задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 17. Введение новой переменной для решения задач При решении задач могут обнаружиться связи и аналогии, су- щественно облегчающие процесс решения. Источником таких свя- зей часто служат тригонометрические формулы или иные тождества. Например, если в алгебраическом уравнении нужно искать корни только на отрезке [−1; 1] либо ОДЗ исходного уравнения состоит из отрезка [−1; 1] или его подмножества, то можно попытаться отыс- кать какую-нибудь тригонометрическую замену, например x = cos α, § 17. Введение новой переменной для решения задач 155 x = sin α либо x = cos 𝑘 α, x = sin 𝑘 α. В приведённых примерах исполь- зованы тригонометрические замены, хотя, разумеется, часто исполь- зуются и другие замены. Пример 17.1. Найдите наибольшее значение выражения 3x−2 y на множестве переменных x, y, удовлетворяющих условию 4x 2 + y 2 = 16. Решение. Поскольку уравнение 4x 2 +y 2 =16 — уравнение эллипса, можем сделать тригонометрическую замену x = 2 sin t, y = 4 cos t. Действительно, при такой замене уравнение 4x 2 + y 2 = 16 переходит в основное тригонометрическое тождество sin 2 t + cos 2 t = 1. Используя данную замену, получаем 3x − 2 y = 6 sin t − 8 cos t = 10 3 5 sin t − 4 5 cos t = = 10(sin t cos ϕ − cos t sin ϕ) = 10 sin(t − ϕ) ¶ 10, где ϕ = arcsin 4 5 Отсюда видно, что наибольшее значение выражения 3x − 2 y рав- но 10, причём максимальное значение достигается, например, при t ∗ = π/2 + ϕ = π/2 + arcsin(4/5), т. е. при x = 2 sin t ∗ = 2 cos arcsin 4 5 = 6 5 , y = 4 cos t ∗ = −4 sin arcsin 4 5 = − 16 5 Ответ: 10. Пример 17.2. Решите уравнение p 1 − x 2 (1 − 4x 2 ) + x(3 − 4x 2 ) = p 2. Решение. Прежде всего заметим, что ОДЗ данного уравнения состоит из отрезка [−1; 1]. Поэтому возможна замена x = sin t, t ∈ ∈ [−π/2; π/2]. Действительно, для t ∈ [−π/2; π/2] множеством зна- чений функции sin t будет отрезок [−1; 1]. Уравнение можно записать в виде p 1 − x 2 (4(1 − x 2 ) − 3) + x(3 − 4x 2 ) = p 2 ⇔ ⇔ cos t (4 cos 2 t −3)+sin t (3−4 sin 2 t)= p 2 ⇔ cos 3t +sin 3t = p 2. Решаем уравнение cos 3t + sin 3t = p 2 при помощи введения вспомо- гательного угла: cos 3t + sin 3t = p 2 ⇔ 1 p 2 cos 3t + 1 p 2 sin 3t = 1 ⇔ ⇔ cos 3t sin π 4 + sin 3t cos π 4 = 1 ⇔ sin 3t + π 4 = 1. 156 Часть 1. Решение задач Отсюда находим 3t + π 4 = π 2 + 2πn, n ∈ Z, ⇔ t = π 12 + 2πn 3 , n ∈ Z. Остаётся выписать корни из отрезка [−π/2; π/2]. Как несложно про- верить, неравенствам − π 2 ¶ π 12 + 2πn 3 ¶ π 2 , n ∈ Z, корни удовлетворяют лишь при n = 0, т. е. x = sin π 12 = sin π 3 − π 4 = sin π 3 · cos π 4 − cos π 3 · sin π 4 = = p 3 2 · p 2 2 − 1 2 · p 2 2 = p 6 − p 2 4 Ответ: x = sin π 12 = p 6 − p 2 4 Пример 17.3. Решите систему y x − xy = 2, z y − yz = 2, x z − zx = 2. Решение. ОДЗ данной системы: x 6=0, y 6=0, z 6=0. Систему на ОДЗ запишем в виде y = 2x 1 − x 2 , z = 2 y 1 − y 2 , x = 2z 1 − z 2 Мы воспользовались тем, что x = ±1 не удовлетворяют первому урав- нению исходной системы, y = ±1 — второму и z = ±1 — третьему. Поэтому сделанное преобразование равносильное. Замечаем, что при замене x = tg α, где α ∈ (−π/2; π/2), система принимает вид y = 2x 1 − x 2 , z = 2 y 1 − y 2 , x = 2z 1 − z 2 ⇔ y = tg 2α, z = tg 4α, x = tg 8α. Тренировочные