Гидравлика. Лекция по гидравлики. Гидравлика представляет собой теоретическую дисциплину, изучающую вопросы

• Название: Гидравлика представляет собой теоретическую дисциплину, изучающую вопросы
• Анкор: Гидравлика
• Дата: 18.12.2021
• Размер: 1.29 Mb.
• Имя файла: Лекция по гидравлики.doc
• Тип: Документы; #307701
• страница: 4 из 11

2.8. Равновесие твёрдого тела в жидкости

Определим силу давления на твёрдое тело, погружённое в жидкость. На замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела погружённого в

жидкость будут действовать массо­вые силы (в данном случае силы тя­жести) и поверхностные, силы дав­ления на поверхность тела. Рассмот­рим действие сил давления. Как из­вестно, горизонтальные составляю­щие силы давления будут взаимно уравновешены. Так как проекции тела на координатную плоскость XOZс его левой и правой сторон совпадут; то совпадут и координаты центров тяжести этих проекций. То­гда проекции сил давления на ось

ОХ будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлению Аналогично можно записать и для проекций сил давления на ось OY(давление на проек­ции поверхностей в координатной плоскости YOZ),. Неуравновешенными будут

лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю стороны поверхности тела.

Вертикальными сечениями выделим на верхней и нижней половинах тела малые площадки. Тогда вертикальные составляющие на верхнюю и нижнюю площадки будут равны:



После интегрирования по объёму тела найдём равнодействующую сил давления. Она окажется равной разности весов двух тел давления, ограниченных свободной поверхно­стью жидкости и верхней и нижней поверхностями тела.

Равнодействующая сил давления носит название выталкивающей силы, эта сила на­правлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объёме вытесненной те­лом. Последнее положение получило название закона Архимеда. Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «тело, погружнное в жидкость теряет в своём весе столько сколько весит вытесненная им жидкость».

Таким образом, На погружённое в жидкость тело действуют две силы:

вес тела и выталкивающая сила

Если Тело будет тонуть.

Если Тело будет всплывать до тех пор пока вес тела и величина

выталкивающей силы, действующей на погруженную часть объёма тела не уравновесятся.

Если Тело будет находиться во взвешенном состоянии в жидкости,

т.е. плавать внутри жидкости на любой заданной глубине.

Для тела плавающего на поверхности жидкости должно, таким образом выполняться условие:

Другими словами, степень погружения плавающего на поверхности тела под уровень жидкости заваисит от со­ отношения плотности тела и жидкости:

Если тело однородное, то точка приложения силы тяжести тела и точка приложения выталкивающей силы совпадают. В тех случаях, когда плавающее на поверхности жидко­сти тело не однородно по своему составу (корабль с грузом) в условиях равновесия точки приложения действующих на тело сил располагаются в разных местах на прямой верти­кальной линии. В таких случаях на плавающее в жидкости тело действует пара сил, от

действия которой зависит положение тела относительно жидкости Такие плавающие тела могут находиться в ос­тойчивом и не остойчивом состоянии Так тело 1 под дей­ствием пары сил находится в состоянии равновесия На тело 2 действует пара сил, стремящаяся уменьшить угол крена (угол между осью плавания тела и плоскостью сво­ бодной поверхности жидкости) Такое положение пла­вающего тела называется остойчивым На тело 3 действует пара сил, стремящаяся увели­чить угол крена (перевернуть тело), такое положение тела называется не остойчивым по­ложением

^; t* 3. Элементы кинематики жидкости

Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел во­обще, вне связи с источником движения (силами). Это определение справедливо и для ки­нематики жидкости как отдельного раздела гидравлики. 3.1. Методы изучения движения жидкости.

Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не менее, нередки случаи, когда уровень иссле­дования движения жидкого тела требует глубокого знания физических процессов проис­ходящих в движущейся жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удоб­ная модель сплошной среды может оказаться неприемлемой.

Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно упо­мянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Описание движения жидкости методом Лагранжа сво­дится к рассмотрению положения частиц жидкости (в пол­ном смысле слова) в любой момент времени. Так в началь­ный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По истечении некоторого времени они переместились в точки: Г, 2',3'и4', причём это перемещение сопровожда­лось изменением объёмов и форм частиц (упругой деформа­цией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при своём движении участвуют в трёх видах движения (поступа­тельном, вращательном и деформации). Для описания такого сложного движения жидко­сти необходимо, таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции времени и координат.



Переменные а, Ь, с, и / носят название переменных Лагранжа. Задача сводится к ре­шению систем дифференциальных уравнений в частных производных для каждой части-

цы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может исполь­зоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных частиц жидкости. Ис­пользование этого метода для инженерных расчётов не рентабельно.

Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую дос­таточно большую совокупность точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится час­тица жидкости с определённой скоростью (вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость частиц жидкости, которые в данный момент времени нахо­дятся в этих точках. Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем мас­сив данных о скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его точке. Условно, нос достаточной точностью такое поле можно считать непрерывным.

Несмотря на то, что исходные условия создания модели движущийся жидкости до­вольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для расчётов.

Построение поля скоростей осуществляет­ся следующим образом:

На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем необходимое число точек, в которых находятся частицы жид­кости. Приписав их скорости точкам неподвижного про­странства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «момен­тальную фотографию» поля скоростей на вы­бранный момент времени. В следующий момент времени в тех же выбранных точках

неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие другие ско­рости . Выполнив уже

известную процедуру второй раз, получим но­ вую «моментальную фотографию» поля скоро­стей на момент времени . Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости

будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:



Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя состояние гидродинами­ческого поля на разные моменты времени , можно отметить, что с течени­ем времени поле изменилось, несмотря на то, что в отдельных точках 5 и 6 скорости оста­лись постоянными Такое поле называют нестационарным гидродина­мическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоро­стями, то поле скоростей во времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называ­ют стационарным. В соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: уста­новившееся, когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при неста­ционарном гидродинамическом поле.

3.2.Кинематические элементы движущейся жидкости

Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является ли­ния тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к кривой. И ходя из данного определения можно записать дифференциальное уравнение линии тока:

Если через некоторую неподвижную в пространстве кривую провести линии тока, то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой поверхно­стью тело будет называться трубкой тока. Жидкость, на­полняющая трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда не пересекают­ся, то поверхность трубки тока является непроницаемой внешней границей для элементарной струйки жидкости. Сечение трубки тока, нормальное к линиям тока называется живым сечением элементар­ной струйки dS. При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траекто­рии движения частицы жидкости совпадают. Объём жидкости протекающий через живое

сечение элементарной струйки в единицу времени называется расходом элементарной струйки.

?

где: объём жидкости, протекающий через живое сечение трубки тока за

время

расход жидкости в живом сечении трубки тока. Размерность расхода жидкости в системе СИ -м/с.

Гидродинамическое поле считается потенциальным (безвихревым), если в этом поле отсутствует вихревое движение жидкости. В потенциальном поле может существовать лишь поступательное или криволинейное движение жидкости. 3.3 Уравнение неразрывности жидкости

Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно за­писать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого уравне­ния основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды, в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространст­ве малый элемент жидкой среды в виде па­ раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно. . Грани

параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости, плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и переднюю грани элемента и вытекает через противопо­ложные грани. Будем считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допус­тить, что в пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движе­ния будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно разме­ры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут одинаковыми, как и плот­ность жидкости в пределах соответствующих граней. Тогда произведение плотности жид­кости на вектор скорости (импульс) в специальной литературе часто называют вектором

массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани элемента на ось ОХ будет равна:



а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось ОХ:

&

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал времени dt\



масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал времени dt:



Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси ОХ:



Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси OY:1,



и вдоль оси OZ:



Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости в произвольном направлении:

? или



Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости t = Q) - р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.

Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:



для времени :



Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

•> или:

i

откуда для наиболее общего случая нестационарного поля дифференциальное

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:



и для частного случая - стационарного поля :

«

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем ви­де:

?

3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2' малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного отсека

Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной интервал dt, будет равна:

Масса жидкости, вытекшая за это же время через противоположное сечение от­сека:

¹ В данном разделе для удобства записи вместо принятых ранее обозначений площади сечения элементар­ной струйки жидкости dSи элементарного расхода жидкости dQиспользуются обозначения: Sи Q.



За тот же интервал времени масса жидкости внутри отсека изменится на величину:

^ * откуда

*

Окончательно формула может быть представлена в виде



При установившемся движении жидкости (р = const) уравнение неразрывности при­мет вид:

3.5 Элементы кинематики вихревого движения жидкости

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вы­званное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси Такое враще­ние жидкости называется вихрем; угловая скорость этого элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная вихревыми линиями, проведенными через точки замк­нутого контура, называется вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с беско­нечно малой площадью сечения можно рассматривать как вращающийся твердый ци­линдр, окружная скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характе­ристикой вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит ме­рой завихренности. '

5

где: Г - циркуляция вектора скорости,

- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точ-

ке

- элемент длины контура

В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства про­исходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В иных случаях вихре­вое движение следует считать не стационарным.