задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром Цель данного параграфа состоит в том, чтобы на простейших при- мерах познакомить читателя с задачами с параметрами. Для решения данных задач ничего кроме здравого смысла не требуется. Если сразу непонятно, как решать задачу, мы советуем вчитываться в неё, до тех пор пока не станет ясно условие. В некоторых задачах для нахождения параметров достаточно про- сто подставлять в неравенство (уравнение или систему) точку: так решаются, скажем, задачи 1.1 , 1.2 , 1.5 и следующий пример. Пример 1.1. При каком наибольшем отрицательном значении a функция y = sin 24x + a π 100 имеет максимум в точке x 0 = π? Решение. Максимумы функции sin t достигаются в точках вида π/2+2πn, n ∈ Z. Следовательно, чтобы у исходной функции достигал- ся максимум в точке x 0 = π, должно существовать такое целое n ∈ Z, что 24π + a π 100 = π 2 + 2πn, n ∈ Z ⇔ ⇔ a 100 = 1 2 + 2m, m ∈ Z ⇔ a = 50 + 200m, m ∈ Z. Остаётся лишь выбрать среди чисел вида a = 50 + 200m, m ∈ Z, наи- большее отрицательное. Это будет число −150, получающееся при m = −1, так как если m ¾ 0, то 50 + 200m ¾ 50 > 0. Ответ: a = −150. Пример 1.2. При каждом значении a решите неравенство x − a x − a − 1 ¶ 0. 16 Часть 1. Решение задач Решение. При любом фиксированном значении a это обычное рациональное неравенство, поэтому к нему можно применить метод интервалов. Напомним, что для этого следует расположить на число- вой оси числа a и a + 1, в которых обращаются в нуль числитель и зна- менатель соответственно. Ясно, что при любом a число a + 1 больше, чем a. Поэтому получаем такое расположение, как на рис. 1.1 + − + a a + 1 x Рис. 1.1 Ответ: x ∈ [a; a + 1) при любом a. Рассмотрим ещё один пример. Пример 1.3. При каждом значении a решите неравенство x − 1 x − a > 0. Решение. Как и выше, будем применять метод интервалов. Од- нако здесь возникает небольшая трудность — мы не знаем, как распо- ложены числа 1 и a. Ведь a может быть как меньше 1, так и больше или равно 1. Но это означает, что нам следует рассмотреть эти три случая. 1. Пусть a < 1. Тогда получаем расположение точек, показанное на рис. 1.2 + − + a 1 x Рис. 1.2 Метод интервалов даёт часть ответа: если a < 1, то x ∈ (−∞; a) ∪ ∪ (1; +∞). 2. Пусть a = 1. Тогда получаем неравенство x − 1 x − 1 > 0, при x 6= 1 равносильное верному неравенству 1 > 0. Его решения — вся область определения неравенства, т. е. (−∞; 1) ∪ (1; +∞). 3. Пусть a > 1. Тогда точки расположены на числовой оси так, как показано на рис. 1.3 § 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром 17 + − + 1 a x Рис. 1.3 Метод интервалов приводит к частичному ответу: если a > 1, то x ∈ ∈ (−∞; 1) ∪ (a; +∞). Объединим части ответов. Ответ: если a < 1, то x ∈ (−∞; a) ∪ (1; +∞); если a = 1, то x ∈ ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞); если a > 1, то x ∈ (−∞; 1) ∪ (a; +∞). Пример 1.4. При каждом значении a решите неравенство x x + a > 1. Решение. Преобразуем неравенство: x x + a − 1 > 0 ⇔ x − x − a x + a > 0 ⇔ −a x + a > 0 ⇔ a x + a < 0. При a > 0 это неравенство равносильно неравенству x + a < 0, x < −a, и его решение x ∈ (−∞; −a). При a = 0 получаем неверное неравенство 0/x < 0, 0 < 0, у кото- рого, разумеется, нет решений. При a < 0 это неравенство равносильно неравенству x + a > 0, или x > −a, имеющему решение x ∈ (−a; +∞). Ответ: если a < 0, то x ∈ (−a; +∞); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−∞; −a). Пример 1.5. При