задачи к § 17 157 Из третьего уравнения системы получаем tg α = tg 8α и приходим к системе ¨ tg α = tg 8α, tg α 6= 0 ⇔ sin 7α = 0, cos α 6= 0, cos 8α 6= 0, tg α 6= 0. Из уравнения последней системы находим α = πn/7, n ∈ Z. Учитывая условие α ∈ (−π/2; π/2) и ОДЗ, получаем окончательный ответ. Ответ: (tg α; tg 2α; tg 4α), где α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7. Тренировочные задачи к § 17 17.1. Решите неравенство 4 p 1 − x − p x > 1 p 3 17.2. Найдите все решения уравнения s 1 + 2x p 1 − x 2 2 + 2x 2 = 1. 17.3. Решите уравнение 6x · p 1 − 9x 2 + 18x 2 − 3 p 2x − 1 = 0. 17.4. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение 8x(2x 2 − 1)(8x 4 − 8x 2 + 1) = 1? 17.5. Найдите наименьшее значение выражения 2x − 4 y на множе- стве переменных x, y, удовлетворяющих условию 4x 2 + 9y 2 = 36. 17.6. При каких значениях a система (x + p 2z) 2 + (y + p 2t) 2 = 25 + 2a p 25 − a 2 , x 2 + y 2 = a 2 , z 2 + t 2 = 25 − a 2 2 имеет хотя бы одно решение? 17.7. Решите уравнение 4x p 1 − x 2 (2x 2 − 1) = 8x 2 (1 − x 2 ) + p 2 − 1. 4 Конечно же, данный пример можно решить и без введения новой переменной. 158 Часть 1. Решение задач 17.8. Решите систему y x − 9xy = 2, z y − 9 yz = 6, 3x z − 3zx = 2. 17.9. Переменные x, y связаны условием x 2 + y 2 − 6x + 4 y + 10 = 0. Найдите все значения a, при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями выражения 2ax − 3 y − 10 больше 12. 17.10. Найдите наибольшее из значений, которые принимает выра- жение x + 3 y, если x и y удовлетворяют неравенству x 2 + xy + 4y 2 ¶ 3. 17.11. Решите систему y x − xy = 1, z y − 4 yz = 2, x z − 4zx = 4. 17.12. Числа x, y, z таковы, что x 2 + 3y 2 + z 2 = 2. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2x + y − z? 17.13. Найдите все значения a ∈ [0; 2π], при которых система урав- нений ¨ |x − cos a| = y − sin a, x 2 + y 2 = 1 имеет ровно три различных решения. 17.14. Решите неравенство (1 − ctg x) 2006 + 4(1 + ctg x) 2004 ¶ 2 2006 17.15. Найдите все значения a, при которых существуют (x; y), удо- влетворяющие системе неравенств max(2−3 y, y +2) ¶ 5, È a 2 + 6 π arccos p 1− x 2 −16− 2 π 2 arcsin x ·(π+2arcsin x) ¾ y 2 +2ay +7. 17.16. При каких x оба числа x 2 + 4x − 1 7x 2 − 6x − 5 и 1 − x 1 + x целые? § 18. Системы уравнений и неравенств 159 17.17. Найдите минимальное значение выражения (x + y − z) 2 при условии, что числа x, y и z удовлетворяют одновременно каждому из неравенств 1 ¶ (x + y) 2 ¶ 4 3 , 8 ¶ ( y + z) 2 ¶ 9, 10 ¶ (z + x) 2 ¶ 11. Ответы 17.1 . [0; (3 − p 5)/6). 17.2 . −1/ p 2; ( p 6 − p 2)/4. 17.3 . ± p 2/6; ( p 2 + p 6)/12. 17.4 . Три корня: x 1 = cos(π/9), x 2 = cos(2π/7), x 3 = cos(π/3). 17.5 . −10. 17.6 . a ∈ [−5; 5]. 17.7 . cos(π/16); cos(9π/16). 17.8 . ((tg α)/3; (tg 2α)/3; tg 4α), α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7. 17.9 . a ∈ (−∞; − p 3/2) ∪ ( p 3/2; +∞). 17.10 . 2 p 2. 17.11 . (tg α; (tg 2α)/2; (tg 4α)/2), α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7. 17.12 . 4 p 6/3. 17.13 . a ∈ (5π/4; 7π/4). 17.14 . [π/4 + πk; 3π/4 + πk], k ∈ Z. 17.15 . a ∈ (−∞; − p 13] ∪ [11/3; +∞). 17.16 . 1; −1/3; −1/2; −3/4. 