛАССОВ Задание 1. «Кассовый аппарат» Кассовый аппарат используют для пополнения счета на карте «Проезд на транспорте». На экране автомата представлена инфор- мация: 12 Клиент может ежедневно вносить: купюрами – не более 300 ру- блей; мелочью – не более 30 рублей. У Гриши есть 70 рублей мелочью (монеты по 10 р. и 5 р.) – 8 мо- нет, а также 400 рублей шестью купюрами. Всего у Гриши 470 рублей. Он пересчитал все монеты и купюры и записал их количество (рис. 5). Рис. 5. Количество монет и купюр в задаче «Кассовый аппарат» Вопрос 1. Составьте числовое выражение, которое показывает, что Гриша учел в таблице всю сумму денег. Числовое выражение _____________________________________ Вопрос 2. Докажите, что Гриша может за два дня положить на счет все купюры на сумму 400 рублей. Объясните свой ответ. характеристики заданий и система оценивания Вопрос 1. характеристики задания: – содержательная область оценки – количество; – компетентностная область оценки – формулировать; – контекст – личная жизнь. Уровень сложности задания – 1. Формат ответа – краткий ответ. Описание задания: «объект оценки» – выполнение расчетов с на- туральными числами; составление числового выражения, соответству- ющего условию задания. Дополнительные характеристики: проверяются действия универ- сального характера: умение планировать ход решения, упорядочивать действия. Система оценивания: 1 балл – записано числовое выражение под- счета суммы денег (сумма четырех произведений), например, 10 × 6 + + 5 × 2 + 50 × 4 + 100 × 2. Ответ считается верным, если слагаемые за- писаны в любом порядке, а также сомножители в каждом произведе- нии записаны в любом порядке. 13 Пример верного ответа: 5 × 2 + 6 × 10 + 50 × 4 + 2 × 100 или 10 × 6 + 5 × 2 + 50 × 4 + 100 × 2. 0 баллов – другие ответы или ответы отсутствуют. Вопрос 2. характеристики задания: – содержательная область оценки – количество; – компетентностная область оценки – формулировать; – контекст – личная жизнь. Уровень сложности задания – 2. Формат ответа – развернутый ответ. Описание задания: «объект оценки» – выполнение расчетов с на- туральными числами; понимание смысла арифметического действия (деление с остатком). Дополнительные характеристики. Проверяются действия универ- сального характера: умение формулировать вывод. Система оценивания: 2 балла – дано объяснение, в котором пока- зано, сколько денег (и какими купюрами) можно положить в первый и сколько во второй день. В итоге из объяснения должно быть видно, что все купюры внесены за 2 дня. Обязательно должно быть указано, что сумма за 2 дня равна 400 р. Или это видно из объяснения (см. при- мер 2). Примеры возможного объяснения (ответы детей): 1. Пример 1. «1 день – 200 р. купюрами по 100 р., 2 день – 200 р. купюрами по 50 р., всего 400 р.» 2. Пример 2. «1 день – 250 р., 2 купюры по 100 р. и 1 – 50 р., 2 день – остальные 150 р., 3 купюры по 50 р. 3. Пример 3. 50 ∙ 4 = 200, 100 ∙ 2 = 200, 200 + 200 = 400 – за два дня. Система оценивания: 1 балл – объяснение неполное, в нем не упо- мянуто, какие именно и сколько купюр вносится в первый день и во второй день, но сумма за 2 дня составляет 400 р. Кроме того, в объяс- нении не должно быть неверных утверждений. Примеры возможного объяснения (ответы детей): 1. Пример 1. «За первый день Гриша может положить 300 рублей, а во второй день 100». 2. Пример 2. «За два дня можно внести купюрами 400 рублей: 1 день – 250 р., 2 день – 150 р.». 3. Пример 3. «1 день – 300 р., 2 день – 100 р., 400 : 300 = 1 (оста- ток 100). 100 рублей – во второй день». 14 4. Пример 4. «400 р. можно внести за 2 дня: 1 день – 200 р., 2 день – 200 р.». 5. Пример 5. «В первый день Гриша положит все купюры, равные 50, во второй – все, равные 100». 