задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
14. Для каждого значения a решите систему ( x 2 + a 2 + 2x − 14a − 14 = 0, p x 2 + a 2 − 18x + 4a + 85 + p x 2 + a 2 + 6x − 12a + 45 = 4 p 13. 15. Найдите все значения b на отрезке [0; π/2], при каждом из кото- рых система ¨ | p 3 · x + y| + | p 3 · y − x| = 2 cos b, (x + p 3 · y) 2 + (y − p 3 · x) 2 = 4 sin b имеет ровно четыре различных решения. 16. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ 7 2 𝑥 2 +2 𝑦 2 +13𝑥+10 𝑦+13 + 7 𝑥 +2 𝑦−8 ¶ 344 · 7 𝑥 2 +𝑦 2 +7𝑥+6 𝑦+1 , x 2 + y 2 − 18x − 12 y = a имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию 2x = 3 y. 17. При каких значениях a неравенство log (2𝑎−15)/5 sin x + p 3 cos x + a − 5 5 > 0 выполняется при всех x? 18. При каких значениях a уравнение 2 cos 2 (2 2 𝑥−𝑥 2 ) = a + p 3 sin(2 2 𝑥−𝑥 2 +1 ) имеет хотя бы одно решение? 19. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0 найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2. 20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a 2 − 6a + 9)(2 + 2 sin x − cos 2 x) + (12a − 18 − 2a 2 ) · (1 + sin x) + a + 3 = 0 не имеет решений. Задачи для самостоятельного решения 221 21. Найдите все значения a, при которых неравенство |3 sin 2 x + 2a sin x cos x + cos 2 x + a| ¶ 3 выполняется для любых значений x. 22. Найдите все значения a, при которых система ¨ 2 |𝑥| + |x| = y + x 2 + a, x 2 + y 2 = 1 имеет единственное решение. 23. Найдите все значения a и b, при которых система xyz + z = a, xyz 2 + z = b, x 2 + y 2 + z 2 = 4 имеет только одно решение. 24. Найдите все значения b, при которых уравнение 2b 2 − b sin π · x 2 − 16x − 2 12 − 1 = = 3 π arcsin 2 − x 4 log p 5+2 8 − x + p x 2 − 16x + 65 имеет единственное решение, и определите это решение. 25. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого b система ¨ az 2 = y − bx, (2b + 3)x = by − 2z + 1 имеет хотя бы одно решение (x; y; z). 26. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ |3x − y + 2| ¶ 12, (x − 3a) 2 + (y + a) 2 = 3a + 4 имеет единственное решение. 27. Найдите все значения a из интервала (−π; π), при которых си- стема ¨ (x 2 + y 2 − 1)(6 y − x 2 − 15) = 0, y cos a + x sin a = 1 имеет ровно три различных решения. 222 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 28. Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек плоскости, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе x 2 + y 2 + 8x − 12y + 38 x 2 + y 2 + 10x − 14y + 72 ¶ 0, (x + a)( y − a) = 0, является отрезком. 29. Найдите все значения a, при каждом из которых система a 2 x + 2a ax − 2 + a 2 ¾ 0, ax + a > 5 4 не имеет решений. 30. Решите уравнение 3 cos x + 2 sin x cos x = cos 2x cos 2 x + cos x + sin x cos x · Æ 3 + 2x − 2 y + 2xy − x 2 − y 2 31. При каких значениях a уравнение (sin x − log 4 a) · (sin x − 2 + 2a) = 0 имеет ровно два различных корня на отрезке [π/2; 5π/2]? 32. Найдите все значения a, при которых уравнение (a + 1) sin 2 x − (a 2 + 5a + 4) sin x + 2a 2 + 4a + 2 = 0 имеет более одного решения на отрезке [−π/2; 5π/6]. 33. При каких значениях a уравнение (1 + sin(3ax)) p 5πx − x 2 = 0 имеет ровно пять различных корней? 34. При каких значениях a, принадлежащих интервалу (−π/2; π/2), уравнение q 2 sin(x − a) + p 3 = cos 6x − 1 имеет решения? 