Формирование математической грамотности
 Скачать 6.52 Mb.
|
|
§ 5. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИХ СВОЙСТВ ЧЕРЕЗ ВНЕУРОЧНУЮ ЗАНЯТОСТЬ. КРУжОК «ИЗОНИТЬ» В Концепции развития математического образования в Россий- ской Федерации отмечается: «Математика занимает особое место в на- уке, культуре и общественной жизни, являясь одной из важнейших со- ставляющих мирового научно-технического прогресса». Каждому обу- чающемуся должна быть предоставлена возможность достижения уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успеш- ной жизни в обществе, обеспечения развивающей интеллектуальной деятельности на доступном уровне с использованием присущей мате- 62 матике красоты и увлекательности. В системе школьного образования особое место отводится геометрии, которая является не только основ- ной математической дисциплиной, но и одним из важнейших компо- нентов общечеловеческой культуры. Недостатки в освоении геоме- трии ведут к серьезному ущербу всего миропонимания, как матери- ального, так и духовного. Геометрия и искусство связаны друг с другом. С помощью геоме- трических форм художники создают удивительные абстракции, иллю- страции животных, портреты людей и другие исключительные творе- ния. Оказывается, можно создавать шедевры не только карандашами, кисточками, мелом, а и разноцветными нитями. ОПыТ ИСПОЛьЗОВАНИя ТЕхНИКИ «ИЗОНИТь» В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ* Нитяная графика – графическая техника, получение изображения нитками на картоне или другом твердом основании. Нитяную графи- ку также иногда называют «изонить», «изображение нитью», «изогра- фика», «ниточный дизайн». Эта техника напоминает вышивание. Она заключается в создании художественного образа путем пересечения цветных нитей на любом материале (канве, бархатной бумаге, цветном картоне и т.д.). Нитяная графика как вид декоративно-прикладного искусства впервые появи- лась в Англии в XVII веке. Английские ткачи придумали особый спо- соб переплетения ниток. Они забивали в дощечки гвозди и в опреде- ленной последовательности натягивали на них нити. В результате по- лучались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилища. Интерес к нитяной графике то появлялся, то ис- чезал. Казалось бы, как связана геометрия и изонить? Однако, еще в XIX веке математик и педагог Мэри Эверест Буль стала использовать при- емы изонити для обучения детей геометрии. Во всех техниках графи- ческое изображение создается способом пересечения нитей и сочета- нием простых геометрических форм: треугольников, окружностей, овалов, дуг, завитков и прямых линий. * Приведен опыт Л.И. Руденко, учителя математики МАОУ «СОШ № 33» г. Череповца. 63 Целью занятий курса внеурочной деятельности «Изонить» явля- ется поддержка базового курса геометрии, формирование всесторонне образованной и инициативной личности, владеющей системой мате- матических знаний и умений. Задачи курса: – выявлять и развивать математические способности учащихся; – интегрировать знания учащихся в изобразительном искусстве, архитектуре, декоративно-прикладном творчестве; – формировать навыки самостоятельной работы; – воспитывать сознательное отношение к геометрии как важному компоненту общечеловеческой культуры; – воспитывать уважительное отношение между членами коллек- тива в совместной творческой деятельности; – воспитывать привычку к труду, умение доводить начатое дело до конца; – развивать математическое мышление, смекалку, эрудицию. Новизна курса заключается в том, что теоретический материал из- лагается на наглядно-интуитивном уровне с организацией разнообраз- ной геометрической деятельности: наблюдение, экспериментирование, конструирование и другое, в результате чего учащиеся самостоятель- но добывают геометрические знания и развивают специальные каче- ства и умения: геометрическую интуицию, пространственное вообра- жение, глазомер, изобразительные навыки. Эта техника позволяет детям ознакомиться с геометрическими фи- гурами и терминами, такими, как хорда, равнобедренный треугольник, тупой и острый угол и т.