задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами

• Название: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
• Дата: 15.04.2023
• Размер: 5.52 Mb.
• Имя файла: задача с параметром.pdf
• Тип: Книга; #1064746
• страница: 17 из 21

§ 21. Задачи с условием для всех значений
параметра или переменной
Пусть в задаче требуется определить значения параметра (или нескольких параметров), при которых уравнение (или неравенство)
выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Есте- ственно попытаться подставить в него удобные значения перемен- ной x, получив при этом необходимые условия на параметры.
Пример 21.1. Найдите все такие значения a и b, при которых равенство sin(ax + b) = a sin x + b выполняется для всех x.
Решение. Подставим значение x = 0. При этом исходное равен- ство примет вид sin b = b. Это уравнение имеет единственное реше- ние b = 0. (Доказательство. Пусть f (b) = b − sin b; f
0
(b) = 1 − cos b ¾ 0.
Поэтому f (b) возрастает. Если b = 0, то, очевидно, f (b) = 0 − sin 0 = 0.
Поэтому b = 0 — единственное решение уравнения b = sin b.)
Итак, необходимое условие: b = 0. При b = 0 исследуемое равен- ство принимает вид sin(ax) = a sin x. Подставляя x = π/2, получаем

184
Часть 1.
Решение задач sin(aπ/2) = a, поэтому |a| ¶ 1. При a = ±1, b = 0 равенство, очевидно,
верно. Также оно верно и при a = 0, b = 0.
Пусть 0 < |a| < 1. Подстановка x = π/(2a) приводит к равенству sin
π
2
= a sin
π
2a
⇔ 1 = a sin
π
2a
,
которое невозможно при 0 < |a| < 1.
Ответ: a
= ±1, b = 0; a = 0, b = 0.
Пример 21.2. Найдите все значения a, при которых при любых значениях b уравнение |x − 2| + b|2x + 1| = a имеет хотя бы одно решение.
Решение. Обозначим
f (x) = |x − 2| + 2b
x +
1 2
Тогда исходная задача может быть записана в следующем виде: най-
дите все значения a, при которых при любых значениях b уравнение
f (x) = a имеет хотя бы одно решение.
В данном случае при решении «удобными» будут b = ±1/2 (см.
рис.
21.1
,
21.2
). Действительно
5
, для b = 1/2 имеем
f (x) = |x − 2| +
x +
1 2
¾
(2 − x ) −
€
x
+
1 2
Š
=
5 2
x
y
y
=
x +
1 2
y
= |x − 2|
y
= f (x)
5 2
−
1 2
2 0
Рис. 21.1. График функции f (x) = |x − 2| +
x +
1 2
5
Здесь мы использовали неравенства |x| − | y| ¶ |x − y| ¶ |x| + | y|, x, y ∈ R; см. §
2

Тренировочные задачи к § 21 185
x
y
y
= −
x +
1 2
y
= |x − 2|
y
= f (x)
5 2
−
5 2
−
1 2
2 0
Рис. 21.2. График функции f (x) = |x − 2| −
x +
1 2
А для b = −1/2 получаем
f (x) = |x − 2| −
x +
1 2
¶
( x − 2) −
€
x
+
1 2
Š
=
5 2
Следовательно, уравнение f (x) = a может иметь решение для любого значения b только при a = 5/2. Действительно, при a = 5/2 исходное уравнение имеет решение x = −1/2 при любом значении b.
Ответ: a
= 5/2.
Тренировочные задачи к § 21
21.1. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
a
2
− 2a cos x − sin
2
x
+ 2a > 2
выполняется для всех x.
21.2. При каких целых значениях a неравенство
2 log
1/2
a
− 3 + 2x log
1/2
a
− x
2
< 0
верно для любого значения x?
21.3. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
a(4 − sin x)
4
− 3 + cos
2
x
+ a > 0
выполняется для всех x.