0 баллов – другие ответы или ответы отсутствуют. Задание 2. Комплексное задание «Команда лыжников» Тренер школьной команды лыжников для организации летних тренировок провел опрос спортсменов, чтобы узнать, есть ли у них скейтборды и лыжероллеры. На вопрос ответили 12 человек. Резуль- таты представлены в табл. 2. Таблица 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Скейтборд – + + + – + + + – + – + Лыжероллеры + + – + + – + – + – + – Обозначения: + есть, – нет Вопрос 1. На основе данных табл. 2 заполните табл. 3, которая показывает, сколько спортсменов имеют скейтборды и сколько спор- тсменов имеют лыжероллеры. Таблица 3 Снаряжение Количество спортсменов Скейтборд Лыжероллеры Вопрос 2. На основе данных табл. 2 составлены следующие ут- верждения. Отметьте знаком «+» верные. У каждого спортсмена есть и лыжероллеры, и скейтборд. Если у спортсмена есть скейтборд, то у него нет лыжероллеров. У всех спортсменов есть какое-то снаряжение для тренировок. У всех членов команды скейтбордов больше, чем лыжероллеров. Чтобы проводить тренировки на лыжероллерах, нужно еще 5 ком- плектов. Таким образом, вначале для пятиклассника дается описание ре- альной жизненной ситуации. Сведения, необходимые для понимания ситуации и выполнения заданий, представлены в тексте, в таблице, на рисунке. 15 Для того чтобы выполнить первое задание, от школьника требу- ется умение читать таблицу со статистическими данными и предло- женными условными обозначениями, выбирать нужную информацию из текста и таблицы, вносить полученные данные в другую готовую таблицу. Задание относится к заданиям низкого уровня сложности. Пятиклассник работает в знакомой ситуации с информацией, пред- ставленной в явном виде. Важность использования подобных заданий в учебном процессе определяется необходимостью формирования и поддержки у школьников умения работать с таблицами со статисти- ческими данными, которые используются при изучении разных учеб- ных предметов и в повседневной жизни (СМИ, инструкции на това- рах, расписание движения транспорта и т.д.). Для формирования ука- занных выше умений (читать и заполнять таблицу, выбирать информацию из текста и таблицы) могут быть использованы задания из учебников по математике и другим предметам, а также составлен- ные учителем и детьми на основе жизненного опыта. Второе задание имеет повышенный уровень сложности. Услож- нение достигается не только за счет изменения характера самого зада- ния, но и через привлечение более сложных видов деятельности для его выполнения (интеллектуальных умений, связанных с работой с ут- верждениями). На основе данных табл. 2, приведенной в описании си- туации, составлены несколько утверждений, в которых использованы логические связки и термины. От учащихся требовалось установить истинность каждого из этих утверждений. Для успешного выполнения задания ученикам нужно было соотнести утверждение и информацию табл. 3, интерпретировать логические связки, провести соответству- ющие ситуации логические рассуждения. На уроках математики подобные задания можно использовать для формирования и поддержки умения работать с таблицами со статисти- ческими данными, проверять истинность утверждений, содержащих логические связки и термины. Задание 3. Комплексное задание «Петергоф» Москвич Петр Петрович решил отправиться на два дня в Санкт- Петербург в гости к своему бывшему однокласснику. Он купил билет на поезд, который отправляется с Ленинградского вокзала в 15.00. Вопрос 1. В какое время Петру Петровичу нужно выйти из дома, если: – от дома до ближайшей станции метро идти 10 минут; 16 – на метро ехать 7 мин; – от станции метро до железнодорожной платформы идти 20 минут; – рекомендуется прибыть на вокзал за 30 минут до отправления поезда. Запишите ответ и решение. Вопрос 2. Петр Петрович и его одноклассник Иван Иванович ре- шили отправиться в Большой Петергофский дворец. В музей с ними пошли жена Ивана Ивановича, которая является членом Международ- ного совета музеев, а также двое их детей – шестиклассник и дошколь- ник. Перед входом они увидели объявление о ценах на этот день: «Входной билет – 1000 р. Льготное посещение: лица, не достигшие 16-летнего возраста, оплачивают половину стоимости входного билета. Бесплатное посещение предоставляется: – детям дошкольного возраста; – членам международного совета музеев; – членам Организации объединенных наций по вопросам образо- вания, науки и культуры; – лицам, имеющием социальные льготы (например, ветераны во- йны и труда)». Иван Иванович решил оплатить билеты всей группе. Докажите, что на все билеты Ивану Ивановичу потребуется менее 3000 р. Чтобы справиться с заданием, пятикласснику потребуются следу- ющие умения: извлекать и учитывать в ходе рассуждений информа- цию из разных частей задания (из общего описания ситуации, из уточ- няющих сведений), выполнять действия с величинами времени (с пе- реходом от одних единиц времени к