17.17 . (3 + p 8 − p 11) 2 /4. § 18. Системы уравнений и неравенств Системы уравнений и неравенств уже встречались в предыдущих параграфах либо как разобранные примеры, либо как тренировоч- ные задачи. В этом параграфе мы напомним некоторые приёмы, полезные при решении систем, и рассмотрим новые идеи, лежащие в основе ряда задач. Начнём с понятия равносильности систем. Системы называются равносильными, если совпадают множества их решений. В частности, равносильны системы, не имеющие решений. Пример 18.1. При каких значениях a системы уравнений ¨ sin(x + y) = 0, x 2 + y 2 = a и ¨ x + y = 0, x 2 + y 2 = a равносильны? Решение. При a < 0 ни одна из систем не имеет решений и, сле- довательно, они равносильны. При a = 0 второе уравнение, общее для обеих систем, имеет един- ственное решение x = 0, y = 0, удовлетворяющее и первым уравне- ниям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при a = 0. 160 Часть 1. Решение задач При a > 0 второе уравнение задаёт окружность радиуса p a с цен- тром в начале координат. Уравнение sin(x + y) = 0 равносильно бес- конечной совокупности уравнений x + y = πn, n ∈ Z. Графики этих прямых изображены на рис. 18.1 x y 0 π −π n = −1 n = 0 n = 1 Рис. 18.1 Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с пря- мой x + y = 0, соответствующей n = 0 в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы её радиус был меньше, чем расстоя- ние от начала координат до прямой x + y = π, т. е. чем число π/ p 2. Итак, 0 < p a < π/ p 2, или 0 < a < π 2 /2. Добавляя полученные ранее значения a ¶ 0, получаем ответ. Ответ: a ∈ (−∞; π 2 /2). Разложение на множители, подобное использованному в приме- ре 15.2 , полезно и в следующем примере. Пример 18.2. При каждом значении a решите систему ¨ 6x 2 + 17xy + 7y 2 = a, log 2𝑥+𝑦 (3x + 7 y) = 3. Решение. Запишем ОДЗ: 3x + 7 y > 0, 2x + y > 0, 2x + y 6= 1. Из второго уравнения находим 3x + 7 y = (2x + y) 3 . Осталось заметить, что тогда 6x 2 + 17xy + 7y 2 = (3x + 7y) · (2x + y) = (2x + y) 4 § 18. Системы уравнений и неравенств 161 Уравнение (2x + y) 4 =a при условиях 2x + y >0 и 2x + y 6=1 имеет при a >0, a 6=1 решение 2x + y = 4 p a. Тогда 3x + 7 y = 4 p a 3 и из полученной системы находим x = 7 4 p a − 4 p a 3 11 , y = 2 4 p a 3 − 3 4 p a 11 Ответ: при a ∈ (−∞; 0) ∪ {1} решений нет; если a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞), то решение 7 4 p a − 4 p a 3 11 ; 2 4 p a 3 − 3 4 p a 11 В следующих двух примерах полезно исследовать наибольшее и наименьшее значения, которые принимают входящие в систему функции. Пример 18.3. При каждом a решите систему уравнений ¨ x 2 + y 2 + 2(x − y) + 2 = 0, a 2 + ax + ay − 4 = 0. Решение. Первое уравнение преобразуем к виду x 2 + 2x + 1 + y 2 − 2 y + 1 = 0, или (x + 1) 2 + (y − 1) 2 = 0. Это означает, что x = −1, y = 1, поскольку при остальных значениях левая часть уравнения больше 0. Подставим эти значения во второе уравнение и найдём a 2 − 4 = 0, откуда a = ±2. Таким образом, система имеет решение x = −1, y = 1 при a = ±2; при остальных a решений нет. Ответ: если a = ±2, то x = −1, y = 1; при остальных a решений нет. Пример 18.4. При каких значениях p система x 2 + px + 2 = 0, sin 2 πp + sin 2 πx + 2 |𝑦| = sin πx 2 имеет решения? Решение. Имеем sin 2 πp ¾ 0, sin 2 πx ¾ 0, |y| ¾ 0 и, значит, 2 |𝑦| ¾ 1, следовательно, левая часть второго уравнения системы не