каждом значении a решите неравенство a x + a > 1. Решение. Преобразуем это неравенство: a x + a − 1 > 0 ⇔ a − x − a x + a > 0 ⇔ −x x + a − 1 > 0 ⇔ x x + a < 0. Решение вполне аналогично решению примера 1.3 . А именно, расположим на числовой оси точки −a и 0. Возможны три случая: a > 0, a = 0 и a < 0. Если a > 0, то −a < 0 и точки располагаются так, как показано на рис. 1.4 . Получаем решение x ∈ (−a; 0). + − + −a 0 x Рис. 1.4 18 Часть 1. Решение задач При a = 0 мы получаем x/x < 0, или 1 < 0 при x 6= 0. Это неравен- ство не имеет решений. Наконец, если a < 0, то −a > 0 и точки располагаются, как пока- зано на рис. 1.5 , т. е. x ∈ (0; −a). + − + 0 −a x Рис. 1.5 Объединяя части ответа, получаем окончательный результат. Ответ: если a < 0, то x ∈ (0; −a); если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−a; 0). Пример 1.6. При каждом значении a решите неравенство (x − 1)(x − a) x − a + 1 2 > 0. Решение. Заметим, что при любом фиксированном значении a это обычное рациональное неравенство, для решения которого мож- но применить метод интервалов. Однако нам неизвестно, как распо- лагаются точки 1, a, (a + 1)/2 на числовой оси. Рассмотрим различ- ные возможные случаи. Для этого попарно сравним числа 1 и a, 1 и (a + 1)/2, a и (a + 1)/2. Находим a ∨ 1, (a + 1)/2 ∨ 1, a ∨ (a + 1)/2, a ∨ 1, 2a ∨ a + 1, a ∨ 1. Таким образом, при a < 1 выполнено неравенство a < (a + 1)/2 < 1; при a = 1 получаем, что числа a и (a + 1)/2 равны 1; при a > 1 выполнено неравенство 1 < (a + 1)/2 < a. Рассмотрим эти три случая. I. Пусть a < 1. Тогда 1 > (a + 1)/2 > a. Применим метод интер- валов (см. рис. 1.6 ). Получаем частичный ответ: если a < 1, то x ∈ ∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞). II. Пусть a=1. Тогда a=(a+1)/2=1. Применим метод интервалов (см. рис. 1.7 ). Получаем частичный ответ: если a = 1, то x ∈ (1; +∞). III. Пусть a > 1. Тогда a > (a + 1)/2 > 1. Применим метод ин- тервалов (см. рис. 1.8 ). Получаем частичный ответ: если a > 1, то x ∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞). § 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром 19 − + − + a (a + 1)/2 1 x Рис. 1.6 − + 1 x Рис. 1.7 − + − + 1 (a + 1)/2 a x Рис. 1.8 Ответ: если a < 1, то x ∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞); если a = 1, то x ∈ (1; +∞); если a > 1, то x ∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞). Пример 1.7. Для каждого значения a решите неравенство (a + 4) p 5 − x > a + 3. Решение. Область допустимых значений задаётся неравенством 5 − x ¾ 0. Следующий шаг — преобразование неравенства к удобному виду. Рассмотрим отдельно случаи a + 4 < 0, a + 4 > 0 и a + 4 = 0. I. Пусть сначала a + 4 = 0, тогда 0 · p 5 − x > −1 ⇔ 0 > −1. Последнее неравенство справедливо на всей ОДЗ. Получаем частич- ный ответ: если a = −4, то x ¶ 5. II. Пусть a + 4 < 0, тогда исходное неравенство равносильно нера- венству p 5 − x < a + 3 a + 4 Поскольку a + 3 a + 4 > 0 при a < −4 (см. рис. 1.9 ), получаем, что p 5 − x < a + 3 a + 4 ⇔ 5 − x < a + 3 a + 4 2 ⇔ 5 − a + 3 a + 4 2 < x. 20 Часть 1. Решение задач С учётом ОДЗ получаем частичный ответ: если a < −4, то x ∈ 5 − a + 3 a + 4 2 ; 5 III. Пусть a + 4 > 0, тогда исходное неравенство равносильно нера- венству p 5 − x > a + 3 a + 4 Выражение a + 3 a + 4 (см. рис. 1.9 ) отрицательно при a ∈ (−4; −3), равно нулю при a = −3 и положительно при a > −3. Рассмотрим несколько случаев. IIIа. Пусть a ¾ −3. Тогда (см. рис. 1.9 ) a + 