д. Изучая тему «Геометрическая форма», уче- ники повторяют определения различных видов углов, их величин, длин сторон треугольников, понятие об окружности, центре, хорде разной длины и ее направлении. Дается много упражнений на количественный и порядковый счет. Закрепляется понятие о точке отсчета, становится понятно, что результат количественного счета не зависит от начала от- счета и направления счета. На занятиях по теме «Ориентировка на пло- скости» повторяем направления: вверх, вниз, слева, справа. Изучаем те- му «Параллельные и пересекающиеся прямые», «Симметрия» и «Заме- чательные кривые». Ученики изображают различные углы, окружности, дуги, овалы, завитки, треугольники и другие фигуры и моделируют их с использованием образцов. 64 Изонить сочетает в себе графику, геометрию, изобразительное искусство (композиция, цветоведение), математику (расчеты схем, возрастающий и убывающий ряд чисел), технологию (знакомство и работа с различным материалом: картон, бумага, нитки, бисер и т.д.). Основными результатами освоения программы являются: – приобретение детьми умений и навыков работы в технике изо- нити; – изучение основных геометрических фигур и их свойств; – умение планировать и организовывать самостоятельную работу; – приобретение навыков сотрудничества и бесконфликтного по- ведения. На занятиях дети осваивают навыки владения шилом, иглой, нож- ницами, фигурными трафаретами, приобретают опыт рисования и руч- ного труда, закрепляют знания о геометрических фигурах и их свой- ствах. Структура занятия включает в себя три части: вводную, основ- ную и заключительную. Вводная часть – каждое занятие начинается с организационного момента. Именно здесь создается эмоциональное настроение у детей, идет объяснение нового материала. В основной (практической) части дети выполняют задание, проводится индивиду- альная работа. Очень важна заключительная часть – в ней подводится итог занятия. Просмотр и анализ детских работ в конце занятия – важное усло- вие успешного развития детского продуктивного творчества. Во- первых, детям это нравится, а во-вторых, позволяет ребенку полнее осмыслить результат своей деятельности. Для повышения интереса к занятию детям предоставляется как можно больше самостоятельности. При этом не ставится задача точно повторить образец, важно вызвать у детей желание творить самому, изменять, усовершенствовать. Когда работа закончена, можно попро- сить ребят рассказать, что они хотели изобразить. Дети ждут одобре- ния. Каждому хочется, чтобы его работа всем понравилась. Одним из важных средств поощрения являются разнообразные выставки детских поделок (рис. 27). Выставка – очень важный момент сравнения своей работы с работой сверстников. В эти минуты ребенок лучше видит свою работу и лучше понимает другие. Одной из форм выставки, на которой можно использовать все работы, является укра- шение зала к праздникам. Такие выставки очень радуют детей и их ро- дителей. 65 Рис. 27. Рисунок в технике «Изонить» Изонить является эффективным средством изучения геометриче- ских фигур, их свойств, а также трудового и эстетического воспита- ния учащихся. Изучение геометрии через внеурочную занятость «Изо- нить» положительно влияет на своевременное формирование геоме- трической зоркости и интуиции, пространственного воображения, творческих способностей учащихся, развитие интереса к геометриче- ским образам и в целом к геометрии как к науке и обладает уникаль- ными возможностями для решения главной цели общего математиче- ского образования – целостного развития и становления личности средствами математики. § 6. ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ РАБОТАТЬ С ЧИСЛОВЫМИ ДАННЫМИ В эЛЕКТРОННОЙ ТАБЛИЦЕ Интеграция математики и компьютерных технологий позволит глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления мате- матических закономерностей. Компьютер обладает такими дидактическими возможностями, как: – увеличение возможностей для реализации творческой активно- сти учащихся, особенно при анализе и систематизации учебного про- цесса; – приобретение навыков самоконтроля и самостоятельного ис- правления допущенных ошибок; – углубление исследовательских способностей учащихся; – осуществление интегрированного обучения предмету; – усиление мотивации учащихся. 