35. Найдите все значения a, при которых уравнение (|a| − 1) cos 2x + (1 − |a − 2|) sin 2x + (1 − |2 − a|) cos x + (1 − |a|) sin x = 0 имеет нечётное число различных решений на интервале (−π; π). Задачи для самостоятельного решения 223 36. Найдите все значения a, при которых для любого корня уравне- ния cos α cos 3x − sin 3α cos x + 2 sin 2α cos 2x = 3 sin α − cos 3x найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/3 от него. 37. Найдите все значения a, при которых система ¨ |x| + 2|y| + |2y − 3x| = 12, x 2 + y 2 = a имеет ровно два различных решения. 38. Найдите все значения a, при которых система ¨ |x + 1| + |x − 1| − 2y = 0, x 2 + y 2 − 2ay + 2a 2 = 1 имеет единственное решение. 39. Найдите все значения a, при которых система ¨ (5 − 2 p 6) 𝑥 + (5 + 2 p 6) 𝑥 − 5a = y − | y| − 8, x 2 − (a − 4) y = 0 имеет единственное решение. 40. Найдите все значения a, при которых уравнение sin πx 1 + x 2 + 6a 2 + tg 2 x 2 − 1 x + a 2 + 3 = 0 имеет единственное решение. 41. Найдите все значения a и b, при которых система ¨ (x − y) 2 + 4|x| + 4(y − x) = −b 2 − 2a − 5, | y − x + 2| − | − y − 2| = a 2 − 2b + 1 имеет единственное решение. 42. При каждом значении a решите систему 4 p x − a + p y + a ¶ 38 − 64 p x − a − 9 p y + a , 3 13−𝑥 log 3 ( y − 9) = 1. 224 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 43. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 3 − ax 2 − (a 3 − 6a 2 + 5a + 8)x − (a − 3) 3 = 0 имеет ровно три различных корня, образующих геометрическую про- грессию (укажите эти корни). 44. Для каждого значения a решите систему ( 4 log 2 25 x + 9 log 2 125 y ¶ 9(a 2 − 2a), log 2 5 x y ¾ 18(a 2 − 2a). 45. Найдите все значения b, при каждом из которых неравенство (b 4 + 12 − 6b 2 ) · (2 + p 3) 𝑧 + (2 − p 3) 𝑧 + 9 𝑦 + 3b 2 + b p 12 · 3 𝑦 − p 12 ¶ 0 имеет хотя бы одно решение ( y; z). 46. Найдите наименьшее значение z, при котором имеет решение система ( z − 8 cos 2 3 y 8 − 2 tg 2 3 y 8 = 2 cos 2 2x, 2π(1 + |x|) cos 3 y + |x|(π sin 2 3 y − 16 − 2π) = 0. 47. Найдите все пары чисел x и y, удовлетворяющие системе нера- венств ¨ 3 𝑥 +2𝑦−1 + 2 · 3 3𝑦−1 ¶ 2, x + 5y ¾ 2 − log 3 2. 48. Найдите наибольшее значение b, при котором неравенство p b 5 (8x − x 2 − 16) + p b 8x − x 2 − 16 ¾ − 2b 3 · |cos(πx)|. имеет хотя бы одно решение. 49. Найдите все значения a, при которых система ¨ ya 2 + x = 2a, (| y| + |1 + y| − 1)(xy − 1) = 0 имеет ровно два различных решения. 50. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств ( Æ (11 + x + 3a) 2 + (y − 4a + 4) 2 ¶ |a − 1| 5 , 4x + 3 y ¾ −12 не имеет решений. Задачи для самостоятельного решения 225 Ответы 1 . α ∈ [5π/4 + 2πn; 7π/4 + 2πn], n ∈ Z. 2 . a = (15 − p 57)/16; a = 15/8. 3 . a = 1, решение (0; 1). 4 . Если a = arccos(−2/ p 7) + 2πl, l ∈ Z, то x = −π/6 + 2πk, k ∈ Z; если a = − arccos(−2/ p 7) + 2πm, m ∈ Z, то x = −5π/6 + 2πn, n ∈ Z; при других значениях a решений нет. 5 . a = −3; a = 1. 6 . a ∈ {−1/3; −5/3; ±1; ± p 3}. 7 . a = 0; a = −3/4. 8 . a ∈ (−5; − p 24) ∪ (− p 24; −3). 9 . Если a = 2, то x = 3/2; при других значениях a решений нет. 10 . 3641 3136 ± p 505 28 11 . a = 1/3; a = −2. 12 . a ∈ [−5; 5]. 13 . a ∈ [−1; 3) ∪ (3; 7]. 14 . Если a = (70 − 6 p 87)/13, то x = 9 · ( p 87 − 3)/13; при других значениях a решений нет. 15 . b = arcsin(( p 5 − 1)/2); b = arcsin( p 2 − 1). 16 . a ∈ (92 − 8 p 13; 92 + 8 p 13). 17 . a ∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞). 18 . a ∈ [−1; 2). 19 . a ∈ {±1/6; ± p 2/6}. 20 . a ∈ (−∞; −3) ∪ (1; 6). 21 . a ∈ [−12/5; 0]. 22 . a = 0. 23 . a = b = −2. 24 . b = −1/2, x = 8. 25 . a ∈ [−1; 1/3]. 26 . a = −4/3; a = 2. 