задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
§ 9. Задачи с использованием симметрий Этот параграф, по существу, является продолжением предыдущего. I. В предыдущем параграфе была рассмотрена симметрия относи- тельно прямой x = 0 (понятие чётной функции). Сейчас мы рассмот- рим симметрии в более общей ситуации, в частности, рассмотрим симметрии относительно прямых x = b, где b — некоторое заданное число. В задачах такого рода удобно делать замену z = x − b. При наличии симметрии относительно прямой x = b, где b — некоторое заданное число, функция f (z) = f (x − b) будет чётной относительно новой переменной: f (−z) = f (z). 76 Часть 1. Решение задач II. При решении, например, уравнения вида f (x, y) = 0 может оказаться, что для всех допустимых значений x, y выполняется равен- ство f (x, y) = f ( y, x) (симметрия относительно биссектрисы первого координатного угла). Тогда вместе с решением (x 0 ; y 0 ) этого урав- нения его решением будет также пара ( y 0 ; x 0 ). Для единственности решения в этом случае необходимо выполнение равенства x = y. Пример 9.1. Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств ¨ y ¾ x 2 + 2a, x ¾ y 2 + 2a имеет единственное решение. Решение. Пусть (x 0 ; y 0 ) — решение системы, тогда ввиду симмет- рии ( y 0 ; x 0 ) тоже будет решением. Следовательно, необходимым усло- вием единственности решения является равенство x = y. Подставив его в систему, получаем x 2 − x + 2a ¶ 0. Если данное неравенство имеет два решения или более, то исходная система имеет не менее двух решений и нам этот случай не подходит. Если неравенство не имеет решений, то исходная система либо име- ет чётное число решений, либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет решений, но все эти случаи нам не подходят. Пусть это неравенство имеет единственное решение, тогда дискриминант квадратного уравнения обращается в нуль, т. е. D = 1 − 8a = 0 ⇔ a = 1 8 , и x = y = 1/2. Проверим достаточность данного условия. Складывая два неравенства, получаем x + y ¾ x 2 + y 2 + 1 2 ⇔ x − 1 2 2 + y − 1 2 2 ¶ 0. Следовательно, решение x = y = 1/2 действительно единственное. Ответ: при a = 1/8 система неравенств имеет единственное ре- шение x = y = 1/2. Пример 9.2. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2 −𝑥 2 · 4 𝑥 + sin πx 4 + cos πx 4 − 2 = a 3 − 3a 2 + a + p 2 имеет единственное решение. § 9. Задачи с использованием симметрий 77 Решение. Преобразуем уравнение, используя соотношения sin πx 4 +cos πx 4 = p 2 cos πx 4 ·cos π 4 +sin πx 4 ·sin π 4 = p 2 cos πx 4 − π 4 и 2 −𝑥 2 · 4 𝑥 = 2 −𝑥 2 +2𝑥 = 2 −(𝑥−1) 2 +1 . Получим 2 · 2 −(𝑥−1) 2 + p 2 cos π(x − 1) 4 − 2 − p 2 = a 3 − 3a 2 + a. Сделаем замену t = x − 1 и обозначим f (t) = 2 · 2 −𝑡 2 + p 2 cos πt 4 − 2 − p 2. Тогда исходная задача равносильна нахождению всех значений пара- метра a, при которых уравнение f (t) = a 3 − 3a 2 + a имеет единствен- ное решение. Но поскольку f (t) = f (−t), т. е. функция f (t) чётная, и f (t) < f (0), t 6= 0, задача имеет единственное решение тогда и толь- ко тогда, когда t = 0 будет решением уравнения f (t) = a 3 −3a 2 +a. Под- ставляя t = 0 в это уравнение и замечая, что f (0) = 2 + p 2 − 2 − p 2 = 0, получаем, что достаточно решить уравнение a 3 − 3a 2 + a = 0. Ответ: a = 0; a = 3 ± p 5 2 Пример 