186
Часть 1.
Решение задач
21.4. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x
2
+ 2|x − a| ¾ a
2
справедливо для всех x.
21.5. Определите, а) при каких значениях a существует такое чис- ло b, что уравнение 5 cos x + sin x + cos(x − b) = a имеет решения;
б) при каких значениях a это уравнение имеет решения при любом значении b.
21.6. Найдите все значения b, при которых для любого действитель- ного a уравнение cos(a + ab + ax) + 4 cos a
2
x
= 5b
2
имеет хотя бы одно решение.
21.7. Найдите все значения a, для которых при любом положитель- ном b уравнение
a log
1/𝑥−2 4 = log
2
€
1
x
− 2
Š
− b
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1/3.
21.8. При каких значениях a неравенство log
(2𝑎−15)/5
€
sin x +
p
3 cos x + a − 5 5
Š > 0
выполняется для всех x?
21.9. Найдите все значения a, при которых при любых значениях параметра b уравнение b · |3x − 1| + |x + 1| = a имеет хотя бы одно решение.
21.10. Найдите все значения a, при которых для любого значения b
неравенство (a + b)x
2
+ (3b − 4a + 7)x + 4a − 2b − 6 ¾ 0 имеет хотя бы одно решение.
21.11. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для каждой из кото- рых при всех x справедливо равенство
a(cos x − 1) + b
2
= cos(ax + b
2
) − 1.
21.12. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
25 y
2
+
1 100
¾ x − axy + y − 25x
2
выполняется для любых таких пар (x; y), что |x| = | y|.
21.13. Найдите все действительные значения b, при которых для любой пары чисел (s; t) функция
f (x) = tx
4
− s(b
2
− 4)x
3
+ bx − s − 2
удовлетворяет хотя бы одному из условий f (1) > −2, f (−1) < 2.

§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
187
21.14. Найдите все действительные значения a, при которых не най- дётся ни одной такой пары чисел (u; v), чтобы функция
f (x) = vx
4
+ a(au − 1)x
3
− 2u − 2
удовлетворяла одновременно условиям f (−1) ¾ −2u, f (1) ¶ −2.
21.15. Найдите все значения параметра a, при которых для любых значений b неравенство log
6
€
x
36
Š + €
10a + 3b + 31 5
Š
x
2
− 9b
2
− 9b − 3
¶
¶ log
6
€
36
x
Š + €
10a + 3b + 41 5
Š
x
2
− (6b + 2)x + 9b
2
+ 15b + 5
имеет хотя бы одно решение.
21.16. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого значения b система
¨ bx − y − az
2
= 0,
(b − 6)x + 2by − 4z = 4
имеет по крайней мере одно решение.
Ответы
21.1
. a
∈ (−∞; −2 −
p
6) ∪ (
p
2; +∞).
21.2
. a
∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
21.3
. a
∈ (3/82, +∞).
21.4
. a
∈ [−1; 1].
21.5
. а) a ∈ [−
p
26 − 1;
p
26 + 1]; б) a ∈ [−
p
26 + 1;
p
26 − 1].
21.6
. b
= −1.
21.7
. a
∈ [0; +∞).
21.8
. a
∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞).
21.9
. a
= 4/3.
21.10
. a
∈ [1; +∞). Указание. Выражение в неравенстве представьте в виде
(a − 1)(x − 2)
2
+ (b + 1)(x
2
+ 3x − 2).
21.11
. a
= 0, b = 0; a = 1, b = 0.
21.12
. a
= 50.
21.13
. b
= 2.
21.14
. a
= −1.
21.15
. a
∈ [−7/2; +∞).
21.16
. a
∈ [−1/4; 1/3]. Указание. Найдите решение при z = 0 и проведите дальнейший анализ.
§ 22. Тригонометрические уравнения
и неравенства с параметром
В задачах часто используется ограниченность функций sin x, cos x,
а также метод вспомогательного аргумента.
Напомним метод вспомогательного аргумента, который состоит во введении дополнительного угла для упрощения выражения. Проде- монстрируем метод вспомогательного угла на примере следующего

188
Часть 1.
Решение задач тригонометрического уравнения:
a cos x + b sin x = c,
a
2
+ b
2 6= 0, ⇔
⇔
a
p
a
2
+ b
2
cos x +
b
p
a
2
+ b
2
sin x =
c
p
a
2
+ b
2
Числа A=
a
p
a
2
+b
2
, B=
b
p
a
2
+b
2
удовлетворяют уравнению окружности радиуса 1, т. е. A
2
+ B
2
= 1. Следовательно, существует такой угол ψ,
что sin ψ = A, cos ψ = B. Для A, B ¾ 0 угол ψ определяется уравнением
ψ = arctg(a/b). Исходное уравнение принимает вид sin ψ cos x + cos ψ sin x =
c
p
a
2
+ b
2
⇔ sin(x + ψ) =
c
p
a
2
+ b
2
Полученное уравнение легко решить.
x
y
A
B
1 0
1
ϕ
ψ
(cos
ϕ, sin ϕ) = (sin ψ, cos ψ)
Рис. 22.1
Замечание. Аналогично показывается существование такого угла φ,
что cos φ = A, sin φ = B. Для A, B ¾ 0 угол φ определяется уравнением
φ = arctg(b/a). А исходное уравнение теперь принимает вид cos(x − φ) =
c
p
a
2
+ b
2
Для A, B ¾ 0 углы ψ и φ связаны соотношением ψ=
π
2
−φ (см. рис.
22.1
).
Пример 22.1. Для каждого значения a решите уравнение
4 cos x sin a + 2 sin x cos a − 3 cos a = 2
p
7.
Решение. Уравнение имеет следующий вид:
A(a) cos x + B(a) sin x = C(a),
где
A(a) = 4 sin a,
B(a) = 2 cos a,
C(a) = 2
p
7 + 3 cos a.

§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
189
Преобразуем уравнение способом, указанным выше. Получаем
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) · sin(x + ϕ(a)) = C(a).
Вычислим
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) =
p
16 sin
2
a
+ 4 cos
2
a
=
p
12 sin
2
a
+ 4 ¾ 2 > 0.
Поэтому уравнение равносильно следующему:
sin(x + ϕ(a)) =
C(a)
p
A
2
(a) + B
2
(a)
Условие его разрешимости таково:
C(a)
p
A
2
(a) + B
2
(a)
¶ 1 ⇔ |C(a)| ¶
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) ⇔
⇔ (2
p
7 + 3 cos a)
2
¶ 16 sin
2
a
+ 4 cos
2
a
⇔
⇔ 28 + 12
p
7 cos a + 9 cos
2
a ¶ 16(1 − cos
2
a) + 4 cos
2
a
⇔
⇔ 12 + 12
p
7 cos a + 21 cos
2
a ¶ 0 ⇔
⇔ 4 + 4
p
7 cos a + 7 cos
2
a ¶ 0 ⇔ (2 +
p
7 cos a)
2
¶ 0.
Это означает, что уравнение имеет решение только при cos a = −
2
p
7
При этом возможны два случая:
1)





cos a = −
2
p
7
,
sin a =
È
3 7
;
2)





cos a = −
2
p
7
,
sin a = −
È
3 7
Подставим найденное значение в исходное уравнение. В первом слу- чае (cos a = −2/
p
7, sin a =
p
3/7)
4 cos x ·
È
3 7
+ 2 sin x ·
€
−
2
p
7
Š +
6
p
7
= 2
p
7 ⇔
⇔ 4
p
3 cos x − 4 sin x + 6 = 14 ⇔
p
3 cos x − sin x = 2 ⇔
⇔ 2 cos
€
x
+
π
6
Š = 2 ⇔ cos€x +
π
6
Š = 1,
или x = −
π
6
+ 2πk, k ∈ Z. Во втором случае
4 cos x ·
€
−
È
3 7
Š + 2 sin x · €−
2
p
7
Š +
6
p
7
= 2
p
7 ⇔
⇔ −4
p
3 cos x − 4 sin x + 6 = 14 ⇔ −
p
3 cos x − sin x = 2 ⇔

190
Часть 1.
Решение задач
⇔ 2 cos
€
x
−
π
6
Š = −2 ⇔ cos€x −
π
6
Š = −1,
или x =
π
6
− π + 2πk = −
5π
6
+ 2πn, n ∈ Z.
Ответ: если a = arccos(−2/
p
7) + 2πl, l ∈ Z, то x = −π/6 + 2πk,
k
∈ Z; если a = − arccos(−2/
p
7) + 2πm, m ∈ Z, то x = −5π/6 + 2πn,
n
∈ Z; при других значениях параметра a решений нет.
Пример 22.2. Найдите все значения параметра α, при каждом из которых система уравнений



sin x = cos x
p
6 − 2a
2


,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
sin x
p
6 − 2a
2


имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2π].
Решение. Перепишем систему в следующем виде:



sin x = sin
€
π
2
− x
p
6 − 2a
2
Š
,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos
€
π
2
− x
p
6 − 2a
2
Š
и введём обозначения
α = α(x, a) =
π
2
− x
p
6 − 2a
2
Тогда исходная система принимает вид
(
sin x = sin α,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos α.
Равенство sin x = sin α означает, что соответствующие косинусы могут отличаться только знаком, т. е.
(
sin x = sin α,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos α
⇔
















sin x = sin α,
cos x = cos α,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos α;





sin x = sin α,
cos x = − cos α,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos α
⇔

