задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 15. Задачи на целые числа При решении задач в целых числах важную роль играет понятие делимости чисел. Напомним, что целое число b делит целое число a, если существует такое целое число c, что a = bc. Если целое число де- лится на 2, то оно называется чётным. Чётными являются числа 0, ±2, ±4, ±6, . . . Общая формула чётного числа: 2n, n ∈ Z. Если целое число не делится на 2, то оно называется нечётным. Нечётными являются числа ±1, ±3, ±5, ±7, . . . Общая формула нечётного числа: 2n + 1, n ∈ Z. Полезно знать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Число делится на 2, если в его десятичной записи последняя цифра чётная. Число делится на 5, если в его десятичной записи последняя цифра равна либо 5, либо 0. Число делится на 10, если в его десятичной записи последняя цифра 0. Вообще, число делится на 10 𝑛 , если n его последних цифр равны 0. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Если произведение целых чисел x, y равно заданному числу k, то каждое из чисел x, y является делителем числа k. Например уравне- ние xy = 21 допускает следующие восемь решений в целых числах: (1; 21), (21; 1), (3; 7), (7; 3), (−1; −21), (−21; −1), (−3; −7), (−7; −3). Пример 15.1. При каждом значении a найдите все натуральные числа x, y, удовлетворяющие неравенству xy ¶ 3 − a 2 Решение. Поскольку числа x, y натуральные, их произведение не меньше чем 1. В то же время для любого значения a выполняется неравенство 3 − a 2 ¶ 3. Следовательно, произведение xy может при- нимать только значения 1, 2, 3. При 1 < |a| ¶ p 2 неравенству удо- влетворяет только пара x = 1, y = 1; при 0 < |a| ¶ 1 неравенству удо- влетворяют пары (1; 1), (2; 1), (1; 2); наконец, при a = 0 неравенству удовлетворяют пары (1; 1), (2; 1), (1; 2), (3; 1), (1; 3). Ответ: если 1 < |a| ¶ p 2, то решение (1; 1); если 0 < |a| ¶ 1, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2); если a = 0, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2), (3; 1), (1; 3); если |a| > p 2, то решений нет. 144 Часть 1. Решение задач Пример 15.2. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворя- ющие уравнению 3x 2 − 7 y 2 − 20xy = 15. Решение. Представим исходное уравнение в следующем виде: (3x + y)(x − 7 y) = 15. Поскольку мы решаем задачу в целых числах, 3x + y, x − 7 y тоже целые числа. Число 15 можно представить в виде произведения двух целых чисел так: 1 · 15, (−1) · (−15), 15 · 1, (−15) · (−1), 5 · 3, (−5) · (−3), 3 · 5, (−3) · (−5). Поэтому исходное уравнение равносильно совокуп- ности восьми систем в целых числах. 1. 3x + y = 1, x − 7 y = 15. Умножим второе уравнение на −3 и сложим с первым. Получаем 22 y = −44, откуда y = −2. Теперь из первого уравнения находим x = 1. Аналогично решим все оставшиеся семь систем. 2. 3x + y = −1, x − 7 y = −15 ⇔ y = 2, x = −1. 