9.3. Найдите все рациональные значения a, при которых уравнение 2(1 − 2a) π arcsin 2x x 2 + 1 + a 2 arctg x − arctg 1 x 2 + a 2 + 3a − 3 = 0 имеет единственное решение. Решение. Введём обозначение f (x) = 2(1 − 2a) π arcsin 2x x 2 + 1 + a 2 arctg x − arctg 1 x 2 I. Для функции f (x) выполняется равенство f (x) = f (1/x), поэто- му если x 0 — решение уравнения, то и 1/x 0 тоже является решением. Следовательно, нечётное число решений (в нашем случае единствен- ное решение) возможно лишь при условии x 0 = 1 x 0 ⇔ x 2 0 = 1 ⇔ x 0 = ±1. Подставив x = 1 в исходное уравнение, получаем a 2 + a − 2 = 0 ⇔ a 1 = 1; a 2 = −2. Подставив x = −1 в исходное уравнение, получаем a 2 + 5a − 4 = 0 ⇔ a 3 = −5 + p 41 2 ; a 4 = −5 − p 41 2 78 Часть 1. Решение задач Значения a 3,4 иррациональные, поэтому не удовлетворяют условию задачи. Рассмотрим a 1,2 II. Выясним, при каком из найденных значений a уравнение име- ет единственное решение. Пусть a = 1, тогда уравнение принимает вид − 2 π arcsin 2x x 2 + 1 + arctg x − arctg 1 x 2 + 1 = 0 ⇔ ⇔ arctg x − arctg 1 x 2 + 1 = 2 π arcsin 2x x 2 + 1 При любом x справедливо неравенство 2|x| x 2 + 1 ¶ 1, и мы получаем, что 1 ¶ arctg x − arctg 1 x 2 + 1 = 2 π arcsin 2x x 2 + 1 ¶ 1. Следовательно, для того чтобы уравнение выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства arctg x − arctg 1 x = 0, 2 π arcsin 2x x 2 + 1 = 1 ⇔ x = 1. Таким образом, при a = 1 решение исходного уравнения единственно. Пусть a = −2, тогда функция f (x) принимает вид f (x) = 10 π arcsin 2x x 2 + 1 + 4 · arctg x − arctg 1 x 2 , а исходное уравнение принимает вид f (x) = 5. Справедливо равен- ство f (−1) = −5 < 5. Далее, если x стремится к нулю, оставаясь мень- ше нуля, то arctg x стремится к 0, arctg(1/x) — к −π/2, а arcsin 2x x 2 + 1 стремится к 0. Поэтому f (x) при этом стремится к π 2 , а π 2 > 5. Следовательно, так как функция f (x) непрерывна на интервале (−2; 0) и принимает значения как большие, так и меньшие чем 5, су- ществует такое число x 0 ∈ (−2; 0), что f (x 0 ) = 5, откуда вытекает, что исходное уравнение при a = −2 имеет не менее двух решений x = 1, x = x 0 . (При более детальном рассмотрении этого уравнения можно показать, что при a = −2 оно будет иметь ровно пять решений.) Ответ: при a = 1 система имеет единственное решение x = 1. Пример 9.4. При каких значениях a уравнение |x| + x + 1 3x − 1 = a имеет ровно три различных решения? § 9. Задачи с использованием симметрий 79 Решение. Введём обозначение f (x) = |x| + x + 1 3x − 1 I. Справедливо следующее равенство: x + 1 3x − 1 + 1 3 · x + 1 3x − 1 − 1 = (x + 1) + (3x − 1) 3(x + 1) − (3x − 1) = 4x 4 = x. Из него следует, что если x 0 — корень уравнения, то и x 1 = x 0 + 1 3x 0 − 1 то- же является корнем уравнения, так как f (x 0 ) = f (x 1 ), откуда следует, что нечётное число решений возможно лишь при условии x 0 = x 0 + 1 3x 0 − 1 ⇔ 3x 2 0 − 2x 0 − 1 = 0 ⇔ x 0 = 1, x 0 = − 1 3 , т. е. когда корни x 0 и x 1 совпадают. Найдём те значения a, которые соответствуют значениям x 0 = 1 и x 0 = −1/3: a 1 = f (1) = 2, a 2 = f − 1 3 = 2 3 II. Проверим, будет ли уравнение иметь ровно три решения при найденных значениях a. Пусть a = 2. Решим уравнение f (x) = 2. Для этого рассмотрим четыре промежутка (−∞; −1), [−1; 0], (0; 1/3), (1/3; +∞) и решим уравнение f (x) = 2 на каждом из этих промежут- ков (см. рис. 9.1 ). − − + + + − − + −1 0 1 /3 𝑥 +1 3𝑥−1 x Рис. 9.1 1. Пусть x ∈ (1/3; +∞). Тогда уравнение f (x) = 2 принимает вид x + x + 1 3x − 1 = 2 ⇔ 3x 2 − x + x + 1 = 2(3x − 1) ⇔ ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. 