66 С помощью графических возможностей электронной таблицы (ЭТ) можно решать задачи, уравнения и системы уравнений. Наличие встроенных математических и логических функций дает возможность очень быстро выполнять разнообразные операции как над числами, так и над текстами, производить простые и сложные вычисления, соз- давать всевозможные диаграммы. Применять ЭТ можно как на уроках, так и во внеурочной деятельности – на факультативных занятиях или в проектной деятельности обучающихся. ТЕхНОЛОГИя ПОСТРОЕНИя ГРАФИКА ФУНКЦИИ В EXCEL* Создание таблицы значений Создадим таблицу, первый столбец назовем «Переменная x» (ячейка А1), второй – «Переменная y» (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем выражение для самой функции, чтобы было по- нятно, какой график будем строить. Введем значения –5, –4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. По- лучим последовательность от –5 до 5 с шагом 1 (рис. 28). Рис. 28. Заполнение таблицы значений переменной Вычисление значений функции Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить имя ячейки, где находится соответ- ствующее значение х. * Материал подготовила И.И. Гончарук, учитель математики и информа- тики высшей квалификационной категории МБОУ «Средняя школа № 2» г. Грязовца. 67 Важно: для возведения в степень используется знак ^, обязатель- но между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умноже- ния – *. Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Скопируем полученную формулу вниз. Для этого подведем курсор к правому нижнему углу ячейки с формулой, при этом появится черный крест в этом углу ячейки, затем, удерживая нажатой левую кнопку мыши, со- вершим движение вниз. Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [–5; 5] с шагом 1 (рис. 29). Рис. 29. Заполнение таблицы значений функции Построение графика Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (мож- но выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми). Мы получили график данной функции. Используя вкладки Кон- структор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИй В ЭЛЕКТРОННых ТАБЛИЦАх И ИССЛЕДОВАНИЕ Их СВОйСТВ В 9-м классе при изучении квадратичной функции у = ах 2 + bx + c строятся графики функций: сначала график функции у = х 2 , затем у = ах 2 , при разных значения параметра а. Далее строятся графики у = ах 2 + n и у = а(х – m) 2 . Все эти графики можно построить в элек- 68 тронных таблицах и затем проецировать на экран с помощью проек- тора при объяснении этой темы учителем. Преимуществом является наглядность, быстрота. Электронные таблицы позволяют ускорить процесс построения графиков, их точность. Это позволяет рассмо- треть больше примеров, построить больше графиков с тем, чтобы уча- щиеся могли лучше усвоить данную тему. Так, например, при построении графиков функций у = ах 2 + n и у = а(x – m) 2 построим в одной системе координат графики функций у = –1/2х 2 и у = –1/2х 2 + 4 (рис. 30): Рис. 30. Таблица значений и графики функций В старших классах очень удобно показывать в Excel построение графиков тригонометрических функций. Для их построения необхо- димо переводить значения аргумента из градусов в радианы. В 10–11-х классах кроме графиков элементарных функций можно выполнять построение и графиков сложных функций. Например, ис- пользуя ЭТ, построить график функции f(x) = cos2 x – cos x на интер- вале [–7; 7] с шагом 0,2 (рис. 31). Или, например, построить в MS Excel графики функций y = sin x и y = |1 – sin x| на промежутке [–360°; 360°] с шагом 15° (рис. 32). Для развития интереса к математике можно предложить задания, выходящие за пределы программы. Эти вопросы можно изучить на факультативных занятиях. Например, построить красивые графики: спираль Архимеда; астроиду; улитку Паскаля; лемнискату Бернулли; график в форме сердца. 69 Рис. 31. График сложной функции Рис. 32. Графики функций y = sin x и y = |1 – sin x| ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ В EXCEL Для построения диаграммы достаточно иметь таблицу данных, выделить ее и, используя команду Вставка, в группе Диаграммы вы- брать нужный тип диаграммы. Построение диаграмм можно исполь- зовать на тех уроках математики, где изучается статистический мате- риал, а также для визуализации данных при оформлении исследова- тельских работ. Например, при изучении темы «Наглядное представление стати- стической информации» можно в рамках самостоятельной работы предложить учащимся в среде ЭТ выполнить построение диаграммы результатов обработки данных. Пример самостоятельной работы: Даны результаты экзамена по математике учащихся 9-го класса в количестве 20 человек: 3, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 5, 5, 4, 3. Выполните обработку данных по предложенному плану. 1. Упорядоченный ряд ____________________________________ 2. Таблица частот 70 Таблица 18 Оценка Частота 3. Среднее арифметическое = 4. Мода = 5. Размах = 6. Медиана = 7. Постройте диаграмму результатов экзамена в ЭТ. Применение диаграмм для обработки данных общественного опроса при выполнении исследовательских работ позволяет сформи- ровать навык обработки, чтения и анализа полученной информации. Многообразие видов диаграмм вызывает интерес обучающихся, поэ- тому можно организовать занятие по математике, связанное с постро- ением различных диаграмм. ИСПОЛьЗОВАНИЕ ЭТ ДЛя РЕШЕНИя ПРИКЛАДНых МАТЕМАТИЧЕСКИх И СТАТИСТИЧЕСКИх ЗАДАЧ* MS Excel содержит большое количество встроенных функций, предназначенных для выполнения расчетов различного типа: матема- тических, статистических, финансовых, что сделало MS Excel наибо- лее популярной пользовательской программой, применяемой в науке, технике, делопроизводстве. Решение расчетных математических задач в среде ЭТ позволяет создать условия для овладения общеучебными навыками, знаниями по предмету через практическую деятельность; обеспечить связь содер- жания задачи с реальной жизненной ситуацией; создать условия для формирования интереса к математике, для развития творческого мыш- ления школьников. Решение задач связано с изучением технологии обработки данных в ЭТ на уроках информатики, поэтому сложность задач варьируется в зависимости от опыта учащихся в освоении данной технологии. Сна- чала предлагаются задания с инструкцией, которая позволяет самосто- ятельно провести расчеты в обучающем режиме. Затем происходит переход к самостоятельной деятельности, в процессе которой обуча- * Материал подготовила И.И. Гончарук, учитель математики и информа- тики высшей квалификационной категории МБОУ «Средняя школа № 2» г. Грязовца. 71 ющийся строит математическую модель задачи, реализует ее в среде ЭТ, проводит расчеты и анализирует результат. Таким образом, фор- мируются навыки исследовательской работы. Рассмотрим примеры таких задач. Задача № 1 Заполните электронную таблицу данными и вычислите стоимость покупки по заданным формулам. Объясните смысл вычислений. Таблица 19 B C D E Наименование Цена в рублях Количество Стоимость хлеб 18,65 2 =С2*D2 Кофе 230,50 5 =С3*D3 Молоко 23,85 2 =С4*D4 Пельмени 51,30 1 =С5*D5 Чипсы 25,50 1 =С6*D6 Итого = СУММ (D2:D6) = СУММ (E2:E6) Задача № 2 Рассчитайте заработную плату сотрудникам предприятия. Таблица 20 A B C D E F G H 1 ФИО Долж- ность Базовая зарпла- та (руб) Премия (руб) Сев. коэфф (15%) На- чис- лено Налог (13%) К вы- даче 2 Сидоров А.Б. дирек- тор 15 000 1200 3 Федорова В.Е. бухгал- тер 10 000 1000 4 Иванов Г.Д. юрист 12 000 1100 5 Васильева С.Н. админи- стратор 9000 900 72 A B C D E F G H 6 Николаев Е.А. охран- ник 8000 850 7 Михайлова Н.П. уборщи- ца 4000 300 8 Всего 9 Среднее значе- ние 10 Минимальное значение 11 Максимальное значение Алгоритм выполнения задания Впишите нужные формулы в таблицу и проведите расчет заработ- ной платы. 1. Северный коэффициент определяется по формуле: (Базовая зар- плата + Премия)*0,15. В ячейку Е2 введите формулу =(С2+D2)*0,15 и нажмите клавишу ENTER. Затем выделите ячейку Е2 с полученным результатом, подведите указатель мыши к правому нижнему углу выделенной ячейки, указа- тель должен принять вид тонкого черного креста ┼, протащите его с нажатой левой кнопкой по ячейку Е7. 2. «Начислено» определяется по формуле: Базовая зарплата + Премия + Северный коэффициент. В ячейку F2 введите формулу =С2+D2+E2 и нажмите клавишу ENTER. Затем выделите ячейку F2 с полученным результатом, подведите указатель мыши к правому нижнему углу выделенной ячейки, указа- тель должен принять вид тонкого черного креста ┼, протащите его с нажатой левой кнопкой по ячейку F7. 3. Налог определяется по формуле: Начислено * 0,13. В ячейку G2 введите формулу =F2 * 0,13 и нажмите клавишу ENTER. Затем выделите ячейку G2 с полученным результатом, подведите указатель мыши к правому нижнему углу выделенной ячейки, указа- 73 тель должен принять вид тонкого черного креста ┼, протащите его с нажатой левой кнопкой по ячейку G7. 4. К выдаче определяется по формуле: Начислено – Налог. В ячейку H2 введите формулу =F2-G2 и нажмите клавишу ENTER. Затем выделите ячейку H2 с полученным результатом, подведите указатель мыши к правому нижнему углу выделенной ячейки, указа- тель должен принять вид тонкого черного креста ┼, протащите его с нажатой левой кнопкой по ячейку H7. 5. Используя функцию ∑ (Автосуммирование), найдите сумму Ба- зовых зарплат, Премий, Начисленных и Выданных денег. 