Гбоу впо московский государственный медико стоматологический университет им. А. И. Евдокимова минздравсоцразвития РФ
 Скачать 7.52 Mb.
|
|
Ответ: 3.9. Для ответа на поставленный вопрос достаточно вспомнить уравнение гармонических колебаний. далее, разделив на массу, , и обозначив , получим уравнение динамики гармонического движения в каноническом виде: . Круговая частота гармонических колебаний однозначно связана с частотой: .. Ответ: . 3.10. Для ответа на поставленный вопрос достаточно вспомнить уравнение гармонических колебаний. далее, разделив на массу, , и обозначив , получим уравнение динамики гармонического движения в каноническом виде: . , Ответ:. 3.11. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях. , где , m. = = Полученное выражение потенциальной энергии говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: . В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения потенциальной энергии: . Ответ: . 3.12. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях. , где. = . Полученное выражение кинетической энергии говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: . В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения кинетической энергии: . Ответ: . 3.13. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях. , где, m. = = . Полученное выражение потенциальной энергии говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: . В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения потенциальной энергии: . Период колебаний потенциальной энергии: Ответ: . 3.14. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях. , где . = . Полученное выражение кинетической энергии говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: . В нашем случае: частота смещения равна: . Частота изменения кинетической энергии: . Период колебаний кинетической энергии: Ответ: . 3.15. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях. , где , m. = = Полученное выражение потенциальной энергии говорит о том, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда потенциальной энергии равна: . В нашем случае: круговая частота смещения равна: . Круговая частота изменения потенциальной энергии: . Ответ: . 3.16. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях. , где . = . Полученное выражение кинетической энергии говорит о том, что кинетическая энергия при гармонических колебаниях изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей, чем частота колебаний смещения точки от положения равновесия и амплитуда кинетической энергии равна: . В нашем случае: круговая частота смещения равна: . Круговая частота изменения кинетической энергии: . Ответ: . 3.17. По условию задачи гармонические колебания происходят по закону косинуса. Гармонические колебания происходят в изолированной системе и в случае механических колебаний сумма потенциальной и кинетической энергии в любой момент времени равна полной механической энергии. Полная энергия колебательной системы остаётся постоянной. Запишем закон гармонических колебаний и получим из него закон изменения потенциальной энергии при гармонических колебаниях. , где , m. = =. Закон изменения кинетической энергии при гармонических колебаниях, происходящих по закону косинуса ( , где . Выражение для полной энергии колебаний: +. В нашем случае: . Ответ: Полная энергия колебательной системы при гармонических колебаниях остаётся постоянной. . .. 3.18. Выражение для полной энергии колебаний: + . Найдём отношение энергий гармонических колебаний для рассматриваемых случаев: . Откуда следует расчётная формула: . Ответ: = 2 3.19 . По определению . Далее воспользуемся законом изменения амплитуды при затухающих колебаниях ч.т.д.. 3.20. Время, в течение которого произойдут колебаний равно , где период затухающих колебаний. По определению . Из условия задачи: или 3.21. Будем предполагать, что имеем дело со случаем, когда в системе наблюдаются затухающие колебания, амплитуда которых экспоненциально убывает со временем по закону: . Пусть – время, за которое произошли n полных колебаний.и. . Откуда: . Ответ: логарифмический декремент затухания . 3.22. До предела упрощая ситуацию, будем считать формулу для силы Стокса применимой, хотя скорость шарика при гармонических колебаниях не является постоянной. Сила Стокса - пример диссипативной силы, пропорциональной скорости. Вспомнив дифференциальное уравнение затухающих колебаний: (или, , обозначив , представив в каноническом виде: убеждаемся, что: . Коэффициент затухания легко находится из времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в «е» раз. , . , . Ответ:. 3.23. Используя формулу амплитуды затухающих колебаний, запишем выражение для отношения амплитуды в начальный момент A0 к амплитуде в момент времени t(At) : Прологарифмируем полученный результат по основанию e: Запишем формулу для промежутка времени t, используя число полных колебаний n и период колебаний T: t = n · T. Вспомним выражение для логарифмического декремента затухания: Получим расчётную формулу, подставим числовые значения, получим окончательный ответ: 3.24. Уравнение затухающих колебаний в каноническом виде: . В этом уравнении , где r – искомый коэффициент сопротивления. 