меньше чем 1. Так как его правая часть не больше 1, оно равносильно системе 162 Часть 1. Решение задач sin 2 πp = 0, sin 2 πx = 0, 2 |𝑦| = 1, sin πx 2 = 1, из которой находим, что p ∈ Z, y = 0, x = 2k + 1, k ∈ Z. Первое уравнение имеет целые коэффициенты и целый корень x 1 = 2k + 1. Так как x 1 + x 2 = −p, число x 2 тоже целое, и из равенства x 1 x 2 = 2 получаем, что x 1 — нечётное число, делящее число 2. Такими числами являются x = 1 и x = −1. При x = 1 находим p = −3, при x = −1 находим p = 3. Ответ: Система имеет решения при p = ±3. Соображения симметрии, подобные использованным в приме- рах 8.1 , 9.1 , полезны при решении систем. Их можно использовать при решении тренировочных задач 8.6 , 8.12 , 8.14 , 8.16 , 8.18 , 9.1 , 9.7 , 9.8 , 9.9 , 9.12 , 9.13 , 9.17 Обратите внимание на логические рассуждения, использованные в следующем примере. Пример 18.5. Найдите все значения a, при которых система ¨ (x 2 + 1) 𝑎 + (b 2 + 1) 𝑦 = 2, a + bxy + x 2 y = 1 имеет хотя бы одно решение для любого значения b. Решение. Пусть a — искомое значение. Система должна иметь решение для любого значения b, поэтому выбираем значение b, при котором она становится проще, например b = 0. Тогда получим, что система ¨ (x 2 + 1) 𝑎 + 1 = 2, a + x 2 y = 1 имеет решение. Первое уравнение, т. е. уравнение (x 2 + 1) 𝑎 + 1 = 2, при a = 0 выполняется для любого b, а при a 6= 0 из него следует, что x = 0, и тогда из второго уравнения получаем a = 1. Итак, искомыми значениями могут быть только a = 0 или a = 1. Если a = 0, то первое уравнение принимает вид (b 2 +1) 𝑦 =1, а вто- рое — bxy + x 2 y = 1. Система по условию должна иметь решения при любом b, например при b = 1. Тогда из первого уравнения находим Тренировочные задачи к § 18 163 y = 0, а второе уравнение при этом обращается в неверное равенство 0 = 1. Поэтому a = 0 не является решением задачи. Если же a = 1, то первое уравнение принимает вид x 2 + 1 + (b 2 + 1) 𝑦 = 2 ⇔ x 2 + (b 2 + 1) 𝑦 = 1, а второе — bxy + x 2 y = 0. Для любого b пара чисел (x; y) = (0; 0) удовлетворяет обоим урав- нениям, и исходная система имеет решение. Ответ: a = 1. Тренировочные задачи к § 18 18.1. При всех значениях a решите систему ¨ x 2 + 4y 2 = 8a 2 , xy = 2a 2 18.2. При каких значениях a система ¨ x 2 + y 2 = 9, (x + 4) 2 + (y + 3) 2 = a имеет единственное решение? 18.3. При всех значениях a решите систему неравенств ¨ |2x + 2a| > |x| + a, ax < 0. 18.4. Для каждого натурального значения k найдите площадь фигу- ры, задаваемой на плоскости (x; y) условиями sin x ¾ 0, sin y ¶ 0, −πk ¶ x ¶ πk, −πk ¶ y ¶ πk. 18.5. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 36 𝑥 − 17 · 6 𝑥 + a < 0, 16 sin 4 πx − 15 = cos 4πx имеет хотя бы одно решение. 164 Часть 1. Решение задач 18.6. Найдите все значения b, при которых система ¨ log 3 (9 𝑥 − y + b − 8) = 0, y + 3 𝑥 · p b − 1 = 0 имеет единственное решение (x 0 ; y 0 ), удовлетворяющее условию x 0 ¶0. 18.7. Пусть (x; y) — решение системы уравнений ¨ x + 3y = α − 2, x 2 + 9y 2 = 2α + 6. При каком значении α произведение xy принимает наименьшее зна- чение? 18.8. Найдите все значения a, при которых система ¨ arctg(25 𝑥 − 9 + a − y) = 0, y · 5 −𝑥 + p a − 1 = 0 имеет единственное решение (x 0 ; y 0 ), удовлетворяющее условию x 0 ¶0. 