3. 3x + y = 15, x − 7 y = 1; решений в целых числах нет. 4. 3x + y = −15, x − 7 y = −1; решений в целых числах нет. 5. 3x + y = 5, x − 7 y = 3; решений в целых числах нет. 6. 3x + y = −5, x − 7 y = −3; решений в целых числах нет. 7. 3x + y = 3, x − 7 y = 5; решений в целых числах нет. 8. 3x + y = −3, x − 7 y = −5; решений в целых числах нет. Ответ: (1; 2); (−1; −2). Пример 15.3. Из области определения функции y = log 0,8 a 𝑎 − a 8𝑥+5 𝑥 +5 § 15. Задачи на целые числа 145 взяли все натуральные числа и сложили их. Найдите все положительные значения a, при которых такая сумма будет больше 8, но меньше 15. Решение. Выпишем условия на область определения функции: ¨ a > 0, a 𝑎 − a 8𝑥+5 𝑥 +5 > 0. Из последнего неравенства заключаем, что a 6= 1. Для решения этого неравенства рассмотрим два случая: a ∈ (0; 1) и a ∈ (1; +∞). I. Пусть a ∈ (0; 1). Тогда a 𝑎 >a 8𝑥+5 𝑥 +5 ⇔ a< 8x + 5 x +5 ⇔ (8 − a)x + 5 − 5a x +5 >0 ⇔ (8−a)· x + 5 a −5 a −8 x +5 >0. Решим последнее неравенство методом интервалов. Корень знаме- нателя x 1 = −5, а числителя x 2 = − 5a − 5 a − 8 . Поскольку при a ∈ (0; 1) справедливо неравенство 5a − 5 a − 8 = 5 + 35 a − 8 < 5, мы получаем x 1 < x 2 . Следовательно, решение неравенства при a ∈ ∈ (0; 1) имеет вид x ∈ (−∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞). Поскольку в этом случае среди решений содержится бесконечное множество натуральных чи- сел, условие задачи не выполнено. II. Пусть a ∈ (1; +∞). Тогда a 𝑎 >a 8𝑥+5 𝑥 +5 ⇔ a> 8x + 5 x +5 ⇔ (8 − a)x + 5 − 5a x +5 <0 ⇔ (8−a)· x + 5 a −5 a −8 x +5 <0. Для дальнейшего исследования придётся рассмотреть три случая в за- висимости от величины числа 8 − a. IIа. Пусть a ∈ (1; 8). Тогда исходное неравенство равносильно неравенству x + 5 a − 5 a − 8 x + 5 < 0. Поскольку при a ∈ (1; 8) справедливо неравенство 5a − 5 a − 8 = 5 + 35 a − 8 < 5, мы, как и ранее, имеем x 1 < x 2 . Следовательно, используя метод ин- тервалов, получаем решение x ∈ (x 1 ; x 2 ) = −5; −5 + 35 8 − a 146 Часть 1. Решение задач При a ∈ (1; 8) выполнено неравенство −5 + 35 8 − a > −5 + 35 8 − 1 = 0. Найдём те a, при которых сумма всех натуральных решений неравен- ства будет больше 8, но при этом меньше 15. Из соотношений 1 + 2 + 3 = 6 < 8, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 > 8, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 вытекает, что x 2 ∈ (4; 5], следовательно, 4 < −5 + 35 8 − a ¶ 5 ⇔ 9 < 35 8 − a ¶ 10 ⇔ 35 10 ¶ 8 − a < 35 9 ⇔ ⇔ − 9 2 ¶ −a < − 37 9 ⇔ 37 9 < a ¶ 9 2 Данные значения параметра a удовлетворяют условию задачи. IIб. Пусть a = 8. Тогда решений нет, так как получается неверное неравенство 0 > 0. IIв. Пусть a ∈ (8; +∞). Тогда исходное неравенство равносильно неравенству x + 5 a − 5 a − 8 x + 5 > 0. Поскольку при a ∈ (8; +∞) справедливо неравенство 5a − 5 a − 8 = 5 + 35 a − 8 > 5, мы получаем x 1 > x 2 . Используя метод интервалов, находим решение x ∈ (−∞; x 2 ) ∪ (x 1 ; +∞). И в этом случае среди решений бесконечно много натуральных чисел x, следовательно, условие задачи не выпол- нено. Ответ: a ∈ (37/9; 9/2]. Пример 15.4. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворя- ющие уравнению p 2x − y − 3 + p 2 y − x + 3 = 2 p 3 − x − y. Решение. Найдём ОДЗ данного уравнения: 2x − y − 3 ¾ 0, 2 y − x + 3 ¾ 0, 3 − x − y ¾ 0 ⇔ y ¶ 2x − 3, y ¾ x − 3 2 , y ¶ 3 − x ⇔ x − 3 2 ¶ y ¶ 2x − 3, x − 3 2 ¶ y ¶ 3 − x. (15.1) § 15. Задачи на целые числа 147 Из последней системы вытекает, что x − 3 2 ¶ 2x − 3, x − 3 2 ¶ 3 − x ⇔ ¨ 3 ¶ 3x, 3x ¶ 9 ⇔ 1 ¶ x ¶ 3. I. Пусть x = 1. Тогда из системы ( 15.1 ) следует, что ¨ −1 ¶ y ¶ −1, −1 ¶ y ¶ 2 ⇔ y = −1. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что пара (1; −1) не является решением: p 2 + 1 − 3 + p −2 − 1 + 3 = 0 6= 2 p 3 − 1 + 1. II. Пусть x = 2. Тогда из системы ( 15.1 ) следует, что − 1 2 ¶ y ¶ 1, − 1 2 ¶ y ¶ 1 ⇔ y = 0 или y = 1. Подставим в исходное уравнение x = 2, y = 0: p 4 − 0 − 3 + p 0 − 2 + 3 = 2 p 3 − 2 − 0. Таким образом, пара (2; 0) является решением исходного уравнения. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что другая пара (2; 1) не является решением: p 4 − 1 − 3 + p 2 − 2 + 3 = p 3 6= 0 = 2 p 3 − 2 − 1. III. Пусть x = 3. Тогда из системы ( 15.1 ) следует, что ¨ 0 ¶ y ¶ 3, 0 ¶ y ¶ 0 ⇔ y = 0. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что пара (3; 0) не является решением: p 6 − 0 − 3 + p 0 − 3 + 3 = p 3 6= 0 = 2 p 3 − 3 − 0. Таким образом, единственное целочисленное решение данного уравнения: (2; 0). Ответ: (2; 0). 148 Часть 1. Решение задач Тренировочные задачи к § 15 15.1. Для каждого целого значения m найдите все решения уравне- ния log 𝑚2 4 +𝑥 2 (3x) 𝑚 2 +1 = m 2 + 1. 15.2. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие урав- нению 6m 2 − 2n 2 + mn = 3. 15.3. При каком x ∈ {1; 2; 3; . . . ; 98; 99} значение выражения r x + 2 x − È 1 − 2 x + 2 : r 1 + 2 x + r x x + 2 − 2 : 1 + r x x + 2 ближе всего к 73? 15.4. Найдите все значения a, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел (x; y), удовлетворяющая уравнению −15x 2 + 11xy − 2y 2 = 7 и неравенствам x < y, 2a 2 x + 3ay < 0. 15.5. Найдите все пары целых неотрицательных чисел (k; m), являю- щихся решениями уравнения 2k 2 + 7k = 2mk + 3m + 36. 15.6. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих урав- нению 3xy − 14x − 17 y + 71 = 0. 15.7. Найдите все положительные значения параметра a, при кото- рых в области определения функции y = (a 𝑥 − a 𝑎𝑥 +2 ) −1/2 есть двузнач- ные натуральные числа, но нет ни одного трёхзначного натурального числа. 15.8. Найдите все целые решения (x; y; z) уравнения x 2 + 5y 2 + 34z 2 + 2xy − 10xz − 22yz = 0. 15.9. Найдите все пары (m; n) натуральных чисел, для которых вы- полнено равенство log 𝑚 (n − 7) + log 𝑛 (5m − 17) = 1. 