6. Рассчитать Среднее значение в ячейке С9, используя команду Вставка функции: а. Выделить ячейку С9, щелкнуть значок fx на панели инструмен- тов Стандартная. b. В диалоговом окне Мастер функций в верхнем поле Категория выбрать Статистические, в нижнем поле Функция найти и выбрать СРЗНАЧ, нажать ОК. c. Появится диалоговое окно функции СРЗНАЧ, в поле Число1 указать диапазон С2 : С7, нажать ОК. d. Выделить ячейку С9 с полученным результатом и протащить за правый нижний угол по ячейку Н9. 7. Рассчитать Максимальное значение в ячейке С10, используя ко- манду Вставка функции. a. Выделить ячейку С10, щелкнуть значок fx на панели инстру- ментов Стандартная. b. В диалоговом окне Мастер функций в верхнем поле Категория выбрать Статистические, в нижнем поле Функция найти и выбрать МАКС, нажать ОК. c. Появится диалоговое окно функции МАКС, в поле Число1 ука- зать диапазон С2 : С7, нажать ОК. d. Выделить ячейку С10 с полученным результатом и протащить за правый нижний угол по ячейку Н10. 8. Рассчитать Минимальное значение в ячейке С11, используя ко- манду Вставка функции. a. Выделить ячейку С11, щелкнуть значок fx на панели инстру- ментов Стандартная. 74 b. В диалоговом окне Мастер функций в верхнем поле Категория выбрать Статистические, в нижнем поле Функция найти и выбрать МИН, нажать ОК. c. Появится диалоговое окно функции МИН, в поле Число1 ука- зать диапазон С2:С7, нажать ОК. d. Выделить ячейку С11 с полученным результатом и протащить за правый нижний угол по ячейку Н11. Задача № 3 Необходимо покрасить краской стены кухни. Сколько потребует- ся банок краски, если известно, что размеры кухни 405 × 310 × 285 см; 88% площади стен занимает кафельная плитка; 1 банка краски пред- назначена для покраски площади 5 м 2 ? I этап. Постановка задачи Описание задачи. a = 405 см – длина комнаты, b = 310 см – ширина комнаты, c = 285 см – высота комнаты, 1 – 0,88 = 0,12 – часть комнаты для покраски (без кафеля), 5 м 2 – площадь покраски при использовании 1 банки краски. Цель моделирования: определить необходимое количество краски. Формализация задачи в виде поиска ответов на вопросы. Таблица 21 Формализация задачи Уточняющий вопрос Ответ Что моделируется? Система, состоящая из двух объектов: комнаты и краски Форма комнаты? Прямоугольная Что известно о комна- те? Размеры задаются длиной (а), шириной (b), высо- той (с) Как учитывается окра- шиваемая поверхность? 88% не окрашивается, следовательно, можно рас- считать процент окрашиваемой поверхности Что известно о краске? 1 банка предназначена для покраски 5м 2 Можно ли купить часть банки с краской? Нет. Количество банок с краской должно быть це- лым Что надо определить? Необходимое количество банок с краской 75 II этап. Разработка модели. Информационная модель Таблица 22 Информационная модель задачи Объект Параметры Название Значение Краска Наименование образцов Площадь покраски при использовании 1 банки (S 1 банка ) Исходные данные Расчетные данные Комната Длина (а) Ширина (b) Высота (с) Неокрашиваемая поверхность (S стен с кафелем ) Площадь стен (S стен для покраски ) Исходные данные Исходные данные Исходные данные Рекомендуется 88% Расчетные данные Система Количество банок (К) Результаты Дополним информационную модель в табличной форме математи- ческой моделью. S стен с кафелем = 2(a + b)c; S стен для покраски = 2(a + b)c * 0,12. Чтобы определить, сколько потребуется банок краски, надо пло- щадь для покраски разделить на 5 м 2 , т. е. S стен для покраски /5 и результат округлить до целых. На основе информационной и математической моделей составля- ется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную та- блицу, вводим формулы (рис. 33). Рис. 33. Электронная таблица в режиме отображения формул 76 III этап. Компьютерный эксперимент 1. Проведем расчет количества банок краски, необходимых для покраски стен кухни. 2. Изменим данные (1 банки краски хватит на 2 м 2 , 1 м 2 , 3 м 2 , 0,5 м 2 ) и проследим за пересчетом результатов. IV этап. Анализ результатов С помощью MS Excel мы определили, что для покраски стен кух- ни необходима 1 банка краски. Можно также определить, сколько кра- ски понадобится, если размер кухни будет иным или 1 банку краски хватит на иную площадь. В старших классах после изучения темы «Моделирование в элек- тронных таблицах» по информатике можно использовать ЭТ для ре- шения задач прогнозирования и оптимального планирования при вы- полнении исследовательских работ. Использование инструментов «Поиск решения» и «Подбор параметра» дает возможность проведе- ния таких исследований. |