18.9. Дана система уравнений ¨ y = a|x − 3a|, |x| = b − | y|. а) При каких значениях a и b эта система относительно неизвест- ных x и y имеет бесконечно много решений? б) На плоскости (x; y) изобразите множество точек, координаты которых таковы, что си- стема относительно неизвестных a и b имеет ровно три различных решения. 18.10. При каких значениях a система ¨ |x − a| + |y − a| + |a + 1 − x| + |a + 1 − y| = 2, y + 2|x − 5| = 6 имеет единственное решение? 18.11. Найдите все значения a, при которых система уравнений ( |x| + | y| + |x − y| − 2 a · |x| + | y| − 1 a = 0, x 2 + y 2 = a 2 имеет ровно четыре различных решения. Тренировочные задачи к § 18 165 18.12. Найдите все значения a, при которых система уравнений Æ a − f (x) = 0, y 2 + (a − 5 · 10 6 ) y + 25 · 10 10 = 0, z 2 + 5 · 10 3 · z + a = 0 имеет хотя бы одно решение, где f (x) = |x − 1 2 | + |x − 2 2 | + . . . + |x − 203 2 |. 18.13. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ (5 − 2 p 6) 𝑥 + (5 + 2 p 6) 𝑥 − 5a = y − | y| − 8, x 2 − (a − 4) y = 0 имеет единственное решение. 18.14. Найдите все такие значения a и b, при которых система ¨ |bx| − |y| = 2a, (x − b) 2 + y 2 = a 2 имеет ровно три различных решения. 18.15. Найдите все значения α, при каждом из которых система нера- венств ( 4 𝑥 − 2 𝑥 +𝑦 ¶ 108α − 161 2α − 3 , 5 · 2 𝑥 +𝑦 − 9 · 4 𝑦 ¾ 54 имеет решение. 18.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 2 3𝑥 2 +2𝑦 2 +8 𝑥−4 𝑦+8 + 2 𝑥 2 +4 𝑦+5 ¶ 33 · 2 2 𝑥 2 +𝑦 2 +4 𝑥+4 , x 2 + y 2 − 8x + 8 y = a имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию x + y = 0. 18.17. Найдите все значения a на отрезке [0; π/2], при каждом из ко- торых система ¨ |x + p 3 · y| + | y − p 3 · x| = 2 sin a, ( p 3 · x + y) 2 + ( p 3 · y − x) 2 = 4 cos a имеет ровно четыре различных решения. 166 Часть 1. Решение задач 18.18. При каких значениях b система (x + p 3z) 2 + (y − p 3t) 2 = 36 + 2 · b · p 36 − b 2 , x 2 + y 2 = b 2 , z 2 + t 2 = 36 − b 2 3 имеет хотя бы одно решение? 18.19. Известно, что величины x, y, z, ω удовлетворяют системе x 2 + y 2 + 2x + 4y − 20 = 0, z 2 + ω 2 − 2ω − 143 = 0, x ω + yz − x + ω + 2z − 61 ¾ 0. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения y 2 25 + ω 2 144 18.20. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 3xy + 3ax − ay − a 2 − 3 = 0, 9x 2 + 9y 2 − 6ax + 18ay + 7a 2 − 2a − 17 = 0 имеет ровно два различных решения. Ответы 18.1 . (2a; a), (−2a; −a), a ∈ R. 18.2 . a = 4; a = 64. 18.3 . Если a < 0, то x ∈ (0; −a) ∪ (−a; +∞); при a = 0 решений нет; если a > 0, то x ∈ (−∞; −3a) ∪ (−a/3; 0). 18.4 . 3π 2 k 2 18.5 . a < 17 p 6 − 6. 18.6 . b ∈ 17 − p 29 2 ; 9 18.7 . α = 3. 18.8 . a ∈ 17 − p 29 2 ; 9 18.9 . а) a = ±1, b = 3; б) 0 < y < x 2 12 при x > 0 и − x 2 12 < y < 0 при x < 0. 18.10 . a = 2; a = 16 3 18.11 . a ∈ § 1 4 p 2 ª ∪ [1; 4 p 2). 18.12 . a ∈ [2 101 608; 4 000 000] ∪ [600 · 10 4 ; 625 · 10 4 ]. 18.13 . a = 2; a = 4. 18.14 . a = t 2 |t| + 2 , b = t, где t 6= 0; a = t 2 |t| − 2 , b = t, где |t| > 2. 18.15 . α ∈ 3 2 ; +∞ 18.16 . a ∈ (44 − 24 p 2; 44 + 24 p 2). Указание. Разделите первое неравенство на 2 𝑥 2 +4 𝑦 18.17 . a = arccos p 5 − 1 2 ; a = arccos( p 2 − 1). 18.18 . b ∈ [−6; 6]. 18.19 . 4201 3600 ± p 601 30 18.20 . a = 1 3 ; a = −1. |