15.10. Найдите все x ∈ [−3; 1], для которых неравенство x · π(x + 1) − 4 arctg(3m 2 + 12m + 11) > 0 выполняется при любых целых m. 15.11. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие урав- нению m 2 + amn − bn 2 = 0, где a = 1953 100 , b = 1995 100 15.12. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие урав- нению p 2x + y − 4 + p 5 − x − 2 y = 2 p 2 − x + y. Тренировочные задачи к § 15 149 15.13. Найдите все пары натуральных чисел t и s, удовлетворяющие системе ¨ 2t + 47 < 22s − 2s 2 , 4s ¾ 7t + 14. 15.14. При каких значениях a система ( sin 2π p a 2 − x 2 = 0, 2 · 3 |𝑎𝑥| + 3 2−|𝑎𝑥| ¶ 19 имеет наибольшее число решений? 15.15. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие урав- нению (x 2 + y 2 )(x + y − 3) = 2xy. 15.16. Найдите наибольшие целые числа u и v, для которых урав- нение 364a 2 u − 55v = −20 020 a 4 выполняется ровно при четырёх различных значениях a, два из которых относятся как 3 : 5. 15.17. Количество сотрудников некоторой корпорации ежегодно воз- растало в геометрической прогрессии и за 6 лет увеличилось на 20 615 человек. Найдите первоначальную численность сотрудников корпо- рации. 15.18. Найдите все тройки целых чисел (x; y; z), удовлетворяющие неравенству log 2 (2x + 3 y − 6z + 3) + log 2 (3x − 5 y + 2z − 2) + + log 2 (2 y + 4z − 5x + 2) > z 2 − 9z + 17. 15.19. Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие равенству 9x 2 y 2 + 6xy 2 − 9x 2 y + 2x 2 + y 2 − 18xy + 7x − 5 y + 6 = 0. 15.20. Найдите все целочисленные решения уравнения 14x 4 − 5 y 4 − 3x 2 y 2 + 82y 2 − 125x 2 + 51 = 0. 15.21. Найдите все целые значения a и b, при которых уравнение arcsin p b 2 − x 2 b − b · 2 sin(π𝑏𝑥) − arcsin p b 2 − x 2 b + b · 2 sin(π𝑏𝑥) = 2ab имеет не менее 10 различных решений. 150 Часть 1. Решение задач 15.22. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно пять различных наборов (x; y; z) натуральных чисел x, y, z удовлетворяют системе ¨ 12x 2 − 4x − 2xy + 3 y − 9 = 0, ayz + axz + axy > xyz. Ответы 15.1 . Если m = 0, то x = 3; если m = ±1, то x = ±(3 ± 2 p 2)/2; если m = ±2, то x = (3 ± p 5)/2; если m = ±3, то x = ±3/2; при других целых m решений нет. 15.2 . (1; −1); (−1; 1). 15.3 . 72. Указание. Упростите выражение и воспользуйтесь оценкой |x| < < px(x + 2) < |x + 1|. 15.4 . a ∈ (−13/3; −19/5]. 15.5 . (9; 9). 15.6 . (4; 3), (6; 13), (14; 5). 15.7 . a ∈ (0,8; 0,98]. 15.8 . (7k; 3k; 2k), k ∈ Z. 15.9 . (4; 9); (5; 8). 15.10 . x ∈ [−3; −2) ∪ {1}. 15.11 . (0; 0). 15.12 . (2; 1). 15.13 . (1; 6), (1; 7), (2; 7). 15.14 . |a|∈(1; p 2]. 15.15 . (0; 0), (2; 2), (0; 3), (3; 0). 15.16 . u =−187, v =−819. 15.17 . 1984. 15.18 . (5; 4; 4). 15.19 . (0; 2), (−2; 0), (0; 3), (2; 1). Указание. Запишите уравнение как квад- ратное относительно y (или x) и разложите на множители (это равносильно решению квадратного уравнения). 