2. Пусть x ∈ (0; 1/3). Тогда уравнение f (x) = 2 принимает вид x − x + 1 3x − 1 = 2 ⇔ 3x 2 − x − x − 1 = 2(3x − 1) ⇔ ⇔ 3x 2 − 8x + 1 = 0 ⇔ x = 4 ± p 13 3 80 Часть 1. Решение задач Интервалу (0; 1/3) принадлежит лишь один корень x = (4 − p 13)/3. Таким образом, мы нашли второй корень уравнения f (x) = 2. 3. Пусть x ∈ [−1; 0]. Тогда уравнение f (x) = 2 принимает вид −x − x + 1 3x − 1 = 2 ⇔ 3x 2 − x + x + 1 = −2(3x − 1) ⇔ ⇔ 3x 2 + 6x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± 2 p 3 3 Но так как 2 p 3/3 > 1, ни одно из чисел −1 ± 2 p 3/3 не принадлежит отрезку [−1; 0]. 4. Пусть x ∈ (−∞; −1). Тогда уравнение f (x) = 2 принимает вид −x + x + 1 3x − 1 = 2 ⇔ −3x 2 + x + x + 1 = 2(3x − 1) ⇔ ⇔ 3x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔ x = −2 ± p 13 3 Лучу (−∞; −1) принадлежит лишь один корень x = (−2 − p 13)/3. Таким образом, мы нашли третий корень уравнения f (x) = 2. x y 0 1 /3 y = 2 y = 2/3 y = f (x) Рис. 9.2 Итак, для случая a = 2 мы проверили, что решений действительно ровно три. Аналогично доказывается, что в случае a = 2/3 у уравне- ния f (x) = 2 будет одно решение (см. рис. 9.2 ). Следовательно, в ответ попадёт только одно значение a = 2. Ответ: a = 2. § 9. Задачи с использованием симметрий 81 Пример 9.5. Найдите все значения a, при которых система z cos(x − y) + (2 + xy) sin(x + y) − z = 0, x 2 + (y − 1) 2 + z 2 = a + 2x, (x + y + a sin 2 z)((1 − a) ln(1 − xy) + 1) = 0 имеет единственное решение. Решение. I. Заметим, что если (x; y; z) — решение системы, то и ( y; x; z) тоже решение этой системы. Для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось равенство x = y. В этом случае си- стема принимает вид (2 + x 2 ) sin 2x = 0, 2(x − 1) 2 + z 2 = a + 1, (2x + a sin 2 z)((1 − a) ln(1 − x 2 ) + 1) = 0. Из первого уравнения находим x = πn/2, n ∈ Z. Так как третье урав- нение содержит функцию ln(1 − x 2 ), выполняется неравенство x 2 < 1, откуда n = 0 и x = y = 0. Система принимает вид ¨ z 2 = a − 1, a sin 2 z = 0. Для любого её решения (z; a) пара (−z; a) тоже решение этой систе- мы. Поэтому для единственности необходимо, чтобы и z было рав- но 0. Таким образом, если система имеет единственное решение, то оно имеет вид (0; 0; 0), и при этом a = 1. Остаётся показать, что при a = 1 система действительно имеет единственное решение. II. Пусть a = 1. Система принимает вид z cos(x − y) + (2 + xy) sin(x + y) − z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 2(x + y), x + y + sin 2 z = 0. Сложим второе уравнение с удвоенным последним. Получаем x 2 + + y 2 + z 2 + 2 sin 2 z = 0, откуда x = y = z = 0. Следовательно, мы доказали, что при a = 1 решение (0; 0; 0) единственно. Ответ: a = 1. 82 Часть 1. Решение задач Тренировочные задачи к § 9 9.1. Найдите все значения a, при каждом из которых система урав- нений ¨ x 2 + y 2 = 1, x + y = a имеет единственное решение. 9.2. Найдите все значения α, при которых уравнение x 2 + 6x p sin α + 9 p 3 cos α + 36 = 0 имеет единственное решение. 