3 a + 4 ¾ 0 и, следовательно, мы получаем p 5 − x > a + 3 a + 4 ⇔ 5 − x > a + 3 a + 4 2 ⇔ 5 − a + 3 a + 4 2 > x. + − + −4 −3 a Рис. 1.9 Все полученные значения входят в ОДЗ. Следовательно, получаем частичный ответ: если a ¾ −3, то x ∈ −∞; 5 − a + 3 a + 4 2 IIIб. Пусть a ∈ (−4; −3). Тогда (см. рис. 1.9 ) a + 3 a + 4 < 0 и, следова- тельно, неравенство p 5 − x > a + 3 a + 4 выполнено на всей области допу- стимых значений. Получаем частичный ответ: если a ∈ (−4; −3), то x ∈ (−∞; 5]. Остаётся собрать все полученные результаты в ответ. Ответ: если a < −4, то x ∈ 5 − a + 3 a + 4 2 ; 5 ; если a ∈ [−4; −3), то x ∈ (−∞; 5]; если a ¾ −3, то x ∈ −∞; 5 − a + 3 a + 4 2 Тренировочные задачи к § 1 1.1. Найдите все значения a, при которых множество решений нера- венства a x − a > 0 содержит точку x = 1. Тренировочные задачи к § 1 21 1.2. При каком наименьшем положительном значении b функция y = sin 20x + b π 150 имеет минимум в точке x 0 = π/2? 1.3. При каких значениях b уравнение b 4 x + b 2 + (2 + p 2)b + 2 p 2 = b 2 (b + p 2) + 4x имеет бесконечно много корней? 1.4. Найдите все значения a, при которых неравенство log 𝑎 (x 2 + 2) > 1 выполняется для всех значений x. 1.5. Известно, что x = 1, y = −1 — одно из решений системы ( 2ax + by = p 3 tg 1111π 6 , ax 2 + by 2 = 2. Найдите все решения данной системы. 1.6. Найдите все значения a, при которых уравнение ax 2 + (a + 1)x + 1 = 0 имеет единственное решение. 1.7. Для каждого значения c решите уравнение 4 𝑥 + c · 25 𝑥 = 3 · 10 𝑥 1.8. Для каждого значения b¶0 решите неравенство (относительно x). p x 2 − 1 x ¾ b. 1.9. Для любого допустимого значения a решите неравенство log 2𝑎 (log 3 x 2 ) > 1 и найдите, значение a, при котором множество точек x, не являющих- ся решением неравенства, представляет собой промежуток, длина которого равна 6. 1.10. Для каждого значения c решите неравенство p c 2 − x 2 ¾ 2 − c. 1.11. Для каждого значения a решите неравенство a−2<(a−1) p x +1. 1.12. Для каких значений p отношение суммы коэффициентов мно- гочлена (px 2 − 7) 18 к его свободному члену минимально? 22 Часть 1. Решение задач 1.13. Для каждого допустимого значения b решите неравенство Æ 7 + log 𝑏 x 2 + (log 𝑏 |x|)(1 + 2 log 𝑥 b) > 0. 1.14. Для каждого значения a решите уравнение p|x| + 1 − p|x| = a. 1.15. Для каждого значения a решите неравенство log 1 9 (x 2 − 6x − a 2 − 5a + 12) < −1 и найдите все значения a, при которых множество чисел, не явля- ющихся решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой оси, длина которого меньше 2 p 3. 1.16. При каждом значении a решите уравнение 2 𝑎𝑥 +3 𝑥2 +3 + 2 4𝑥2 −𝑎𝑥+9 𝑥2 +3 = 10. 1.17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение log 𝑎 −6,5 (x 2 + 1) = log 𝑎 −6,5 ((a − 5)x) имеет ровно два различных решения. 1.18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x 3 − 1)(x 2 − 16) lg(15a − x) − lg(x − a) = 0 имеет единственное решение. 1.19. При каких значениях p уравнение 4(x − p p · 7 𝑝 )x + p + 7(7 𝑝 − 1) = 0 имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях p? 1.20. При каких значениях b уравнение 25 𝑥 − (2b + 5)5 𝑥 −1/𝑥 + 10b · 5 −2/𝑥 = 0 имеет ровно два различных решения? 1.21. Найдите все значения a, при которых множество решений нера- венства x(x − 2) ¶ (a + 1)(|x − 1| − 1) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым чле- ном, равным 1,7, и положительным знаменателем. 