§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
191
⇔
















sin x = sin α,
cos x = cos α,
cos x ·
€
5 3
− a
Š = 0;





sin x = sin α,
cos x = − cos α,
cos x ·
€
1 3
+ a
Š = 0
⇔








x
=
π
2
,
x
=
3π
2
,
a
=
5 3
,
a
= −
1 3
(рассматриваются решения из отрезка [0; 2π]).
Разберём все четыре случая.
I. Пусть a = −1/3. Тогда система принимает вид
¨
sin x = sin α,
cos x = − cos α
⇔ α = (π − x) + 2πn, n ∈ Z.
Но α =
π
2
− x ·
2
p
13 3
, следовательно,
α = (π − x) + 2πn ⇔ x = x
𝑛
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
,
n
∈ Z.
Покажем, что среди найденных значений x
𝑛
в отрезок [0; 2π] попа- дает только x
1
. Сначала докажем, что число 2
p
13/3 − 1 принадлежит интервалу (1; 5/3). Действительно,
2
p
13 3
− 1 > 2 ·
3 3
− 1 = 1,
2
p
13 3
− 1 < 2 ·
4 3
− 1 =
8 3
− 1 =
5 3
Проведём отбор корней:
x
𝑛
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
¶
−π/2 2
p
13/3 − 1
= x
0
< 0, n ¶ 0,
x
1
=
3π/2 2
p
13/3 − 1
∈
€
0;
3π
2
Š
,
x
𝑛
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
¾
7π/2 2
p
13/3 − 1
= x
2
>
7π/2 5/3
=
21π
10
> 2π, n ¾ 2.
Вывод: при a = −1/3 исходная система уравнений действительно имеет единственное решение x =
3π/2 2
p
13/3 − 1
на отрезке [0; 2π].
II. Пусть a = 5/3. Тогда система принимает вид
¨
sin x = sin α,
cos x = cos α
⇔ α = x + 2πn, n ∈ Z.

192
Часть 1.
Решение задач
Но α =
π
2
− x ·
2 3
, следовательно,
α = x + 2πn ⇔ x = x
𝑛
=
3π
10
+
6πn
5
,
n
∈ Z.
Среди найденных значений x
𝑛
в отрезок [0; 2π] попадают x
0
= 3π/10
и x
1
= 15π/10 = 3π/2.
Вывод: при a = 5/3 исходная система уравнений имеет два реше- ния на отрезке [0; 2π], т. е. условия задачи не выполнены.
III. Пусть x = π/2. Тогда система принимает вид
(
1 = sin α,
0 =
€
a
−
2 3
Š
cos α,
где α =
π
2
· 1 −
p
6 − 2a
2


. Из первого уравнения находим
α =
π
2
+ 2πn ⇔ 1 −
p
6 − 2a
2
= 1 + 4n ⇔
p
6 − 2a
2
= −4n, n ∈ Z.
Но так как p
6 − 2a
2
∈ [0;
p
6], уравнение p
6 − 2a
2
= −4n, n ∈ Z, мо- жет иметь решения лишь при n = 0, т. е.
p
6 − 2a
2
= 0 ⇔ a = ±
p
3. При
a
=±
p
3 мы имеем a − 2/3 6= 0, поэтому исходная система равносильна следующей:
¨
sin x = 1,
cos x = 0.
Следовательно, система имеет единственное на отрезке [0; 2π] реше- ние x = π/2.
Вывод: при a = ±
p
3 исходная система уравнений действительно имеет единственное решение x = π/2.
IV. Пусть x = 3π/2. Тогда система принимает вид
( −1 = sin α,
0 =
€
a
−
2 3
Š
cos α,
где α =
π
2
· 1 − 3
p
6 − 2a
2


. Из первого уравнения находим
α =
3π
2
+ 2πn ⇔ 1 − 3
p
6 − 2a
2
= 3 + 4n ⇔
⇔
p
6 − 2a
2
= −
2 3
−
4n
3
, n ∈ Z.
Но так как p
6 − 2a
2
∈ [0;
p
6], уравнение p
6 − 2a
2
= −
2 3
−
4n
3
, n ∈ Z,
может иметь решения лишь при n = −1, −2, т. е.
p
6 − 2a
2
=
2 3
, 2 ⇔ a = ±
5 3
, ±1.