другим), приводить решение или объяснение, подтверждающее полученный ответ. Задание имеет по- вышенный уровень сложности. Для успешного выполнения этого задания необходимы предмет- ные и общеучебные умения: умение учесть все условия и данные учебной задачи, умение обосновать с помощью рассуждений или вы- числений полученный ответ, правильно выполнить перевод единиц из- мерения времени (часы, минуты), умение выполнить арифметические действия. Во втором задании сюжетная линия развивается. Ученику пред- лагается рассмотреть близкий к реальному случай посещения музея 17 группой детей и взрослых. В ходе выполнения задания пятиклассник получает возможность продемонстрировать умение доказывать истин- ность приведенного утверждения на основе данной в тексте информа- ции и привлечения собственного жизненного опыта. От ученика тре- буется сопоставить информацию, представленную в разных частях за- дания (общего описания ситуации, уточняющего описания условий посещения музея), найти долю числа, выполнить устно действия с круглыми многозначными числами, привести решение/объяснение, подтверждающее полученный ответ. Задание высокого уровня слож- ности. Подобные задания можно включать в урок для расширения мате- матического кругозора школьников, а также в дополнительную часть (или в конец проверочной работы) в расчете на тех, кто демонстриру- ет более высокий уровень математической подготовки, быстрее дру- гих учащихся справляется с заданиями базового уровня сложности, проявляет интерес к изучению предмета. ЗАДАНИя ДИАГНОСТИЧЕСКОй РАБОТы ДЛя ОБУЧАЮщИхСя 9-х КЛАССОВ Комплексное задание «Полочка в шкафу» Чтобы сделать полку в шкафу, Юра ищет кусок фанеры подходя- щего размера. Полка должна иметь форму прямоугольника со сторона- ми 22 см и 38 см. Один из друзей предложил ему лист фанеры в форме прямоугольной трапеции с основаниями 58 см и 35 см, высотой 24 см. Задание 1. Юра попросил своих друзей – Кирилла, Ивана и Илью – помочь ему ответить на этот вопрос. 18 Мнения Кирилла и Ивана разошлись. Кирилл: я считаю, что лист фанеры подойдет, если площадь ли- ста фанеры больше площади полки. Иван: я считаю, что любой лист фанеры не подойдет, если боль- шая сторона полки больше, чем меньшее основание листа фанеры. Согласны ли вы с аргументами ребят? Если не согласны, приве- дите контрпример. Задание 2. Илья сделал чертеж и предложил такое решение: «Предположим, что наш прямоугольник, большая из сторон которого равна 38 см, разместился внутри трапеции так, что его вершина ока- залась на боковой стороне трапеции (рис. 6). Рис. 6. Иллюстрация к заданию «Полочка в шкафу» Найдем х – длину смежной стороны этого прямоугольника. Это наибольший из прямоугольников со стороной 38 см, который можно разместить внутри трапеции. Если смежная сторона прямоугольника больше х, то его разместить внутри трапеции нельзя. ВС – высота трапеции. Из подобия треугольников АВС и АКМ на- ходим х: AM AС = x BС ; 58 – 38 23 = x 24 ; 20 23 = x 24 ; x = 20,9 см. 20,9 см < 22 см (длины меньшей стороны полки). Значит, прямоугольник со сторонами 38 и 22 см нельзя разме- стить внутри данной трапеции». Какие геометрические факты использовал Илья в своем решении? Отметьте все верные варианты ответа: противоположные стороны прямоугольника равны; в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора); если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны (первый признак подобия треугольников); высота прямоугольной трапеции разбивает ее на прямоугольник и прямоугольный треугольник; 19 параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (теорема Фалеса). Комплексное задание «Игра в лото» При игре в лото используют непрозрачный мешок с деревянными бочонками, на торце каждого из которых нанесены числа от 1 до 90. За один ход ведущий наугад вынимает из мешка по одному бочонку и называет соответствующее число. У каждого игрока есть карточка в форме прямоугольника, разде- ленного на 3 горизонтальных и 9 вертикальных рядов, всего 27 ячеек (рис. 7). В каждом горизонтальном ряду расположено по 5 чисел в произвольном порядке, всего 15 чисел. Остальные клетки пустые. Игрок должен закрыть бочонками все ячейки с числами. Выигрывает тот, кто сделает это первым. Рис. 7. Иллюстрация к заданию «Игра в лото» Задание 1. А) На карточке Тимофея одно однозначное число, остальные – двузначные. Какова вероятность того, что первым ходом ведущий вынет бочонок с любым однозначным числом? Б) Тимофей родился 15 декабря, поэтому считает число 15 своим счастливым числом. Какова вероятность того, что первым ходом ве- дущий вынет бочонок с числом, кратным 15? Задание 2. На карточке Тимофея три числа с двумя одинаковыми цифрами – 22, 77 и 88. Ведущий делает первый ход. Какова вероят- ность того, что ведущий вынет бочонок с одним из этих чисел? Задание формулируется вне предметной математической области в том смысле, что для ученика описана ситуация, которая может воз- никнуть в ходе игры, а не изучения раздела математики. Вместе с тем включение в условие задания вопроса, связанного с математическим понятием «вероятность события» помогает учащимся «увидеть» объ- ект, который встречался им на уроках математики. Оба задания сосре- доточены в одной области содержания – неопределенность и данные. Для успешного выполнения заданий от ученика требуется умение вы- 20 числить вероятность случайного события, используя определение. Для получения ответа требуется владеть понятием дроби. НОВыЕ ТИПы ЗАДАНИй Комплексное задание «Использование смартфона» В таблице (рис. 8) показано население (в миллионах) и количество смартфонов пользователей (в миллионах) для ряда стран Азии. Дан- ные отсортированы по названию страны. Исходные данные представ- лены в электронной таблице. Задание 1. Требуется ответить на вопрос о том, какая из указан- ных операций над данными в столбцах В и С позволит определить ре- зультат в столбце D. Рис. 8. Иллюстрация к заданию «Использование смартфона» Задание 2. На основе данных, представленных в таблице, требу- ется определить истинность или ложность высказываний: – страна с самым большим населением имеет самое большое ко- личество пользователей смартфонов; – страна с наименьшим количеством пользователей смартфонов имеет наименьшее население; 21 – страна с самой высокой долей пользователей смартфонов имеет наименьшую численность населения; – страна с медианной долей пользователей смартфонов является одновременно и страной с медианным количеством пользователей смартфонов. Комплексное задание «Красота степеней» Задание 1. А) Верно ли утверждение: число 8 16 в 8 раз больше числа 8 15 ? Б) Верно ли утверждение: число 8 10 в 10 раз больше, чем число 8? Задание 2. Дано выражение (–5) 43 + (–1) 43 + (5) 43 . Какое из чисел является его значением: А) –1 Б) 1 В) 0 Г) 5 Задание 3. Первые девять степеней числа 7 перечислены ниже. Обратите внимание, что последние цифры этих чисел соответствуют правилу или шаблону. 7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2401 7 5 = 16 807 7 6 = 117 649 7 7 = 823 543 7 8 = 5 764 801 7 9 = 40 353 607 Дайте ответ на вопрос: какой будет последняя цифра числа 7 190 ? Комплексное задание «Плитка» Имеется два образца плитки для облицовки пола (рис. 9). Рис. 9. Образцы плитки 22 Образец мозаики (рис. 10) создан с помощью комбинации двух плиток. Используя блоки А и В, завершите укладку остальной части пола, сохраняя тот же рисунок. Рис. 10. Иллюстрация к заданию «Плитка» Комплексное задание «Навигация» Задание. На карте представлены улицы города (рис. 11). Устано- вите истинность или ложность каждого из утверждений: – существует маршрут от C до B, который включает диагональ 1 и короче 7 ед.; – существует маршрут от C до B, который включает диагональ 2 и короче 7 ед.; – существует маршрут от C до B, который включает диагональ 3 и короче 7 ед. Рис. 11. Иллюстрация к заданию «Навигация» Комплексное задание «Моделирование» Задание. Юлия и ее родители обсуждают, как лучше сэкономить, чтобы поддержать ее расходы, когда она пойдет в колледж. Они опре- 23 делили онлайн-приложение (рис. 12), которое позволяет им изучить различные способы достижения требуемого результата. При моделировании учитываются четыре переменные: – ежемесячный депозит: сумма денег, которую семья вкладывает в сбережения; – срок накопления: количество месяцев, за которые семья вносит ежемесячный доход; – годовая процентная ставка, которую приносит сберегательный счет; – общая экономия: общая сумма, которая будет сохранена в кон- це экономии. Рис. 12. Иллюстрация к заданию «Моделирование» Используя симулятор, вычислите неизвестную сумму в каждой ситуации. 