1.22. Найдите все значения a, при которых неравенство x 2 + a ¶ 0 имеет решения и все его решения удовлетворяют неравенству (x + 2a) p 3 − x ¶ 0. Тренировочные задачи к § 1 23 1.23. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства (p − x 2 )(p + x − 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x 2 ¶ 1. 1.24. Пусть f (x) = p x 2 − 4x + 4 − 3, g(x) = p x − a. При каждом a решите неравенство f (g(x)) ¶ 0. 1.25. Найдите все значения a, при каждом из которых система урав- нений ¨ x + a(y + 1) = 2a, x 3 + a(2y 3 + 1) = ay 3 + 2a имеет не более двух решений. 1.26. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение log 𝑎 +1 x + log 𝑥 (19 − 8a) = 2 имеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не менее 0,01. 1.27. Найдите все пары a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения x 3 − 5x 2 + 7x = a, также являющиеся корнями урав- нения x 3 − 8x + b = 0. 1.28. Из трёх значений a: −1,2; −0,67; −0,66 — найдите все те зна- чения, при каждом из которых уравнение 2 𝑎 +4 + 15(x + a) 1 + 2 cos πa + x 2 = 0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 ¶ x ¶ 1. 1.29. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнения (2a − 1)x 2 + 6ax + 1 = 0 и ax 2 − x + 1 = 0 имеют общий корень. 1.30. Считая известным, что при любом a > 0 уравнение 2x 3 + x 2 − x − a − 1 = 0 имеет единственный положительный корень x 0 (зависящий от a), найдите все a > 0, при которых выполнено неравенство 12x 3 0 − 7x 0 > 6a + 1. 24 Часть 1. Решение задач Ответы 1.1 . a ∈ (0; 1). 1.2 . b =225. 1.3 . b =− p 2. 1.4 . a ∈ (1; 2). 1.5 . (1; −1); (−0,2; 1,4). 1.6 . a = 0; a = 1. 1.7 . Если c ¶ 0, то x =log 2/5 3 + p 9 − 4c 2 ; если 0 < c ¶ 2,25, то x = log 2/5 3 ± p 9 − 4c 2 ; при c > 2,25 решений нет. 1.8 . Если b ¶ −1, то x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞); если −1 < b < 0, то x ∈ − 1 p 1 − b 2 ; −1 ∪ [1; +∞); если b = 0, то x ∈ {−1} ∪ [1; +∞). 1.9 . 1. Если a ∈ (0; 1/2), то x ∈ (−3 𝑎 ; −1) ∪ (1; 3 𝑎 ); если a > 1/2, то x ∈ ∈ (−∞; −3 𝑎 ) ∪ (3 𝑎 ; +∞). 2. При a = 1. 1.10 . При c ∈ (−∞; 1) решений нет; если c = 1, то x = 0; если c ∈ (1; 2), то x ∈ [−2 p c − 1; 2 p c − 1]; если c ∈ [2; +∞), то x ∈ [−c; c]. 1.11 . Если a < 1, то x ∈ −1; a − 2 a − 1 2 − 1 ; если a ∈ [1; 2), то x ∈ [−1; +∞); если a ¾ 2, то x ∈ a − 2 a − 1 2 − 1; +∞ 1.12 . p = 7. Указание. Сумма коэффициентов любого многочлена равна его значению в точке 1. 1.13 . Если b ∈ (0; 1), то x ∈ (0; 1) ∪ (1; b −3 ); если b ∈ (1; +∞), то x ∈ (b −3 ; 1) ∪ ∪ (1; +∞). 1.14 . Если a ∈ (0; 1], то x = ± 1 − a 2 2a 2 ; при других a решений нет. 1.15 . 1. Если a ∈ (−2; −3), то x ∈ R; если a ∈ (−∞; −2] ∪ [−3; +∞), то x ∈ (−∞; 3 − p a 2 + 5a + 6) ∪ (3 + p a 2 + 5a + 6; +∞). 2. a ∈ −5 − p 13 2 ; −3 ∪ −2; −5 + p 13 2 1.16 . Если |a| < 6 p 2, то x = 0; a; если |a| ¾ 6 p 2, то x = 0; a; a ± p a 2 − 72 6 1.17 . a ∈ (7; 7,5) ∪ (7,5; +∞). 1.18 . a ∈ (1/15; 1/8) ∪ (1/8; 4/15] ∪ {1/2} ∪ [1; 4). 1.19 . При p = 0 корень один: x = 0; при p = 7 корень один: x = 7 4 /2; при p > 7 два положительных корня. 1.20 . b ∈ (0; 1/50) ∪ (25/2; +∞). 1.21 . a ∈ (−∞; 0,7]. 1.22 . a ∈ {0} ∪ [−9; −1/4]. 1.23 . p ∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞). 1.24 . Если a ∈ (−∞; −5), то решений нет; если a = −5, то x = 0; если a ∈ (−5; 1), то x ∈ [0; (a + 5) 2 ]; если a ∈ [1; +∞), то x ∈ [(a − 1) 2 ; (a + 5) 2 ]. 1.25 . a ∈ {−1} ∪ [−1/2; 0) ∪ (0; 1/2] ∪ {1}. 1.26 . a ∈ [−9/10; 0) ∪ (2; 9/4) ∪ (9/4; 19/8). 1.27 . a = 2, b = 3. 1.28 . a = −1,2; a = −0,67. 1.29 . a ∈ {−3/4; 0; 2/9}. 1.30 . a ∈ (0; 1/54). |