15.20 . (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3). 15.21 . a = −2, b = 4, 5, . . . ; a = −1, b = 3, 4, 5, . . . 15.22 . a ∈ (5/11; 6/13]. § 16. Задачи с целой и дробной частью числа Определение 16.1. Для произвольного числа x ∈ R определим его целую часть как наибольшее целое число, не превосходящее x. Целую часть числа x обозначают [x]. Из определения следует, что если x = k + α, где k ∈ Z, x − 1 < k ¶ x, то k — целая часть числа x. Приведём в качестве примера простые вычисления: [0,7] = 0, [−0,7] = −1, [3,1] = 3, [4] = 4, [−1,33] = −2. Гра- фик функции [x] представляет собой кусочно постоянную функцию, неубывающую на всей числовой оси (см. рис. 16.1 ). Определение 16.2. Для произвольного числа x ∈ R определим его дробную часть равенством {x} = x − [x]. Из данного определения и представления x = k + α, где k ∈ Z, x − 1 < k ¶ x, следует, что α — дробная часть числа. Приведём в каче- стве примера простые вычисления: {0,7} = 0,7, {−0,7} = 0,3, {3,1} = 0,1, § 16. Задачи с целой и дробной частью числа 151 x y 1 2 3 0 1 2 3 4 Рис. 16.1 {4} = 0, {−1,33} = 0,67. График функции {x} представляет собой кусоч- но непрерывную функцию, неотрицательную (т. е. {x} ¾ 0) и возрас- тающую на каждом промежутке вида [k, k + 1), k ∈ Z (см. рис. 16.2 ). x y 1 0 1 2 3 4 Рис. 16.2 Пример 16.1. Решите уравнение 1 {x} + 1 [x] = − 1 x Решение. Прежде всего найдём ОДЗ данного уравнения. Очевид- но, что ОДЗ имеет вид R\{[0, 1] ∪ {k} 𝑘 ∈ Z }. У исходного уравнения нет положительных решений, поскольку при x > 0 выражение в левой части положительно, а в правой отрицательно. Решим уравнение для отрицательных x: 1 {x} + 1 [x] = − 1 x ⇔ [x] + {x} {x}[x] = − 1 [x] + {x} ⇔ ⇔ ([x] + {x}) 2 = −{x}[x] ⇔ [x] 2 + 3[x]{x} + {x} 2 = 0 ⇔ ⇔ [x] {x} 2 + 3 [x] {x} + 1 = 0 ⇔ [x] {x} + 3 2 2 − 5 4 = 0. 152 Часть 1. Решение задач Отсюда получаем [x] = −3 ± p 5 2 {x}. (16.1) Но из оценок 0 < {x} < 1, −3 < −3 ± p 5 2 < 0 вытекает, что либо [x] = −1, либо [x] = −2. Пусть [x] = −1, тогда из равенства ( 16.1 ) следует, что либо {x} = 2 3 + p 5 = 3 − p 5 2 ⇒ x = 3 − p 5 2 − 1 = 1 − p 5 2 , либо {x} = 2 3 − p 5 = 3 + p 5 2 > 1. Последний случай невозможен, так как {x} < 1. Пусть [x] = −2, тогда снова получаем две возможности: либо {x} = 4 3 + p 5 = 3 − p 5 ⇒ x = −2 + 3 − p 5 = 1 − p 5, либо {x} = 4 3 − p 5 = 3 + p 5 > 1, что невозможно. Ответ: 1 − p 5 2 ; 1 − p 5. Пример 16.2. Решите уравнение x 3 − 3 = [x]. Решение. Воспользуемся представлением [x] = x − {x}. Тогда ис- ходное уравнение можно записать в виде x 3 − x = 3 − {x}. Поскольку 0 < {x} < 1, мы получаем 2 < 3 − {x} ¶ 3. Покажем, что левая часть исходного уравнения не лежит в промежутке (2; 3] при x ∈ (−∞; 1] ∪ [2; +∞). Действительно, x ¾ 2 ⇒ x 3 − x = x(x 2 − 1) ¾ 6, x ¶ −1 ⇒ x 3 − x = x(x 2 − 1) ¶ 0, x ∈ [−1; 1] ⇒ |x 3 − x| = |x(x 2 − 1)| ¶ 1. Следовательно, решение исходного уравнения должно лежать в ин- тервале 1 < x < 2. Тогда x = 1 + {x} и x 3 − x = 3 − {x} ⇔ x 3 − 1 − {x} = 3 − {x} ⇔ x 3 = 4 ⇔ x = 3 p 4. Ответ: 3 p 4. § 16. Задачи с целой и дробной частью числа 153 Пример 16.3. Решите в целых числах уравнение x 1! + x 2! + x 3! + ... + x 2007! = 1005. Решение. Поскольку при x < 0 все слагаемые в левой части отри- цательны, решение удовлетворяет неравенству x ¾ 0. Из неравенства 720 + 720/2 > 1005 вытекает, что решение удовлетворяет неравенству x < 6! = 720. Но поскольку при x < 720 справедливо неравенство x k! = 0, k ¾ 6, k ∈ N, исходное уравнение равносильно следующему уравнению: x 1! + x 2! + x 3! + x 4! + x 5! = 1005, x ∈ N, x < 720. Представим x в виде x = a · 5! + b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!, (16.2) где a, b, c, d, e — целые неотрицательные числа, причём a ¶ 5, b ¶ 4, c ¶ 3, d ¶ 2, e ¶ 1. Покажем, что данное представление единственно. Поделив уравнение ( 16.2 ) на 5!, находим коэффициент a из равен- ства a = x 5! . Коэффициент b при найденном коэффициенте a нахо- дится из равенства x − a · 5! = b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!. Продолжая рассуждать аналогично, мы доказываем, что представление ( 16.2 ) единственное. Из этого представления для x вытекает, что x 1! = a · 5! + b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!, x 2! = a · 5 · 4 · 3 + b · 4 · 3 + c · 3 + d, x 3! = a · 5 · 4 + b · 4 + c, x 4! = a · 5 + b, x 5! = a. Складывая все полученные равенства и подставляя в исходное урав- нение, получаем 206a + 41b + 10c + 3d + e = 1005. Поскольку 41b + 10c + 3d + e ¶ 41 · 4 + 10 · 3 + 3 · 2 + 1 = 201, мы получаем 804 ¶ 206a ¶ 1005, следовательно, a = 4. Теперь остаётся определить оставшиеся коэффициенты из уравнения 41b + 10c + 3d + e = 181. 154 Часть 1. Решение задач Рассуждая аналогично, мы получаем b = 4, c = 1, d = 2, e = 1. Следо- вательно, x = 4 · 5! + 4 · 4! + 3! + 2 · 2! + 1 = 587. Ответ: 587. Тренировочные задачи к § 16 16.1. Сравните числа ctg 1 и {π/2}. 16.2. Найдите все решения уравнения [x] 2 = [x 2 ]. 16.3. Решите неравенство [x] · {x} < x − 1. 16.4. Найдите количество корней уравнения {x} − 1 2 = log 2 a x для каждого значения a ∈ [1/ p 2; 3/2]. 16.5. Найдите все значения a, принадлежащие отрезку [0; π], при которых уравнение sin 5 (3x + a) = cos(π · [x]) имеет на отрезке [1; π] нечётное число различных решений. 16.6. Найдите все значения a, принадлежащие отрезку [0; π], при которых уравнение cos 3 (2x + a) = |sin(π · [x]/2)| имеет на отрезке [1; π] нечётное число различных решений. Ответы 16.1 . ctg 1>{π/2}. Указание. Докажите, что ctg 1=ctg[π/2]=tg{π/2}>{π/2}. 16.2 . x = k, k ∈ Z; x ∈ [m; p m 2 + 1), m = 0, 1, 2, 3, . . . 16.3 . [2; +∞). 16.4 . 2. 16.5 . a ∈ [π/2; 3π/2 − 3] ∪ (5π/2 − 6; 7π/2 − 9]. 16.6 . a ∈ (2π − 6; 3π/2 − 4] ∪ (5π/2 − 6; 2π − 4). |