§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
193
Случай a = 5/3 разобран в п. II и не подходит. Заметим, что при
a
= −5/3, ±1 справедливо неравенство (a − 2/3) 6= ±1. Следовательно,
система
(
sin x = sin α,
cos x =
€
a
−
2 3
Š
cos α
может иметь только решения x = π/2, 3π/2, (так как из равенства sin x = sin α вытекает, что |cos x| = |cos α|). Значение x = π/2 возможно лишь при a = ±
p
3 (см. п. III). Поэтому остаётся x = 3π/2. Но, как было показано выше, x = 3π/2 является решением системы, а следо- вательно, и единственным, так как других решений нет.
Вывод: при a = −5/3, ±1 исходная система уравнений действи- тельно имеет единственное решение x = 3π/2.
Ответ: a
∈ {−1/3; −5/3; ±1; ±
p
3}.
Задачи с исследованием множества решений
Пример 22.3. Найдите условие, при котором расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения p
3
(sin x) = 0, где p
3
(t) =
= a
3
t
3
+ a
2
t
2
+ a
1
t
+ a
0
, не превосходит π/3.
Решение. Поскольку у многочлена p
3
(t) корней не более чем три,
у исходного уравнения имеется лишь одна возможность t
1
= 0, t
2,3
=
= ±
p
3/2, где t
1
, t
2
, t
3
— корни уравнения p
3
(t) = 0 (см. рис.
22.2
).
x
t
0 1
t
= 0
t
= −
p
3
/2
t
=
p
3
/2
π/3
Рис. 22.2
Следовательно, p
3
(t) = a(t
2
− 3/4)t, т. е. a
3
= a, a
2
= 0, a
1
= −3a/4,
a
0
= 0, где a ∈ R \ {0}.
Ответ: a
3
= a, a
2
= 0, a
1
= −3a/4, a
0
= 0, где a ∈ R \ {0}.
Пример 22.4. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого корня уравнения
3 cos α sin x + sin α sin 3x = 2 sin 2α cos 2x − sin 3x + cos 3α
найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/3 от него.

194
Часть 1.
Решение задач
Решение. Исходное уравнение равносильно следующему:
(1 + sin α)(3 sin x − 4 sin
3
x) − 2 sin 2α(1 − 2 sin
2
x) +
+ 3 cos α sin x − cos 3α = 0.
Данное уравнение является уравнением третьей степени относитель- но sin x, и согласно примеру
22.3
условие задачи равносильно тому,
что исходное уравнение имеет решения sin x = 0, sin x = ±
p
3/2. Ввиду периодичности функций в исходное уравнение достаточно подста- вить x = 0, x = ±π/3. Подставляя данные значения, находим
x
= 0 ⇒ 2 sin 2α + cos 3α = 0;
x
=
π
3
⇒ 3 cos α ·
p
3 2
= 2 sin 2α ·
€
−
1 2
Š + cos 3α;
x
= −
π
3
⇒ −3 cos α ·
p
3 2
= 2 sin 2α ·
€
−
1 2
Š + cos 3α.
Из последних двух уравнений вытекает равенство cos α = 0, но тогда и cos 3α = 0. Остаётся заметить, что из этих трёх уравнений следует,
что и sin 2α тоже должен равняться нулю, но это условие выполняет- ся, ввиду того что cos α = 0.
Ответ:
α = π/2 + πn, n ∈ Z.
Пример 22.5. Найдите все значения a, b, при каждом из которых уравнение p
2
(sin x) = 0, где p
2
(t) = (t − a)(t − b), имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Все возможные случаи изобразим на тригонометриче- ской окружности (см. рис.
22.3
–
22.9
).
1. Случай на рис.
22.3
возможен, когда a = 1, b ∈ (−∞; −1) ∪ [1; +∞)
либо b = 1, a ∈ (−∞; −1) ∪ [1; +∞).
2. Случай на рис.
22.4
возможен, когда a = −1, b ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞)
либо b = −1, a ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞).
3. Случай на рис.
22.5
возможен, когда a = −1, b = 1 либо b = −1,
a
= 1.
4. Случай на рис.
22.6
возможен, когда a = 0, b ∈ (−∞; −1) ∪ {0} ∪
∪ (1; +∞) либо b = 0, a ∈ (−∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞).
5. Случай на рис.
22.7
возможен, когда a = −1/
p
2, b = 1/
p
2 либо
b
= −1/
p
2, a = 1/
p
2.
6. Случай на рис.
22.8
возможен, когда a = 1/2, b = −1 либо b = 1/2,
a
= −1.
7. Случай на рис.
22.9
возможен, когда a = −1/2, b = 1 либо b = −1/2,
a
= 1.

§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
195
x
t
0
t
= 1
Рис. 22.3
x
t
0
t
= −1
Рис. 22.4
x
t
0
t
= 1
t
= −1
Рис. 22.5
x
t
0
t
= 0
Рис. 22.6
x
t
0
t
= 0
t
= −
p
2
/2
t
=
p
2
/2
π/4
Рис. 22.7
x
t
0
t
= −1
t
= 1/2
π/6
Рис. 22.8
x
t
0
t
= −1/2
t
= 1
−π/6
Рис. 22.9
Ответ: Все возможные значения a и b описаны в случаях 1–7.
Пример 22.6. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение cos 2x − 2a sin x − |2a − 1| + 2 = 0 имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду sin
2
x
+ a sin x +
a −
1 2
−
3 2
= 0.

196
Часть 1.
Решение задач
Обозначив t = sin x, получим квадратное уравнение
t
2
+ a · t +
a −
1 2
−
3 2
= 0.
(22.1)
Каждому корню ˜
t этого уравнения соответствует уравнение sin x = ˜t,
решения которого являются решениями исходного уравнения.
В предыдущей задаче (пример
22.5
) выяснено, когда множество решений совокупности двух уравнений вида sin x = ˜
t образует ариф- метическую прогрессию. Множества этих решений изображены на рис.
22.3
–
22.9 1. В первом случае (см. рис.
22.3
) исходное уравнение равносильно уравнению sin x = 1. Оно получается из уравнения (
22.1
) тогда и толь- ко тогда, когда одним из корней уравнения (
22.1
) является число 1,
а другой корень либо меньше −1, либо больше или равен 1. Под- ставляя в уравнение t = 1, получаем 1 + a + |a − 1/2| − 3/2 = 0, от- куда a ¶ 1/2, т. е. a ∈ (−∞; 1/2]. При этом уравнение принимает вид t
2
+ at − a − 1 = 0, и по тереме Виета другой его корень равен
−a − 1. Тогда сформулированное выше условие означает, что либо
−a − 1 ¾ 1 ⇒ a ∈ (−∞; −2], либо −a − 1 < −1 ⇒ a ∈ (0; +∞). Пересекая объединения этих множеств с множеством (−∞; 1/2], получаем часть ответа задачи: (−∞; −2] ∪ (0; 1/2].
2. Во втором случае (см. рис.
22.4
) одним из корней уравнения
(
22.1
) является t = 1, а другой корень должен быть либо меньше или равен −1, либо больше 1. При подстановке t = −1 в уравнение (
22.1
)
получаем 1−a+|a−1/2|−3/2=0, откуда находим a = 0. При этом урав- нение принимает вид t
2
− 1 = 0 и второй его корень t = 1 не удовле- творяет условиям рассматриваемого случая. Поэтому второй случай невозможен.
3. В третьем случае (см. рис.
22.5
) корнями уравнения (
22.1
) яв- ляются числа t = 1, t = −1, откуда по теореме Виета получаем



1 + (−1) = −a,
1 · (−1) =
a −
1 2
−
3 2
,
т. е. a = 0. Это значение является частью ответа задачи.
4. Четвёртый случай (см. рис.
22.6
) означает, что один из корней уравнения (
22.1
) равен 0, а другой либо тоже равен 0, либо меньше
−1, либо больше 1. Подставляя t = 0 в уравнение (
22.1
), получаем
|a − 1/2| = 3/2. Это уравнение имеет два решения: a = −1 и a = 2.

Тренировочные задачи к § 22 197
Если a = −1, то уравнение (
22.1
) принимает вид t
2
− t = 0 и имеет корни t = 0 и t = 1, причём второй корень не удовлетворяет усло- виям рассматриваемого случая. Если a = 2, то получаем уравнение
t
2
+ 2t = 0, второй корень которого t = −2 удовлетворяет условиям данного случая. Итак, a = 2 тоже часть ответа задачи.
5. В пятом случае (см. рис.
22.7
) уравнение (
22.1
) имеет корни
t
= −1/
p
2, t = −1/
p
2, и по теореме Виета получаем





1
p
2
+
€
−
1
p
2
Š = −a,
1
p
2
·
€
−
1
p
2
Š =
a −
1 2
−
3 2
⇔



a
= 0,
−
1 2
=
a −
1 2
−
3 2
Эта система несовместна, и рассматриваемый случай невозможен.
6. Шестой случай (см. рис.
22.8
) означает, что уравнение (
22.1
)
имеет корни t = 1/2, t = −1, и снова по теореме Виета получаем



1 2
+ (−1) = −a,
1 2
· (−1) =
a −
1 2
−
3 2
⇔



a
=
1 2
,
−
1 2
=
a −
1 2
−
3 2
Эта система тоже несовместна, и такой случай снова невозможен.
7. Наконец, в седьмом случае (см. рис.
22.9
) t = −1/2, t = 1, и по теореме Виета



−
1 2
+ 1 = −a,
−
1 2
· 1 =
a −
1 2
−
3 2
Отсюда получаем a = −1/2, что даёт ещё одну часть ответа.
Осталось объединить части ответа, полученные в первом, тре- тьем, четвёртом и седьмом случаях.
Ответ: (−∞; −2] ∪ {−1/2} ∪ [0; 1/2] ∪ {2}.
Тренировочные задачи к § 22
22.1. Найдите все значения параметра k, при которых ровно одна точка графика функции
y
= 2x + (lg k)
p cos(2kπx) + 2 cos(kπx) − 3 + 1
лежит в области (2x − 7)
2
+ 4(y − 3)
2
¶ 25.

198
Часть 1.
Решение задач
22.2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция
y(x) = log
25−𝑎
2
(cos x +
p
8 sin x − a)
определена при всех значениях x.
22.3. При каких значениях a неравенство log
(2𝑎−15)/5
€
sin x +
p
3 cos x + a − 5 5
Š > 0
выполняется при всех x?
22.4. При каких значениях a уравнение
2 cos
2
(2 2 𝑥−𝑥
2
) = a +
p
3 sin(2 2 𝑥−𝑥
2
+1
)
имеет хотя бы одно решение?
22.5. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0
найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2.
22.6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(a
2
− 6a + 9)(2 + 2 sin x − cos
2
x) + (12a − 18 − 2a
2
) · (1 + sin x) + a + 3 = 0
не имеет решений.
22.7. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
|3 sin
2
x
+ 2a sin x cos x + cos
2
x
+ a| ¶ 3
выполняется для любых значений x.
22.8. Для каждого значения b решите уравнение
3 cos x sin b − sin x cos b − 4 cos b = 3
p
3.
22.9. Найдите все действительные значения параметра a, при каж- дом из которых множество значений функции
y
=
sin x + 2(1 − a)
a
− cos
2
x
содержит отрезок [1; 2].
22.10. При каких значениях параметра a ¾ 1 уравнение sin
€
4 13
x
Š
· tg x = 0
имеет ровно шесть различных корней на отрезке [2aπ; (a
2
+ 1)π]?
Укажите эти корни.

Тренировочные задачи к § 22 199
22.11. Решите уравнение
3 cos x + 2 sin x
cos x
=
cos 2x
cos
2
x
+
cos x + sin x
cos x
·
Æ
3 + 2x − 2 y + 2xy − x
2
− y
2
22.12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любой корень уравнения
a(2a − 1) sin
3
x
+ 3 cos
3
x
− 2a
2
sin x = 0
является корнем уравнения log
1/2
(3 tg x − 1) − log
2
(3 tg x + 1) − log
1/
p
2
(5 − tg x) = 1
и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем пер- вого уравнения.
22.13. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений



cos x = sin x
p
4 − 7a
2


,
sin x =
€
3a −
1 2
Š
cos x
p
4 − 7a
2


имеет ровно одно решение на отрезке [π/2; 5π/2].
22.14. Пусть t
1
и t
2
— корни квадратного уравнения
t
2
− (5b − 2)
2
t
− 3b
2
− 7b + 1 = 0.
Найдите все значения b, при каждом из которых для любого значения параметра a функция
f (x) = cos(aπx) · cos((t
3 1
+ t
3 2
) · πx).
является периодической.
22.15. Найдите все значения a, для которых неравенство log
5
a cos 2x − (1 + a
2
− cos
2
x) sin x + 4 − a


¶ 1
выполняется при всех x.
22.16. Найдите все значения a, при которых на отрезке [π/2; 3π/2]
существует ровно шесть корней уравнения cos 6x + a = (2a + 1) cos 3x.
22.17. Найдите все значения a, при которых уравнение
(|a| − 1) cos 2x + (1 − |a − 2|) sin 2x + (1 − |2 − a|) cos x + (1 − |a|) sin x = 0
имеет нечётное число различных решений на интервале (−π; π).

200
Часть 1.
Решение задач
22.18. При всех значениях параметра p ¶ 9 найдите решения урав- нения
3
p
3 tg
€
π
15
sin x −
3π
5
Š
·sin
€
2π
7
sin
2
x
+
3π
14
Š +cos
2
€
5π
14
−
π
7
cos(2x)
Š =
= 6 tg
2
€
π
15
sin x +
2π
5
Š
− p
на отрезке [0; 2π].
22.19. Найдите все значения a, при которых для любого корня урав- нения
3 tg a cos 2x + 3
p
2 cos 3a cos x + 3 tg a − ctg a = 0
найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/2 от него.
22.20. Найдите все значения a, при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения cos α cos 3x − sin 3α cos x + 2 sin 2α cos 2x = 3 sin α − cos 3x
не превосходит π/3.
22.21. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение cos 2x + 2a cos x + |2a + 1| − 2 = 0
имеет решения и все его положительные решения образуют арифме- тическую прогрессию.
Ответы
22.1
. k
∈ [1; 2) ∪ (2; 3).
22.2
. a
∈ (−5; −
p
24) ∪ (−
p
24; −3).
22.3
. a
∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞).
22.4
. a
∈ [−1; 2).
22.5
. a
∈ {±1/6; ±
p
2/6}.
22.6
. a
∈ (−∞; −3) ∪ (1; 6).
22.7
. a
∈ [−12/5; 0].
22.8
. Если b = 5π/6 + 2πl, l ∈ Z, то x = π/6 + 2πk, k ∈ Z; если b = −5π/6 + 2πm,
m
∈ Z, то x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z; при других значениях параметра b решений нет.
22.9
. a
∈ [1/3; 3/4) ∪ (3/4; 33/32]. Указание. Перепишите условие в виде неравенств.
22.10
. a
∈ {3} ∪ [
p
10;
p
11).
22.11
. (πn; πn − 1), n ∈ Z. Указание. Перейдите к переменной t = tg x и ис- следуйте подкоренное выражение.
22.12
. a
= 1. Указание. Решите второе уравнение.
22.13
. a
∈ {−1/6; −1/2; ±3/4; ±1/4;
p
39/7}.
22.14
. b
= 2/5.
22.15
. a
∈ [0; 1).
22.16
. a
∈ (−2/3; 0).
22.17
. a
∈ [0; 1) ∪ (1; 2] ∪ {3}. Указание. Представьте уравнение в виде A cos 2x + B sin 2x = −B cos x + A sin x и решите при помо- щи введения вспомогательного аргумента (одного угла ϕ для выражений в разных частях уравнения).

§ 23.
Геометрические задачи с элементами алгебры
201
22.18
. Если p = 9, то x = 3π/2; при p < 9 решений нет. Указание. Рассмотрите аргументы тангенсов и синуса с косинусом.
22.19
. a
= ±π/6 + πn, n ∈ Z.
22.20
.
α = πn, n ∈ Z. Указание. Уравнение по cos x является кубическим,
поэтому расположение корней задаётся однозначно.
22.21
. a
∈ {−2} ∪ [−1/2; 0] ∪ {1/2} ∪ [2; +∞).