2. - полная энергия колебаний системы к началу той минуты, за которую энергия уменьшилась на p = 40%. Будем считать, что круговая частота колебаний за время существования затухающих колебаний в системе, практически не изменяется и равна:. При затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем по закону: Тогда энергия при затухающих колебаниях зависит от времени по закону: . Где – энергия колебаний к началу минуты, за которую известен процент потери энергии колебаний. . Ответ: 3.25. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt). После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени: xt = Acos(Ωt–φ). Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы. Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на . Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} = , опережает по фазе смещение на . Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты: AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = . Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функции и выглядят так: Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = даёт: Откуда, используя теорему Пифагора, получим: AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt – φ) = = Ответ: 3.26. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды. Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции. Необходимое условие экстремального значения:имеет три решения первое очевидно ─ 1) ; второе и третье найдём, решая уравнение: 2) , 3) Условие минимума выполняется, если: Подсчитаем: Для, учитывая, что при колебаниях , получаем, что соответствует максимуму знаменателя формулы: Значит, при говорить о резонансе не приходится. Решение не имеет физического смысла (частота колебаний всегда положительная величина). Остаётся значение частоты: Привторая производная:, если и тогда знаменатель формулы: минимален, а сама амплитуда максимальна. Следовательно, резонансной частотой является: , иначе:. 3.27. В задаче 3.26 была найдена резонансная частота: Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты в формулу В случае отсутствия затухания: и 3.28. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt). После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени: xt = Acos(Ωt–φ). Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы. Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на . Ускорение смещения: A {- cos(Ωt–φ)} = = , опережает по фазе смещение на. Перепишем уравнение , учитывая полученные при дифференцировании результаты: AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = . Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию. На векторной диаграмме гармонические функции и выглядят так: Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = даёт: Откуда: . В случае отсутствия затухания β = 0 и , следовательно, и угол φ = 0. Ответ: φ = 0. 3.29. Решение: Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний происходящих при внешнем воздействии на колебательную систему силы, изменяющейся по закону: Ft = F0cos(Ωt). После того, как переходные процессы в колебательной системе закончатся, в системе будут происходить установившиеся гармонические вынужденные колебания с частотой Ω равной частоте вынуждающей силы. Закон вынужденных установившихся колебаний – смещение как функция времени: xt = Acos(Ωt–φ). Тем самым предположили, что колебания отстают по фазе от вынуждающей силы. Скорость смещения: AΩ {- sin(Ωt–φ)} = AΩcos(Ωt – φ +), опережает по фазе смещение на . Ускорение смещения:A {- cos(Ωt–φ)} = , опережает по фазе смещение на. Перепишем уравнение, учитывая полученные при дифференцировании результаты: AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = . Левая часть полученного равенства представляет собой сумму трёх гармонических функций одной и той же частоты Ω, разных амплитуд и фаз, а правая часть гармоническую функцию . На векторной диаграмме гармонические функции и выглядят так: Учёт фазовых соотношений и амплитуд колебаний при построении векторной диаграммы уравнения AΩcos(Ωt – φ +) + Acos(Ωt–φ) = = даёт: Откуда:. В нашем случае коэффициент затухания β > 0 и при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте будет стремиться к бесконечности и, следовательно, угол φ будет приближаться к 90о. Ответ: φ → ∞. 3.30. , , , , . Ответ: 3.31. Ответ: 1) - в сторону уменьшения координаты х. 3.32. Отметим, что ультразвуковые приборы относятся к техническим средствам лучевой диагностики, т.е. принцип их действия связан с волновыми процессами (в рассматриваемом случае с механическими колебаниями и волнами – ультразвуком). В волновых процессах разрешающая способность оборудования ограничивается физическим явлением – дифракцией волн. Наименьшее расстояние между двумя точками объекта, которые отобразятся двумя отдельными точками изображения, называется пределом разрешения. Предел разрешения величина обратная разрешающей способности. Теоретический предел разрешения прямо пропорционален длине волны используемого волнового процесса., где – предел разрешения, – коэффициент пропорциональности, - длина волны, - скорость распространения волны относительно среды, – частота колебаний в волне. Из сказанного следует, что: . Окончательно: = 2. |