9.3. Найдите все значения a, при которых уравнение 2π 2 (x − 2) 2 + 4a cos(2πx) − 25a 3 = 0 имеет единственное решение. 9.4. Найдите все значения a, при которых уравнение |(x − 1) 2 − 2 1−𝑎 | + |x − 1| − (1 − x) 2 + 2 𝑎 −1 = 4 + 4 𝑎 имеет ровно пять различных решений. 9.5. Найдите все значения a, при которых уравнение 9 −𝑥+1 · 3 𝑥 2 + a 3 + 5a 2 + a + p 2 = sin πx 4 + cos πx 4 + 3 имеет единственное решение. 9.6. Найдите все значения a, при каждом из которых система ¨ y − a 2 + 5(a − 1) = (a 2 − 5a + 6)(x − 3) 6 + Æ (x − 3) 2 , x 2 + y 2 = 2(3x − 4) имеет ровно три разлиных решения. 9.7. Найдите все значения b, при каждом из которых система нера- венств ¨ by 2 + 4by − 2x + 7b + 4 ¶ 0, bx 2 − 2 y − 2bx + 4b − 2 ¶ 0 имеет единственное решение. 9.8. Найдите все значения b, при каждом из которых система ( b sin |2z| + log 5 x 8 p 2 − 5x 8 + b 2 = 0, ( y 2 − 1) cos 2 z − y · sin 2z + 1 1 + p π + 2z + p π − 2z = 0 имеет одно или два решения; определите эти решения. Тренировочные задачи к § 9 83 9.9. Найдите все значения a, при каждом из которых система ( 1 − Æ |x − 1| = Æ 7| y|, 49 y 2 + x 2 + 4a = 2x − 1 имеет ровно четыре различных решения. 9.10. Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение b 2 sin π + 2 2 − x +sin 2 2x b + 1 − 2 b + 1 −b p 4x 2 + 8 − 8x =3+arcsin |1− x| имеет единственное решение. 9.11. При каких значениях a уравнение |x| + 2x − 1 3x − 2 = a имеет ровно три различных решения? 9.12. Найдите все значения b, при каждом из которых система нера- венств ¨ y ¾ (x − b) 2 , x ¾ ( y − b) 2 имеет единственное решение. 9.13. Найдите все значения a, при каждом из которых равносильны системы уравнений ¨ x + 2y = 2 − a, −x + ay = a − 2a 2 и ¨ x 2 − y 4 − 4x + 3 = 0, 2x 2 + y 2 + (a 2 + 2a − 11)x + 12 − 6a = 0. 9.14. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2 (𝑥+1) 2 𝑥 2 +1 + a 2 − 4 = 2a cos x 2 − 1 2x имеет единственное решение. 9.15. Найдите все значения a, при которых уравнение 2 2𝑥 1+𝑥 2 + a cos x 2 − 1 x + a 2 − 5 4 = 0 имеет единственное решение. 9.16. Найдите все такие значения a, что уравнение a 3 arctg x − arctg 1 x 2 = 4a + 5 − a 2 − 2(a + 1) π arcsin 2x x 2 + 1 имеет единственное решение. 84 Часть 1. Решение задач 9.17. Найдите все значения a, при которых система 2(a + 2) = (x − 2) 2 + (y − 2) 2 + z 2 , (xy + 4) sin(x + y) + cos(x − y) = 1, 2 − xyz(a − 2) p 1 − 2xy (a tg 2 z + x + y) = 0 имеет единственное решение. 9.18. Про функцию f (x) известно, что она определена на отрезке [1/6; 6] и удовлетворяет на этом отрезке системе 1 cos 2 f (x) − 1/2 − 12 cos 2 f 1 x = 10 x , 0 ¶ f (x) ¶ π 2 Решите неравенство f (x) ¶ π/8. Ответы 9.1 . a =± p 2. 9.2 . a =5π/6+2πl; a =π/18+2πm; a =13π/18+2πn, l, m, n ∈Z. 9.3 . a = 0; a = −2/5. 9.4 . a = −1. 9.5 . a = 0; a = (−5 ± p 21)/2. 9.6 . a = 2; a = 3. 9.7 . b = 1/3. 9.8 . Если b = − 1 2 p 2 , то одно решение (1/ 8 p 5; 0; 0); если b = −1/2 + p 3/8, то два решения (1/ 8 p 5; 1; π/4) и (1/ 8 p 5; −1; −π/4). 9.9 . a = −1/32; a = −1/4. 9.10 . b = 3. 9.11 . a = 2/3; a = 2. 9.12 . b = −1/4. 9.13 . a = −2; a = −1. Указание. Решите первое уравнение, а затем с исполь- зованием симметрий исследуйте второе уравнение. 9.14 . a = 0; a = 3. 9.15 . a = −3/2. 9.16 . a = 6. Указание. Уравнения f (x) = 0 и f (1/x) = 0 равносильны. 9.17 . a = 2. 9.18 . [3 p 2; 6]. |