27 . a ∈(−2π/3;−π/2)∪(−π/2;− arccos(3/4))∪(arccos(3/4);π/2)∪(π/2; 2π/3). 28 . a ∈ (4 − p 14; 6 − p 14) ∪ (7 + p 2; 6 + p 14). 29 . a ∈ (−∞; −1/2) ∪ {0}. 30 . (πn; πn − 1), n ∈ Z. Указание. Перейдите к переменной t = tg x и иссле- дуйте подкоренное выражение. 31 . a ∈ (1/4; 1/2) ∪ {1} ∪ (3/2; 4]. 32 . a ∈ {−1} ∪ [−1/6; 1). 33 . a ∈ [−13/30; −3/10) ∪ (11/30; 1/2]. 34 . a ∈ {−π/3; 0; π/3}. 35 . a ∈ [0; 1) ∪ (1; 2] ∪ {3}. Указание. Представьте уравнение в виде A cos 2x + + B sin 2x = −B cos x + A sin x и решите при помощи введения вспомогатель- ного аргумента (одного угла ϕ для выражений в разных частях уравнения). 36 . α=πk, k∈Z. Указание. Уравнение по cos x является кубическим, поэтому расположение корней задаётся однозначно. 37 . a = 9/2; a = 117/4. 38 . a = 0; a = 1. 39 . a = 2; a = 4. 40 . a = −2; a = −1. 41 . a = −1, b = 1. 42 . Если a = −3, то решение (13; 12); при a 6= −3 решений нет. 43 . Если a = 2, то x = (3 − p 5)/2, x = −1, x = (3 + p 5)/2; если a = 4, то x = (3 − p 5)/2, x = 1, x = (3 + p 5)/2. 44 . Если a ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞), то решения (5 3 p 𝑎 2 −2𝑎/2 ; 5 −3 p 𝑎 2 −2𝑎/2 ); (5 −3 p 𝑎 2 −2𝑎/2 ; 5 3 p 𝑎 2 −2𝑎/2 ); если a = 0 или a = 2, то решение (1; 1); если a ∈ (0; 2), то решений нет. 45 . b = − p 3. 46 . z = 7. 47 . (1/3 + (2/3) log 3 2; 1/3 − (1/3) log 3 2). 48 . b = 1/9. 49 . a ∈ (−∞; −2]. 50 . a ∈ (−43; 45). 226 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения Ответы к диагностическим работам Диагностическая работа 1 1. Если a < 0, то x ∈ (−a; +∞); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−∞; −a). 2. a ∈ (−∞; −1/2) ∪ [2/3; +∞]. 3. Если a = 2/3, то x = 2; при других a решений нет. 4. (−3; 9); (2; 4). 5. a = 2. 6. p ∈ (−∞; −11) ∪ (5; +∞). 7. a ∈ [−6; 1 − p 13] ∪ [ p 13 − 1; 6]. 8. a ∈ (−∞; 13 p 5 − 5). Диагностическая работа 2 1. Если a < 0, то x ∈ (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅. 2. a = 8. 3. a = 7. 4. a = 0; a = 2 sin 1. 5. p ∈ [17; +∞). 6. a ∈ [−6; 4]. 7. Если m = 0, то x = 3; если m = ±1, то x = ±(3 ± 2 p 2)/2; если m = ±2, то x = (3 ± p 5)/2; если m = ±3, то x = ±3/2; при других целых m решений нет. 8. a = 2; a = 4. Диагностическая работа 3 1. Если a < 0, то x ∈ (0; −a); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−a; 0). 2. a ∈ [2/5; 11/2]. 3. a ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). 4. a = −5; a = −5/13. 5. a = ± p 2. 6. Если q = −4, то решение (1; 0); если q = 4, то решение (−3; 0); при других значениях q решений нет. 7. Если |b| ∈ [0; 1/4), то x ∈ (0; 1 − 4|b|); если |b| = 1/4, то решений нет; если |b| ∈ (1/4; 1/2], то x ∈ (1 − 4|b|; 0); если |b| > 1/2, то x ∈ [−4b 2 ; 0). 8. a ∈ [−1; 3) ∪ (3; 7]. Диагностическая работа 4 1. Если a < 0, то x = (−1 + p 1 − 4a)/2; если a = 0, то x = 0, x = −1; если a ∈ (0; 1/4), то x = (−1 − p 1 + 4a)/2, x = (−1 ± p 1 − 4a)/2; если a = 1/4, то x = (−1 − p 2)/2, x = −1/2; если a > 1/4, то x = (−1 − p 1 + 4a)/2. 2. b ∈ [3/4; +∞). 3. Если 1 < a < 2, то x ∈ (−∞; log 𝑎 −1 2a] ∪ [0; +∞); если a = 2, то x ∈ [0; +∞); если a > 2, то x ∈ [0; log 𝑎 −1 2a]. При a = 2 + p 3 множество решений — про- межуток длины 2. 4. a = ±1. 5. a = 1/16. 6. a ∈ (−7; 5). 7. a ∈ (−13/3; −19/5]. 8. a ∈ [−5; 5]. Диагностическая работа 5 1. Если a < 1, то x ∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞); если a = 1, то x ∈ (1; +∞); если a > 1, то x ∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞). |