задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
Рис. 24.9. Треугольник ABC 210 Часть 1. Решение задач что существует треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами α, β . Используя теорему синусов в треугольнике ABC, получаем W = 1 c · 3a sin α + b sin β = 1 c · (3 · 2R + 2R) = 8R c = 4 · 1 sin γ ¾ 4. Отметим, что знак равенства W = 4 достигается лишь в случае пря- мого угла γ. Ответ: 4. Тренировочные задачи к § 24 24.1. Найдите наименьшее значение выражения Æ (x − 6) 2 + 36 + Æ x 2 + y 2 + Æ ( y − 6) 2 + 9. 24.2. Для каждого допустимого значения a решите систему ( p x 2 + a 2 − 2x − 22a + 122 = 2 p 37 − p x 2 + a 2 + 2x + 2a + 2, log 𝑥 +1 4 + log 𝑎 4 = 0. 24.3. Для каждого значения a решите систему ( x 2 + a 2 − 14x − 10a + 58 = 0, p x 2 + a 2 − 16x − 12a + 100 + p x 2 + a 2 + 4x − 20a + 104 = 2 p 29. 24.4. Решите систему уравнений ( 2 2−𝑥 = 4y p 2, Æ x 2 + y 2 + 1 − 2x + Æ x 2 + y 2 − 6x − 2 y + 10 = p 5. 24.5. При каких значениях a система ( y 2 − (2a + 1) y + a 2 + a − 2 = 0, Æ (x − a) 2 + y 2 + Æ (x − a) 2 + (y − 3) 2 = 3 имеет единственное решение? 24.6. Найдите все значения a и b, при которых система уравнений ¨ x 2 + 40 − a 2 = 4y − y 2 − 12x, x 2 + y 2 + (−2b − 8)x = 2by − 2b 2 − 8b имеет ровно два различных решения (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ), удовлетворя- ющих условию y 1 + y 2 x 1 − x 2 = x 1 + x 2 y 2 − y 1 Тренировочные задачи к § 24 211 24.7. Найдите наименьшее значение величины 1 r · 4p u + q p 1 − v 2 , где p, q, r, u, v — положительные числа, удовлетворяющие условиям pv + q p 1 − u 2 ¶ r, p 2 + 2qr p 1 − u 2 ¾ q 2 + r 2 , 2qr p 1 − u 2 + q 2 · 1 − v 2 − u 2 v 2 − 1 ¾ r 2 Ответы 24.1 . 15. 24.2 . Если a = 2, то x = −1/2; при остальных a решений нет. 24.3 . Если a = (180 + 2 p 415)/29, то x = (217 − 5 p 415)/29; при остальных a решений нет. 24.4 . (3/2; 1/4). 24.5 . a ∈ [−2; 1) ∪ (1; 4]. 24.6 . b = −1, p 90 − 4 < |a| < p 90 + 4. 24.7 . 5. Часть 2 Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения Диагностическая работа 1 1. При всех значениях a решите неравенство x x + a > 1. 2. Найдите все значения a, при которых неравенство x − 3a − 1 x + 2a − 2 ¶ 0 выполняется для всех x из отрезка [2; 3]. 3. Для каждого значения a решите уравнение 9a 2 + log 2 2 x + 3 arccos(x − 1) − (3a − 1) log 2 x 2 − 6a + 1 = 0. 4. Квадратное уравнение x 2 − 6px + q = 0 имеет два различных корня x 1 и x 2 . Числа p, x 1 , x 2 , q — четыре по- следовательных члена геометрической прогрессии. Найдите x 1 и x 2 5. При каких значениях a уравнение |x| + x + 1 3x − 1 = a имеет ровно три различных решения? 6. Найдите все значения p, при которых уравнение 6 sin 3 x = p − 5 cos 2x не имеет корней. Диагностическая работа 2 213 7. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ x 2 + y 2 − 6|x| − 6| y| + 17 ¶ 0, x 2 + y 2 − 2 y = a 2 − 1 имеет хотя бы одно решение. 8. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 25 𝑥 − 13 · 5 𝑥 + a < 0, 12 sin 4 πx − cos 4πx = 11 имеет хотя бы одно решение. Диагностическая работа 2 1. При всех значениях a решите неравенство |x + a| < x. 2. При каких значениях a функция y = 2 𝑎𝑥 +7 /2 𝑥 2 имеет максимум при x = 4? 3. Найдите наибольшее значение a, при котором уравнение x 3 + 5x 2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из ко- торых равен −2. 4. Найдите все значения a, при которых уравнение x 2 − 2a sin(cos x) + a 2 = 0 имеет единственное решение. 5. При каких значениях p уравнение 4 𝑥 + 2 𝑥 +2 + 7 = p − 4 −𝑥 − 2 · 2 1−𝑥 имеет решение? 6. Найдите все значения a, при которых уравнение ||x + a| − 2x| − 3x = 7|x − 1| имеет не более одного корня. 7. Для каждого целого значения m найдите все решения уравнения log 𝑚2 4 +𝑥 2 (3x) 𝑚 2 +1 = m 2 + 1. 214 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 8. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ (5 − 2 p 6) 𝑥 + (5 + 2 p 6) 𝑥 − 5a = y − | y| − 8, x 2 − (a − 4) y = 0 имеет единственное решение. Диагностическая работа 3 1. При всех значениях a решите неравенство a x + a > 1. 2. При каких положительных значениях a неравенство a + 2x ax − 4 ¾ 5 x справедливо для всех x > 10? 3. Найдите все значения a, при которых уравнение 2 cos 2x − 4a cos x + a 2 + 2 = 0 не имеет решений. 4. При каких значениях a четыре корня уравнения x 4 + (a − 5)x 2 + (a + 2) 2 = 0 являются последовательными членами арифметической прогрессии? 5. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравне- ний ¨ x 2 + y 2 = 1, x + y = a имеет единственное решение. 6. При каких значениях q система ( x 2 + qx + 3 = 0, sin 2 q π + cos 2 π 2 x + 2 𝑦 2 = sin π 2 x имеет решения? Найдите эти решения. 7. При каждом значении b решите неравенство p x + 4b 2 > x + 2|b|. Диагностическая работа 4 215 8. При каких значениях a система ( x 2 − (2a − 2)x + a 2 − 2a − 3 = 0, Æ ( y − a) 2 + x 2 + Æ ( y − a) 2 + (x − 4) 2 = 4 имеет единственное решение? Диагностическая работа 4 1. Для каждого значения a решите уравнение x |x + 1| + a = 0. 2. Найдите все значения b, при которых уравнение x − 2 = p 2(b − 1)x + 1 имеет единственное решение. 3. Для каждого допустимого значения a решите неравенство a 𝑥 (a − 1) 𝑥 − 2a 𝑥 +1 − (a − 1) 𝑥 + 2a ¶ 0 и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2. 4. Найдите все значения a, при которых уравнение x(2 𝑥 − 1) 2 𝑥 + 1 + 2a = a 2 + 1 имеет нечётное число различных решений. 5. Найдите наибольшее значение a, при котором неравенство a p a(x 2 − 2x + 1) + p a x 2 − 2x + 1 ¶ 4 p a 3 · sin πx 2 имеет хотя бы одно решение. 6. Найдите все значения a, при которых уравнение ||x − a| + 2x| + 4x = 8|x + 1| не имеет ни одного корня. 7. Найдите все значения a, при каждом из которых существует един- ственная пара целых чисел (x; y), удовлетворяющая уравнению −15x 2 + 11xy − 2y 2 = 7 и неравенствам x < y, 2a 2 x + 3ay < 0. 216 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 8. При каких значениях a система (x + p 2z) 2 + (y + p 2t) 2 = 25 + 2a p 25 − a 2 , x 2 + y 2 = a 2 , z 2 + t 2 = 25 − a 2 2 имеет хотя бы одно решение? Диагностическая работа 5 1. При всех значениях a решите неравенство (x − 1)(x − a) x − a − 1 2 > 0. 2. Найдите все значения a, при которых неравенство |x 2 + 4x − a| > 6 не имеет решений на отрезке [−3; 0]. 3. Решите уравнение (x − 1) 6 (sin 4x + sin 4) 1/6 + (x + 1) 6 (sin 2 − sin 2x) 1/6 = 0. 4. Уравнение ax 2 + bx + 2 = 0, где a < 0, имеет одним из своих корней число x = 3. Решите уравнение ax 4 + bx 2 + 2 = 0. 5. Найдите все значения α, при которых уравнение x 2 + 6x p sin α + 9 p 3 cos α + 36 = 0 имеет единственное решение. 6. Для каждого значения a, принадлежащего интервалу (0; 2), най- дите наименьшее значение выражения x 2 + y 2 − 2a(x + y) при условии cos(πxy/2) = 1. 7. Для каждого значения a, принадлежащего отрезку [−1; 0], решите неравенство log 𝑥 +𝑎 (x 2 − (a + 1)x + a) ¾ 1. Диагностическая работа 6 217 8. Для каждого допустимого значения a решите систему ( p x 2 + a 2 − 2x + 2a + 2 = p 37 − p x 2 + a 2 − 4x − 10a + 29, log 𝑥 −1 7 + log 𝑎 7 = 0. Диагностическая работа 6 1. Найдите все значения a, при которых уравнение 5|x − 3a| + |x − a 2 | + 4x = a 1) имеет бесконечное множество решений; 2) не имеет решений. 2. При каких значениях a уравнение (a − 1) · 4 𝑥 + (2a − 3) · 6 𝑥 = (3a − 4) · 9 𝑥 имеет единственное решение? 3. Для каждого значения a решите неравенство (x 2 + 2x − a 2 − 4a − 3)(sin x + 2x) > 0. 4. При каких значениях b система уравнений ¨ x 2 + y 2 = 2, | y| − x = b имеет ровно три различных решения? 5. Найдите все значения b, при каждом из которых неравенство (3 − 2 p 2) 𝑥 + (b 4 + 12 − 6b 2 ) · (3 + 2 p 2) 𝑥 + 9 𝑡 + b 2 4 + b · 3 𝑡 − p 12 ¶ 0 имеет хотя бы одно решение (t; x). 6. Найдите все значения a, при каждом из которых корни уравнения Æ x + 3 − 4 p x − 1 + Æ x + 8 − 6 p x − 1 = a существуют и принадлежат отрезку [2; 17]. 7. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие уравне- нию m 2 + amn − bn 2 = 0, где a = 1953 100 , b = 1995 100 218 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения x 2 64 + z 2 49 , если величины x, y, z, ω удовлетворяют системе x 2 + y 2 − 6x − 4 y − 51 = 0, z 2 + ω 2 + 2z + 8ω − 32 = 0, x ω + yz + 4x − 3ω + y − 2z − 70 ¾ 0. Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите все значения α, при каждом из которых система ¨ x 2 + (y + 4 p 2) 2 = 16, (x − cos α) 2 + (y − sin α) 2 = 1 имеет хотя бы одно решение. 2. Найдите все значения a, при каждом из которых система (|x| − 6) 2 + (|y| − 6) 2 = 4, y = ax + 1, xy > 0 имеет единственное решение. 3. Известно, что значение a таково, что система уравнений ¨ 2 ln 𝑦 = 4 |𝑥| , log 2 (x 4 y 2 + 2a 2 ) = log 2 (1 − ax 2 y 2 ) + 1 имеет единственное решение. Найдите это значение a и решите си- стему при этом найденном значении. 4. Для каждого значения a решите уравнение 4 cos x sin a + 2 sin x cos a − 3 cos a = 2 p 7. 5. Найдите все значения a, для каждого из которых при любом зна- чении b имеет хотя бы одно решение система уравнений ¨ (1 + 5x 2 ) 𝑎 + (b 2 − 6b + 10) 𝑦 = 2, x 2 y 2 + (b − 3)xy + a 2 + 2a = 3. Задачи для самостоятельного решения 219 6. Найдите все значения α, при каждом из которых система уравне- ний sin x = cos x p 6 − 2a 2 , cos x = a − 2 3 sin x p 6 − 2a 2 имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2π]. 7. Найдите все значения a, при каждом из которых общие решения неравенств x 2 − 4x ¶ a − 3 и x 2 + 2a ¶ 2x образуют на числовой оси отрезок длиной 1. 8. Найдите все значения a, при каждом из которых функция y(x) = log 25−𝑎 2 (cos x + p 8 sin x − a) определена при всех значениях x. 9. Для каждого значения a решите систему ( p x 2 + a 2 − 2x + 2a + 2 = p 37 − p x 2 + a 2 − 4x − 10a + 29, log 𝑥 −1 7 + log 𝑎 7 = 0. 10. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения x 2 64 + z 2 49 , если величины x, y, z, ω удовлетворяют системе x 2 + y 2 − 6x − 4 y − 51 = 0, z 2 + ω 2 + 2z + 8ω − 32 = 0, x ω + yz + 4x − 3ω + y − 2z − 70 ¾ 0. 11. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 2xy − ax − 2ay + a 2 − 2 = 0, 4x 2 + 4y 2 − 8ax − 4ay − 7a 2 − 20a = 0 имеет ровно два различных решения. 12. При каких значениях a система (x + p 2z) 2 + (y + p 2t) 2 = 25 + 2a p 25 − a 2 , x 2 + y 2 = a 2 , z 2 + t 2 = 25 − a 2 2 имеет хотя бы одно решение? |