1. Сколько всего Зедов сэкономит Юлия, если она будет вносить: – депозиты 60 Зедов в месяц; – на срок 48 месяцев; – под 4% годовых. 24 2. Сколько Зедов должна вносить Юлия ежемесячно, если она: – хочет получить 4000 Зедов; – в течение 36 месяцев; – под 8% годовых. 3. Сколько времени (в месяцах) потребуется Sizwe, чтобы: – получить 6000 Зедов; – если она вносит 100 Зедов в месяц; – под 10% годовых. Анализируя содержание заданий, можно отметить, что перечень базовых умений, которые должен освоить школьник, значительно рас- ширяется. При этом инструментом для работы с данными во многих случаях является компьютер. 25 Р а з д е л 2 ПРИЕМЫ, МЕТОДЫ, ТЕХНОЛОГИИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ Что должно меняться в преподавании математики сегодня? Результаты проведенных исследований показывают, что основой математической грамотности обучающихся являются базовые знания и умения. Не сможет школьник решить задачу практического содер- жания, если он не владеет вычислительными навыками, не умеет вы- полнять действия с дробями, находить процент от числа, не помнит формул геометрии, не понимает смысла терминов «событие», «веро- ятность события». Именно поэтому актуальной задачей является формирование ба- зовых математических умений у всех обучающихся. На основе прове- денного анализа были выделены умения, на формирование или разви- тие которых следует обратить внимание при обучении в 5-х и 7-х классах. 5-й класс: – выполнять действия с натуральными числами, с обыкновенны- ми дробями: упорядочение долей, сложение и вычитание несложных дробей; – выполнять действия с числовыми выражениями; составлять чис- ловое выражение; – выполнять деление с остатком, иметь представление о делите- лях и кратных; – выполнять приближенные вычисления, прикидку и оценку ре- зультата вычислений, округлять до указанной разрядной единицы, а также с учетом условий описанной ситуации по недостатку или по из- бытку; – распознавать и делать выводы о зависимости между двумя ве- личинами (прямая/обратная); решать задачи на увеличение/уменьше- ние на/в; 26 – переводить единицы измерения длины и времени из более круп- ных в более мелкие и обратно; – решать задачи методом перебора вариантов; – читать, заполнять и интерпретировать данные таблиц, столбча- той и круговой диаграммы; – иметь представление о шкалах; ориентироваться на числовой прямой; – устанавливать соответствие между реальным размером объекта и представленным на изображении; – распознавать геометрические формы и описывать объекты окру- жающего мира с помощью языка геометрии; – представлять объект по описанию, рисунку, заданным характе- ристикам; мысленно трансформировать трехмерную фигуру (реаль- ный объект) в двумерную и обратно, распознавать развертки куба, па- раллелепипеда; – складывать фигуры из квадратов, прямоугольников, треуголь- ников, отрезков, разбивать на указанные формы; – использовать для решения задач простейшие свойства квадрата и прямоугольника; – иметь представление о площади и периметре, применять фор- мулы нахождения периметра и площади квадрата и прямоугольника; – проверять истинность утверждений, обосновывать вывод, ут- верждение, полученный результат; 7-й класс: – выполнять все виды деятельности, указанные для 5-го класса, а также: – сравнивать рациональные числа, выполнять вычисления с раци- ональными числами, реальные расчеты; – вычислять проценты (процентное снижение/повышение), про- порции и отношения, масштаб, использовать основное свойство про- порции, пропорциональное увеличение/уменьшение; – понимать закономерности, составлять последовательности; – читать графики зависимостей (линейная и нелинейная); – составлять математическое описание предложенной зависимо- сти в общем виде (в виде выражения/формулы); – использовать простейшие свойства треугольника, окружности; – распознавать комбинации различных плоских форм – отрезков, окружностей, полуокружностей, дуг; 27 – распознавать трехмерные фигуры: цилиндр, конус, пирамиду (элементы фигур, развертки), комбинации пространственных фигур; – иметь представление о статистических характеристиках – сред- нем арифметическом, медиане, моде, размахе, наибольшем и наимень- шем значении набора данных; – интерпретировать данные, представленные в таблицах и на диа- граммах, на графиках; – составлять высказывания, проверять истинность утверждений. |